Новый способ нахождения наименьшего общего кратного чисел.

Новый способ нахождения  НОК(наименьшего общего  кратного) Выполнил: Смолянинов Ю., МАОУ №5 «Гимназия»

Проблема 1)Реально ли ввести  новый метод в  школьную программу? 2)Нужно ли это?

Гипотеза Применение данного  способа облегчает и  ускоряет нахождение  НОК

Цель проекта: Доказать , что новый способ  облегчает и ускоряет  нахождение НОК , и  таким образом будет полезным и актуальным. Для этого будет создан буклет с доступным  содержанием, пользоваться которым смогут и  обучающиеся и преподаватели­математики.

Традиционный способ(теория): 1)разложить их на простые множители 2)выписать множители, входящие в разложение одного из  чисел 3)добавить к ним недостающие множители из разложения  остальных чисел 4)найти произведение получившихся множителей Традиционный способ(практика) Найдем НОК 70 и 6 70|2          6|2      2х5х7х3=210         35|5          3|3       НОК (70 и 6) = 210   7|7          1|1   1|1

Новый способ нахождения НОК(алгоритм):  1)перемножить данные числа  2)результат разделить на 2 Новый способ нахождения НОК(практическое  применение) Найдем НОК (70 и 6)         (70х6):2=420:2=210         НОК 70 и 6 = 210

Условия при которых можно использовать  новый способ: 1)Одно из чисел должно быть круглым, двузначным  и в разряде десятков иметь нечетное число Пример: 10, 30, 50, 70, 90. Общий вид: (2k­1)х10 2)Второе число однозначное и четное Пример: 2, 4, 6, 8.    Общий вид: 2n                                     Формула: ((2k­1)x10)x(2n)):2 (2k­1)x10 – 1 число 2n – 2 число

Я провел эксперимент, в нем участвовало 23 человека  1 группа экспериментальная – 12 человек  2 группа контрольная – 11 человек      Одни и те же числа  были предложены обеим группам.  Контрольная группа находила НОК обычным способом ,  экспериментальная новым. Числа были даны, в соответствии  условиям применимости  правило:  НОК (70 и 6)                            НОК (30 и 4)                            НОК (8 и 10)       Чтобы закончить задание 1 человеку из экспериментальной  группы понадобилась 1 минута, а последнему 2 минуты(от  начала). А в контрольной группе 1 человеку понадобилось 4  минуты, а последнему 9 минут.

После этого мы провели опрос в котором участвовали 2 группы Вопросы были такие: 1)вопрос: Какой способ нравится больше?                                                 =86,957%(20 человек)                                                   =13,043%(3 человека) Выбор Экс п 2)вопрос: Почему? Легче, удобней, быстрей 3)вопрос: Минусы и плюсы нового способа Минусы                                                                      Плюсы                                                                                                      Удобн                               =21,7 % (5чел.)                                                             о       Легко                            =65,2%(15 чел.) Быст                                =65,2%(15 чел.)                                     =95,7%(22     ро                                                                                                                                                                                                                                                                                                  человека)

4)Вопрос : Будете ли использовать новый способ в своих  вычислениях?                                     Ответы                                                                      =65,2%(15чел) Да Иногд                                                                             =34,8%(8чел) а                                                                         Нет                                                                                                                                                               =0%(0чел)

Вывод: Данный способ актуален , прост в  использовании, доступен даже  самому слабому ученику ,  единственный минус: может  использоваться не для всех чисел

4. Доказательство уникальности выведенного нами способа. Цель: выяснить – существовал ли ранее сформулированный нами способ нахождения НОК чисел. Для этого мы изучили ряд источников и выяснили, что подобный способ уже был сформулирован ранее, и он основан на связи наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a•b:НОД(a, b).

Пример.      Найдите наименьшее общее кратное двух чисел    (126 и 70). Решение. В этом примере a=126, b=70. Воспользуемся связью  НОК с НОД, выражающуюся формулой                      НОК(a, b)=a•b:НОД(a, b).     То есть, сначала нам предстоит найти наибольший  общий делитель чисел 70 и 126, после чего мы сможем  вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.     НОД(126, 70) = 14 Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное:  НОК(126, 70)=126•70:НОД(126, 70)=126•70:14=630.    Ответ: НОК(126, 70)=630.

Вывод: Подобный способ нахождения НОК, в школьной программе не применяется, но существует. Только у меня более частный случай: он сформулировал способ для чисел с одним общим делителем =2. А в представленный выше способ применим для всех чисел, и нужно сначала найти их наибольший общий делитель. Но, как бы там ни было, новый способ нахождения НОК я нашёл сам. Напомним, какая была первоначальная формулировка

Если одно из чисел – однозначное и чётное, т.е. вида (2n), а другое – двузначное нечётное в разряде десятков и оканчивается на 0. т.е. вида (2к -1)*10, то НОК равен половине произведения этих чисел. НОК = ((2n) * (2к-1)) / 2. Именно эту формулировку способа я представляю вам в буклете-вкладыше, предлагая его в качестве приложения к учебнику Математика 6

В итоговую контрольную работу без предупреждения было включено одно задание, для которого было возможно применение нового способа. Цель: Убедиться по результатам итоговой контрольной работы в актуальности и эффективности моего способа.

После проверки и обработки результатов итоговой работы получили:   не использовали новый способ; 53% использовали новый способ; 47%

Применяли новый способ нахождения НОК чисел Выполнили задание правильно выполнили не правильно 5% 95%

Не применяли новый способ нахождения НОК чисел выполнили задание правильно выполнили задание не правильно 49% 51%

Применение нового способа  в итоговой контрольной работе  26% 27% 44% 2% Использовали новый способ и справились с заданием Использовали новый способ, не справились с заданием Не использовали новый способ способ, справились с заданием Не использовали новый способ способ, не справились с заданием

Вывод: 52% против 95% - наглядный результат! Новый способ нахождения НОК чисел даёт отличные результаты! С применением моего способа можно упростить и ускорить выполнение соответствующих заданий, а так же повысить качество выполнения контрольных работ.

Вывод общий:    Новый способ нахождения НОК чисел подтвердил свою  актуальность, востребованность и рациональность.       Достоинства нового способа: ­ лёгкость                                                              ­ быстрота    Новый способ доступен даже ученику с низким уровнем  математической грамотности.      Новый способ вполне может применяться и для  нахождения  общего знаменателя при сложении и  вычитании обыкновенных дробей с разными  знаменателями.

P.S Существует точная закономерность. Если число состоит из нечетных цифр и оканчивается на 0 , а у второго числа разряд единиц больше на 1 или меньше на 1, чем первое число до 0 в разряде единиц , то НОК таких чисел тоже равен половине их произведения. Пример: НОК (990 и 98)= (990x98 :2) =48 510 990|2 98|2 495|5 49|7 2x5x3x3x11x7x7=48 510 99|3 7|7 33|3 1| 11|11 1|

Я определил, что нахождение НОК чисел вида (2450 и 244); (990 и 98); (14430 и 1442) и т.п., тоже можно сформулировать отдельным правилом. Это поле ещё не освоено, есть предмет для исследования. А значит, исследовательскую работу можно продолжить. Кроме того, при работе с ресурсами я обнаружил, что существует алгоритм нахождение НОК отрицательных чисел, что мной ещё не изучено. Впереди ещё много интересного!

Самооценка Не только Менделееву снились его научные труды!   Работа над способом интересна не только потому, что упрощает нахождение НОК, но и тем, что в ходе работы выяснился факт, позволяющий расширить границы применения этого способа.

Всем, кто участвовал в эксперименте, мой способ очень понравился. Особенно экспериментальной группе, когда они быстро и легко, благодаря новому способу нахождения НОК, справились с поставленной задачей, гораздо быстрее контрольной группы. А затем его оценили и все те, кто был в контрольной группе, как только им о нём рассказали. К итоговой работе о новом способе нахождения НОК знали все шестиклассники и успешно его применяли.

Предлагаю включить этот  способ нахождения НОК  чисел в учебное пособие в  учебнике математики 6  класса как один из  оптимальных способов  нахождения общего  знаменателя  обыкновенных дробей.

Ресурсы: 1. Наш учебник математики Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд Математика 6. М.:2009г. 2. А.П.Савин.  Энциклопедический словарь юного математика .  М.:  «Педагогика­Пресс» 1999г. Интернет-ресурсы:  1. http://www.cleverstudents.ru/divisibility/nok_finding.html - cleverstudents.ru - математика доступна каждому! 2. http://math-prosto.ru/?page=pages/find_nod_and_nok/fin d_nok.php - Школьная математика. 3. http://elenanikolaeva.ru/spravochnik-shkolnika/pravilo-na xozhdeniya-nok-neskolkix-chisel.html - Сайт репетитора по математике Елены Николаевой для школьников и их родителей.