Научно – исследовательский проект "Софизмы и парадоксы в математике"

Научно – исследовательский проект
 
по теме:
 
«Софизмы и парадоксы
в математике»

Учитель:
Орлова Любовь Сергеевна
.

«Дважды два равно пяти» На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь шутка???. 
Гипотеза проекта
Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.
Цель нашей работы:
Познакомиться с софизмами, показать значимость математических софизмов ;
при изучении математики, показать как получаются абсурдные выводы.
Важно четко понимать допущенные ошибки, иначе софизмы будут
бесполезны.
Задачи:
дать определение понятиям «софизм» и «парадокс», узнать в чём их отличие;
понять, как найти ошибку в софизмах;

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка),
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.
Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, и довольно тонкие ошибки.
Понимание ошибок в софизме помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

«Один рубль не равен ста копейкам»
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
        Если a=b,
c=d, то ac=bd.
 Применим это положение к двум очевидным равенствам
                1 р.=100 коп,  (1)
                10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
                10 р.=100000 коп.     (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
                 1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия сименованными величинами: все действия, совершаемые над величинами,необходимо
совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство                            
                       10 р.  =100 000 к . ,
которое после деления на 10 дает                    
                        1 р.  = 10 000 коп.,        
а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.
Извлекая квадратный корень из равенства1 р.  = 10 000 коп.получаем верное равенство 1р.=100 коп.

«Пять равно шести»
Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.
В каждой части вынесем за скобки общий множитель:
5(7+2-9)=6(7+2-9).
Теперь, получим, что 5=6. Где ошибка?
Разбор софизма.
Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число
7+2-9, равное 0.
Этого нельзя делать !!!

«Дважды два - пять!»
Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5
После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства 
будем иметь:
4∙(1:1)=5∙(1:1)
или 
(2∙2)(1:1)=5(1:1)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из предыдущего получаем:     
2∙2=5
Где ошибка?
Нельзя выносить множитель за скобки так, как было сделано.4∙(1:1)=5∙(1:1)
Можно так 4 (1:4) и 5 (1:5).

Логические софизмы
Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
Полупустое и полуполное
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».
Не знаешь то, что знаешь
«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
Лекарства
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Многообразие парадоксов и их причины


Парадоксы – это неожиданные утверждения, противоречащие здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях, но их противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов).

Задача о треугольнике.
Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка.
Разгадка простая: первый треугольник немного "вогнут", а второй - слегка выпуклый. В этом можно убедиться, сравнив наклон гипотенузы синего и жёлтого кусочков: у жёлтого наклон = 0.375, а у синего - 0.4. Получается, что общие площади верхнего и нижнего треугольников всё-таки различаются, а разница как раз составляет одну клетку!

Парадоксы из жизни
Количество развлечений растет с каждым днем, а количество радостей уменьшается
Мы стали покупать больше вещей, но меньше ими пользоваться
Мы увеличили свою собственность, но уменьшили свои ценности
Много медикаментов, но мало здоровья…
Мы говорим очень много, любим очень редко и ненавидим слишком часто.
У нас очень много ученых званий, но слишком мало рассуждений.
Мы добавили годы к жизни, но не жизнь к годам.

Заключение.

Математические софизмы – это лишь часть одного большого течения. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрела лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Я продолжу изучение этой темы в дальнейшем

А закончить я бы хотел словами
А. Д. Александрова «Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка».

Спасибо за внимание!