ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (9 часов)

 В этой главе вводится одно из важнейших понятий - понятие параллельных прямых и дается первое представление об аксиомах и аксиоматическом методе в геометрии.

Изучаются признаки и свойства параллельных прямых. На основе новых геометрических фактов существенно расширяется круг задач.

Теория параллельных прямых дает богатый материал и для внеклассной работы, в частности для ознакомления учащихся с вопросами истории, связанными с пятым постулатом Евклида.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ (§ 1) (3 часа)

 В результате изучения параграфа 1 учащиеся должны знать определение параллельных прямых, названия углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, формулировки признаков параллельности прямых; понимать, какие отрезки и лучи являются параллельными; уметь показывать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов, доказывать признаки параллельности двух прямых и использовать их при решении задач типа № 186, 187, 188, 189, 191, 194; уметь строить параллельные прямые при помощи чертежного угольника и линейки.

 Урок 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

 Цели: ввести понятие параллельных прямых; рассмотреть признак параллельности двух прямых, связанный с накрест лежащими углами.

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

 II. Объяснение нового материала.

1. Повторить возможные случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости, используя при этом готовые чертежи, плакаты или кодопозитивы.

2. Предложить учащимся провести обоснование того факта, что две прямые не могут иметь двух или более общих точек.

3. Дать определение параллельных прямых и соответствующее обозначение: а || в.

4. Ввести понятие параллельных отрезков, отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей по рисунку 99 учебника.

5. Ввести понятие секущей по отношению к двум прямым по рисунку 100.

6. Рассмотреть и ввести название различных пар углов, образованных двумя прямыми и секущей: накрест лежащие углы, односторонние углы, соответственные углы (рис. 100).

7. По заранее заготовленным таблицам или рисункам на доске провести работу:

1) По рисунку 1 назовите пары накрест лежащих, односторонних, соответственных углов.

2) На рисунке 2 ∠4 = ∠6. Докажите, что ∠5 = ∠3; ∠8 = ∠6; ∠2 = ∠5.

3) На рисунке 3 ∠1 = ∠5:

а) выпишите все пары накрест лежащих углов и докажите, что в каждой паре углы равны;

б) выпишите все пары соответственных углов и докажите, что в каждой паре углы равны;

в) выпишите все пары односторонних углов и докажите, что сумма углов в каждой паре равна 180°.

8. Повторить признаки равенства треугольников и утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п. 12).

9. Вспомнить еще раз определение параллельных прямых и отметить, что так как прямые бесконечны, то невозможно непосредственно убедиться в том, что они не имеют общей точки. Поэтому желательно иметь какие-то признаки, по которым можно сделать вывод о параллельности прямых. С понятием «признак» мы уже встречались, когда изучали признаки равенства треугольников. Теперь же предстоит познакомиться с признаками параллельности двух прямых.

 II. Работа с учебником.

1.  Проведение по тексту учебника доказательства теоремы - признака параллельности двух прямых, использующего накрест лежащие углы (рис. 101).

Это доказательство не является традиционным - во многих учебниках этот признак доказывается методом от противного.

В процессе доказательства необходимо акцентировать внимание учащихся на назначении дополнительных построений (рис. 101, в учебника).

2.  Теорема является важной и сама по себе, и потому, что на нее опираются доказательства других признаков параллельности прямых.

3.  Устно решить задачу № 187 (рис. 107) и задачу № 189 (по рис. 108 или по ранее заготовленным плакатам).

IV. Закрепление изученного материала.

1.  Задача. Найти пары параллельных прямых (отрезков) и доказать их параллельность (по готовым чертежам на доске (см. рис. 1-3):

2. Решить задачу № 191 на доске и в тетрадях учащихся.

Дано: ΔABC; ВК - биссектриса ВМ = МК.

Докажите, что КМ || АВ.

 Доказательство: По условию ВМ = МК, тогда треугольник ВМК — равнобедренный (по определению), значит, ∠MBK = ∠MKB (углы при основании равнобедренного треугольника равны). По условию ВК — биссектриса ∠B, то ∠MBK = ∠ABK.

Следовательно, ∠ABK = ∠MBK = ∠MKB, a ∠ABK и ∠MKB — накрест лежащие углы, тогда АВ || КМ.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 24-25 (только первый признак); решить задачи № 186, 188.

ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

 Цели: дать представление об аксиомах геометрии; ввести аксиому параллельных прямых и следствия из нее.

I.  Анализ результатов самостоятельной работы.

 II. Изучение нового материала.

1. Беседа об аксиомах геометрии (использовать материал пункта 27 учебника и Приложение 1 на с. 344-348 учебника, Приложение 2 на с. 349-351, а также книгу: Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1982).

2. Записать в тетрадях:

Аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия.

3. Предложить учащимся задачу, решение которой дано в начале п. 28: через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а. Решение этой задачи доказывает существование прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

4. Вопрос к учащимся: Сколько таких прямых можно провести?

5. Рассказать учащимся о том, что в геометрии Евклида, изложенной им в книге «Начала» ответ на данный вопрос следует из знаменитого пятого постулата, и этот ответ таков: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Пятый постулат знаменит тем, что долгие годы его пытались доказать на основе остальных аксиом Евклида. И лишь в прошлом веке, во многом благодаря великому русскому математику Н. И. Лобачевскому, было доказано, что пятый постулат не может быть выведен из остальных аксиом. Поэтому утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, принимается в качестве аксиомы.

6. Заострить внимание учащихся на том, что в аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (единственность прямой), а существование такой прямой доказывается.

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно решить задачи № 196, 197.

Указание: при решении задачи № 197 полезно на рисунке показать учащимся два возможных случая расположения прямых:

1) все четыре прямые пересекают прямую р;

2) одна из четырех прямых параллельна прямой р, а три другие прямые пересекают ее.

Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи: по крайней мере, три прямые пересекают прямую р.

2. Разъяснение смысла понятия «следствия».

Записать в тетрадях: следствиями называются утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.

3. Рассмотреть следствия 1° и 2° из аксиомы параллельных прямых.

4. Решить задачи № 198, 200, 218.

Решение задачи № 218: отметим произвольную точку, не лежащую на прямой в, и проведем через нее прямую с, параллельную прямой в. Так как прямая а пересекает прямую в, то она пересекает и прямую с. Таким образом, прямая с пересекает прямую а и параллельна прямой в.

5. Решить задачу № 219*.

Решение:

Предположим, что прямые а и в не параллельны, то есть пересекаются. Тогда можно провести прямую с, которая пересекает прямую а и не пересекает прямую в (задача № 218). Но это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно и а || в.

 IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 27 и 28; ответить на вопросы 7-11 на с. 68 учебника; решить задачи № 217, 199.

Скачано с www.znanio.ru