Некоторые способы решения логических задач

2.1. Задачи на смекалку

В любой творческой деятельности, в учебе, в труде, в игре, да и просто в жизни – везде внимание, смышленость, умение логически мыслить необходимы человеку, ибо помогают решать проблемы, находить выход из сложных ситуаций и, между прочим, полезны для здоровья: поддерживают тонус сосудов головного мозга.

Существует много знаменитых задач на смекалку, чаще всего очень древних, хорошо известных любителям математических развлечений:

- о богатом арабе, оставшиеся после смерти которого 17 верблюдов по завещанию следует поделить между наследниками в отношении половина : одна треть : одна девятая часть;

- о черве, проедающем в библиотеке три книги;

- об улитке, которая пытается выбраться из колодца, поднимаясь днем на 3 м вверх и опускаясь ночью на 2 м вниз;

- о пауке, который, находясь в обычной комнате, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, хочет добраться до мухи кратчайшим путем;

- о реке, которую нужно пересечь то пастуху с волком, козой и капустой, то трем ревнивым мужьям с их женами, пользуясь при этом лодкой, слишком маленькой, чтобы вместить всех;

- о двух поездах, которые должны разъехаться, используя одну стрелку, позволяющую машинистам маневрировать, и один малый тупик, в который вмещается лишь один вагон;

- о молочнике, который должен удовлетворить запросы двух своих клиентов, желающих получить количество молока, которое, разумеется, не соответствует эталонным мерам, имеющимся у молочника.

Задача 1. Один богач оставил завещание, в котором написал, что завещает все свое богатство тому монастырю, который отслужит по нему количество обеден, равное половине количества дней, оставшихся существовать этому монастырю.

Много монастырей хотело получить богатство, но не знало, как выполнить условие завещания. Наконец, настоятель одного монастыря сказал, что он знает, как выполнить условие завещания. Как же он собирался выполнить его?

(настоятель сказал, что в монастыре будут служить обедни по богачу каждый второй день.)

Задача 2. В поезде три пассажира поделились друг с другом своим обедом. У первого из них было пять блюд, у второго — три; третий же не имел ничего, и он дал двум своим попутчикам восемь франков.

Как должны распределить между собой эти восемь франков два первых пассажира, если стоимость каждого из восьми блюд одинакова?

Решение:

Поскольку третий пассажир заплатил за обед 8 франков, то, если счесть его плату справедливой, надо будет оценить обед в 24 франка, а, значит, каждое блюдо — в 3 франка. В таком случае первый пассажир внес еды на 15 франков, а второй — на 9 франков. Значит, первому пассажиру следует взять 7 франков, а второму — 1 франк.

Задача 3. Король хотел сместить своего премьер-министра — но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: «На одном листке я написал «Уходите», а на втором — «Останьтесь». Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу».

Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано «Уходите».

Как же, однако, умудрился он в этих условиях сохранить свое место?

Решение:

Премьер-министр вытащил листок бумаги и, не глядя на него, скатал из него шарик — и проглотил. Поскольку на оставшемся листке стояло «Уходите», то королю пришлось признать, что на проглоченном листке значилось «Останьтесь».

Задача 4.  Площадь озера, покрываемая одной кувшинкой, каждый день увеличивается вдвое. Через месяц покрытой оказывается вся поверхность озера.

За сколько времени покроют все озеро две растущие кувшинки?

Решение:

На второй день кувшинка принимает размер двух кувшинок. Поэтому две кувшинки покроют озеро за месяц минус один день.

Задача 5. Трое путешественников прибыли на постоялый двор, где решили заночевать. Свободной оказалась лишь одна комната с тремя кроватями, за которую хозяин запросил 30 франков. Поэтому каждый путешественник заплатил по 10 франков.

Позднее, подсчитывая выручку, хозяин вспомнил, что за комнату следовало взять не 30, а только 25 франков. Он послал мальчика отнести пять монет по одному франку путешественникам. Но мальчик по ходу дела взял свои чаевые и вручил каждому путешественнику по одному франку, оставив себе два франка.

Итак, каждый путешественник заплатил за ночлег по 9 франков, а два франка мальчик оставил себе.

Но трижды девять плюс два — это 29.

Куда же делся один франк?

Решение:

Форма, в которую облечено условие задачи, выбрана так, чтобы запутать читателя; на самом же деле никакой проблемы тут нет. 30 франков, которые заплатили путешественники, распределились следующим образом: 25 франков осталось у хозяина, 2 франка забрал себе мальчик и 3 франка вернулось к путешественникам.

Задача 6. Мир занимательной математики кажется очень благополучным: автомобили никогда не сходят с трассы во время гонок; гребцы не устают даже после многих часов непрерывной гребли, из каждого крана в ванной все время течет постоянная по напору струя воды и т. д.

Но не все в мире устроено так хорошо. Порой люди попадают в критические ситуации, из которых они могут выбраться только благодаря своей сообразительности.

Так, однажды путешественник попал в руки жестокого туземного племени и был поставлен перед дилеммой: умереть от яда или сгореть заживо. Чтобы сделать этот «выбор», бедняга должен был произнести всего одну фразу — если при этом он скажет правду, то его отравят, а если солжет — сожгут заживо.

Как осужденный сумел избежать трагического исхода?

Решение:

Осужденный сказал: «Меня сожгут заживо». Если это правда, то его следует отравить. Но в таком случае это ложь. Если же это ложь, то его должны сжечь заживо — но тогда это правда. Осужденного помиловали.

2.2. Комбинаторные задачи

Задача 7. Запишите все трехзначные числа цифрами 1, 2 и 3 без повторения. Сколько таких чисел?

Решение:

Запишем числа в порядке возрастания: 123, 132, 213, 231,312, 321. здесь выписаны все числа, удовлетворяющие условию задачи, без пропусков и повторений. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся, т.е. имеется 3·2=6 возможностей занять два первых места. В каждом из этих шести случаев третье место займет оставшаяся цифра. Всего таким образом можно составить только 6 трехзначных чисел.

Задача 8. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2 и 3?

Решение:

В отличие от задачи 7 здесь можно повторять цифры. Чтобы ответить на вопрос задачи, можно выписать все числа без пропусков и повторений:

11  21  31

12  22  32

13  23  33

На первом месте может стоять одна из трех цифр: 1, 2 или 3. в каждом из этих трех случаев на второе место можно поставить одну из трех цифр 1, 2 или 3. Итого, имеется 3·3=9 двузначных чисел, записанных цифрами 1, 2 и 3.

Задача 9. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 2 очка, на втором 6 очков. Сколькими различными способами может выпасть 8 очков на этих кубиках?

Решение:

Рассмотрим варианты, когда может выпасть 8 очков: 2×6, 3×5, 4×4, 5×3, 6×2. Мы видим, что 8 очков может выпасть пятью способами.

Задача 10. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Решение:

Каждый игрок должен сыграть по 7 партий. Рассмотрим случаи, когда игроки не повторяются. Первый должен сыграть 7 партий (со 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), второй – 6 партий (с 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), третий – 5 партий (с 4, 5, 6, 7, 8 игроками), четвертый – 4 партии (с 5, 6, 7, 8 игроками), пятый – 3 партии (с 6, 7, 8 игроками), шестой – 2 партии (с 7, 8 игроками), седьмой – 1 партия (с 8-м игроком). Отсюда, количество партий: 7+6+5+4+3+2+1=28.

Задача 11. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, а какие – достоверные:

А = {все вынутые шары одного цвета};

В = {все вынутые шары разных цветов};

С = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов};

D = {среди вынутых есть шары всех трех цветов}.

Решение:

Событие А – невозможное: нельзя вынуть из коробки четыре шара одного цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.

Событие В – тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем четыре.

Событие С – достоверное: ведь все четыре шара, как мы уже выяснили не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух цветов.

Событие D – случайное.

2.3 Задачи на взвешивание монет

Задача 12. Имеется 21 монета, одна из которых несколько тяжелее других, однако с виду они все одинаковы. Какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь потребуется произвести, чтобы определить эту тяжелую монету?

Решение:

Требуется, самое большее, три взвешивания. При первом взвешивании на каждую чашу весов кладут по семь монет. Если одна из чаш опустится, то самая тяжелая монета находится на ней; если же весы окажутся в равновесии, то самая тяжелая монета находится среди семи отложенных в сторону.

При втором взвешивании на каждую чашу весов кладут по три из семи «подозрительных» монет, а одну «подозрительную» монету откладывают в сторону. Если весы окажутся в равновесии, то самой тяжелой будет отложенная монета. Если же одна из чаш перетянет, то определится группа из трех монет, среди которых находится искомая.

При третьем взвешивании на каждую чашу весов кладут по одной из трех подозрительных монет. Если весы окажутся в равновесии, то самой тяжелой будет оставшаяся монета; в противном случае ей будет та, которая лежит на опустившейся вниз чаше.

Задача 13. Имеется 200 одинаковых по виду монет, одна из которых тяжелее остальных. За сколько взвешиваний можно определить эту самую тяжелую монету?

Решение:

Требуется пять взвешиваний. При каждом взвешивании монеты делят на три группы, причем число монет в группах выбирается так, чтобы эти числа были возможно более близкими, а количества монет на правой и на левой чашах весов одинаковыми. Весы указывают группу, в которой находится искомая тяжелая монета. Так, при первом взвешивании можно на каждую чашу положить по 67 монет, оставив 66 монет в стороне. Если одна чаша весов перетянет, то при втором взвешивании можно на каждую чашу положить по 22 монеты.

Если весы снова не будут в равновесии, то мы фактически получим условия предыдущей задачи — только число подозрительных монет будет равно 22, а не 21. Почти так же обстоит дело, если весы останутся в равновесии,— здесь число подозрительных монет будет равно 23. При третьем взвешивании будет отобрана группа из, самое большее, 8 монет; при четвертом взвешивании — из 3 монет и при последнем взвешивании будет отобрана группа из одной монеты.

Задача 14. Теперь рассмотрим более общую задачу. Имеется n одинаковых с виду монет, одна из которых тяжелее остальных. Какое число взвешиваний нам придется произвести, чтобы отыскать эту монету?

Решение:

Каждое взвешивание может дать три различных результата в зависимости от того, отклонятся ли весы вправо, влево или останутся в равновесии.

Если у нас имеется n монет, то существует n возможностей для самой тяжелой из них. Результат одного взвешивания, как мы уже это видели в предыдущих задачах, позволяет выбрать одну из трех групп подозрительных монет.

Таким образом, одно взвешивание позволяет выбрать одну из трех групп, два взвешивания – одну из 32 = 9 групп, три взвешивания –  одну из 33 = 27 групп; м взвешиваний позволяют выбрать одну из Зм групп. И наоборот, если число монет равно Зм, то можно отыскать самую тяжелую из них, образуя: три группы по 3м – 1 монет при первом взвешивании; затем три группы по 3м - 2 монет при втором взвешивании; и, наконец, продолжая действовать таким образом, при м - м (последнем) взвешивании мы помещаем на каждую чашу весов только по одной монете.

Ответ: если 3м – 1 < n ≤ 3м (где м— натуральное число), то нам потребуется м(или меньше) взвешиваний.

Задача 15. Имеется 8 одинаковых с виду монет. На каждую чашу весов кладут по четыре монеты. Одна чаша весов перевешивает, ибо одна из монет отличается по весу от остальных семи. С помощью какого числа дополнительных взвешиваний можно обнаружить монету, отличную по весу от других?

Решение:

Для удобства пронумеруем монеты цифрами от 1 до 8. Пусть, например, взвешивание состоит в том, что на левую чашу помещаются монеты 1, 2 и 3, а на правую чашу — монеты 4, 5 и 6; мы обозначим это взвешивание так: 1 2 3 — 4 5 6

Результат взвешивания запишем в виде

1 2 3 \ 4 5 6 — если перетянет левая чаша весов;

1 2 3 | 4 5 6 — если весы останутся в равновесии;

1 2 3 / 4 5 6 — если перетянет правая чаша весов.

Сами монеты мы будем обозначать так:

n — если монета имеет обычный нормальный вес;

L — если монета тяжелее обычной;

l— если монета легче обычной.

Взвешивание, указанное в условии задачи, состояло в том, что сравнивались монеты 1, 2, 3 и 4 с монетами

5, 6, 7 и 8; пусть

1 2 3 4 \ 5 6 7 8

Значит, либо отличная по весу от других монета тяжелее остальных и находится на левой чаше весов, либо она легче других и находится на правой чаше, т. е.

1, или 2, или 3, или 4 = L

или

5, или 6, или 7, или 8 = l.

При следующем взвешивании мы сравниваем монеты 1, 2 и 5 с 3, 4 и 6. Если перетянула левая чаша (т. е. 1 2 5 \ 3 4 6), то это значит, что

1, или 2, или 5 = L или

3, или 4, или 6 = l.

Но в соответствии с результатами предыдущего взвешивания возможны лишь варианты

1 или 2 = L

или 6 = l.

При следующем взвешивании следует сравнить монеты 1 и 2:

если 1 \ 2, то 1 — искомая, более тяжелая, чем остальные, монета;

если 1 | 2, то 6 — искомая монета, более легкая, чем другие.

Если при первом дополнительном взвешивании перетянет правая чаша весов (1 2 5 / 3 4 6), то нужно действовать аналогичным образом и при следующем взвешивании сравнить 3 и 4.

Если при первом дополнительном взвешивании весы окажутся в равновесии, то шесть первых монет нормальные, а искомая, более легкая монета — это 7 или 8. Значит, при следующем взвешивании достаточно сравнить 7 и 8.

Скачано с www.znanio.ru