Арифметическая прогрессия 9 класс

Арифметическая прогрессия: Введение в мир чисел

Что такое арифметическая прогрессия? Это последовательность чисел, где каждое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Как, например, растет количество мест в кинотеатре.

В этой презентации мы рассмотрим основные формулы, научимся решать задачи и увидим, где это знание может пригодиться в реальной жизни.

АН

Формула n-го члена: Ключ к последовательности

Основная формула

aₙ = a₁ + (n - 1)d – это формула, позволяющая найти любой член прогрессии. a₁ - первый член, d - разность, n - номер члена.

Пример

Дано: a₁ = 2, d = 3. Найти a₁₀.

Решение: a₁₀ = 2 + (10 - 1) * 3 = 29.

Эта формула – ваш компас в мире арифметических прогрессий! Зная первый член и разность, вы можете вычислить любой элемент.

Сумма первых n членов: Считаем вместе

Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2

Самый простой способ найти сумму, если известен первый и последний члены.

Sₙ = [2a₁ + (n - 1)d] * n / 2

Используйте эту формулу, когда знаете только первый член и разность.

Пример

Найти сумму первых 15 членов, если a₁ = 1, d = 4.

Решение: S₁₅ = (2 * 1 + (15 - 1) * 4) * 15 / 2 = 435.

Решаем задачи: Находим потерянные звенья

1

Задача 1: Поиск a₈

Дано: a₁ = 5, d = -2. Найти a₈.

Решение: a₈ = 5 + (8 - 1) * (-2) = -9.

2

Задача 2: Поиск a₁

Дано: a₄ = 12, d = 3. Найти a₁.

Решение: a₁ = a₄ - 3d = 12 - 3 * 3 = 3.

Каждая задача – это головоломка. Используйте формулы, чтобы найти недостающие элементы прогрессии.

Решаем задачи: Считаем суммы – шаг за шагом

Задача 1: Сумма 20 членов

Дано: 3, 7, 11, ... Найти S₂₀.

Решение: a₁ = 3, d = 4, a₂₀ = 79, S₂₀ = (3 + 79) * 20 / 2 = 820.

Задача 2: Поиск d

Дано: S₁₀ = 150, a₁ = 5. Найти d.

Решение: d = (150 * 2 / 10 - 2 * 5) / 9 = 2.22 (примерно).

Решение задач на сумму требует внимательности и точности. Не торопитесь, и у вас все получится!

Задачи повышенной сложности: Мастерство решения

Задача 1: Поиск a₁ и d

a₅ = 18, a₁₀ = 33. Найти a₁ и d.

Решение: d = 3, a₁ = 6. (Система уравнений).

Задача 2: Поиск d

S₅ = 40, a₁ = 2. Найти d.

Решение: d = 3.

Эти задачи требуют более глубокого понимания темы. Решайте их, чтобы стать настоящим мастером арифметических прогрессий!

Арифметическая прогрессия в реальной жизни: Вокруг нас

1

Места в кинотеатре

Расчет количества мест в каждом ряду, если каждый ряд увеличивается на одинаковое число мест.

2

Накопления

Расчет суммы денег, накопленных за определенный период времени при фиксированном увеличении взноса.

3

Строительство

Формирование башен из блоков, где каждый следующий ряд блоков меньше предыдущего.

Арифметическая прогрессия – это не просто математика. Она помогает нам понимать и планировать различные аспекты нашей жизни.

Графическое представление: Визуализируем прогрессию

График aₙ от n

Линейная зависимость. С каждым шагом значение растет или убывает равномерно.

График Sₙ от n

Квадратичная зависимость. Сумма растет все быстрее с увеличением количества членов.

Графики помогают увидеть закономерности и лучше понять, как работает арифметическая прогрессия.

Проверь себя: Тест на знание арифметической прогрессии

Вопрос 1

a₁ = 7, d = -3. Найти a₆. (Ответ: -8)

Вопрос 2

a₁ = 2, a₇ = 20. Найти d. (Ответ: 3)

Вопрос 3

Найти сумму первых 8 членов: 4, 6, 8, ... (Ответ: 80)

Вопрос 4

a₃ = 10, a₅ = 16. Найти a₁. (Ответ: 4)

Этот тест поможет вам оценить свои знания и выявить пробелы. Удачи!

Заключение: Путь к знаниям продолжается

Основные понятия

Повторили основные формулы и определения.

Практика

Практика - лучший способ закрепить знания.

Дальнейшее изучение

Учебники, онлайн-ресурсы – мир знаний открыт для вас.

Спасибо за внимание! Не бойтесь задавать вопросы и продолжайте исследовать мир математики.