В 1748 году ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР ввел в математику обозначения для синуса и косинуса углов : «sin» и «cos». В фундаментальном труде « Введение в анализ бесконечных» ученый изложил теорию тригонометрических функций, которая является основой современной математики. Разберем в презентации как получается основное тождество и его следствия.
ПрезентацияОсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.ppt
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
тригонометрическое
тождество и следствия из
Основное
него
Интерактивный плакат
г. Калязин, 2009г.
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
В 1748 году ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР ввел в
математику обозначения для синуса и
косинуса углов : « sin » и « cos ».
В фундаментальном труде « Введение в
анализ бесконечных» ученый изложил
теорию тригонометрических функций,
которая является основой современной
математики .
Основное тригонометрическое тождество
впервые в изложении Эйлера предстало в
виде :
2
sin α + cos α = 1
2
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Л. ЭЙЛЕР
/ 17071783 г.г. /
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
sin α +cos α = 1
2
2
Аргумент может быть ЛЮБЫМ, но
только ОДИНАКОВЫМ для обеих
функций.
НАПРИМЕР
sin 30°+ cos 30° =1
sin t + cos t = 1
sin (t+3α) + cos (t+3α) =1
2
2
2
2
2
2
α
аргумент
α= 30°
π
α=
3
α= t+3
ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
1
У
У
1
О
1
α
1
Координаты точки М
на единичной
окружности
x = cos α
y = sin α
М ( Х ; У)
в
Х
1
Х
ОВМ –прямоугольный.
ОВ = х ; МВ = у; ОМ = 1 .
По теореме Пифагора :
2
x + y = 1
2
2
sin α + cos α = 1
2
ДОКАЗАТЕЛЬСВО ОСНОВНОГО
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
ПРИМЕР №1
ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ:
(4 sin α –5) , ПРИ cos α= 0,25.
2
2
2
2
sin α =1cos α
2
Указание : вычислить значение sin α и подставить в условие
2
РЕШЕНИЕ :
ОТВЕТ : 4.
ПРИМЕР №2
2
sin α = 1 0,25 = 0,75 ;
(4sin α –5) = (4 ∙ 0,75 5) = 4 .
2
2
2
УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЕ :
7sin (2t +
) + 7 сos (2t +
2
2
α= 2t +
).
Указание : вынести общий множитель 7 за скобки .
РЕШЕНИЕ :
ОТВЕТ : 7.
2
2
7[ sin (2t +
) + cos (2t + ) ] = 7.
ОПОРНЫЕ ПРИМЕРЫ
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СИНУСА И КОСИНУСА УГЛА
2
sin α=1 cos
2
α
2
sin α + cos α = 1
2
sin α = 1 cos
2
α
ЗНАК перед корнем
выбирается в зависимости от
того, в какой четверти лежит
угол α :
y
y
cos α
+
x
+
sin α
+
+
x
cos α=1 sin α
2
2
cos α= 1 sin α
2
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ОСНОВНОГО
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
Вычислить значение cos t и tg t,
если sin t = √5
4
,при t
cos α= √1 sin α2
±
2
5
cos t = 1 ( ) =
√11;
= √ 1 5
tg t= √
.
√
√
4
16 = √ 11
5
4
4
16 =
= √ 5
11
√
11
4:
y
ПРИМЕР № 3
РЕШЕНИЕ :
ОТВЕТ :
cos t =
√
tg t =
√
11
4
5
11
tg α = sinα / cosα
y
+
x
Указание : знак синуса и
косинуса в 3 четверти « »
тангенса «+»
sin t, cos t
x
tg t
ОПОРНЫЕ ПРИМЕРЫ
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА УГЛА
SIN α ≠ 0
sin α + cos α = 1
COS α ≠ 0
2
2
РАЗДЕЛИМ ОБЕ ЧАСТИ ТОЖДЕСТВА ПОЧЛЕННО НА SIN α ИЛИ COS α
2
2
2
2
sin α cos α 1
sin α sin α sin α
=
+
2
2
2
1 +
2
ctg α=
1
sin α
2
І следствие
tgα =sin α
cos α
cos α
ctgα =sin α
+
y
+
x
ctgα
tgα
2
2
sin α cos α 1
cos α cos α cos α
=
+
2
2
2
1 +
2
tg α=
1
2
cos α
ІІ следствие
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОСНОВНОГО
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
ПРИМЕР №4 :
Указание: в 1 четверти
cos x имеет знак «+» .
РЕШЕНИЕ :
y
+
x
Вычислить значение cos x, если tg x=
при
.
√11
5
1+ tg x =2
1+
11
25
=
1
cos x2
1
cos x2
;
;
2
cos x=
cos x=
25
11+25
5
6
.
=
25
36
ОТВЕТ:
5
6
cos x
2
tg x +1=
1
cos x2
ОПОРНЫЕ ПРИМЕРЫ
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
2
(a + b) = a + 2ab + b
2
a = sin t ; b = cos t
sin t + cos t = 1
2
2
КВАДРАТ СУММЫ :
2
2
( sin t + cos t ) = sin t + 2 sin t cos t + cos t = 1 + 2 sin t cos t
2
2
РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ :
(a + b) (a b)= a b2
2
b= sin t
2
1 sin t = cos t
2
( 1+ sin t ) ( 1 sin t )= 1 sin t = cos t ;
(3+ sin t) ( 3 sin t ) = 9 –sin t = 8+ ( 1 sin t ) = 8 + cos t .
2
2
2
2
2
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
П
Р
Е
2
О
Б
Р
А
З
О
В
А
Т
Ь
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
ПРИМЕР №5 :
а)
(tg z – 1) (tg z + 1)
Тождество:
Доказательство :
2tg z 1=
=
2
sin z
2
cos z
1 =
2
sin z cos z
2
2
cos z
=
1
cos z2
2 .
=
1 2 cos z2
cos z
2
=
1
cos z2
2 ;
б)
2
sin t
1+ cos t
=
1 cos t .
=
в)
sin z
1 cos z
2
sin z
=
+
sin z
1+cos z
.
=
=
=
=
=
=
2
1 cos t =
1+ cos t
= 1 cos t ;
(1 cos t) ( 1+ cos t)
1+ cos t
sin z ( 1+ cos z ) + sin z ( 1 – cos z )
( 1 cos z ) (1+ cos z )
sin z +sin z cos z + sin z – sin z cos z
2 sin z
sin z2
=
=
ОПОРНЫЕ ПРИМЕРЫ
1 cos z2
2
.
sin z
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
ПРИМЕР №6 :
Вычислить значение произведения sin
x cos x, при ( sin x + cos x ) = 1,2 .
Указание: возвести обе части равенства в квадрат.
РЕШЕНИЕ:
2
sin x+ cos x= 1
2
ОТВЕТ : 0,22
2
2
sin x + cos x= 1,2 ;
2
( sin x + cos x ) = 1,2 ;
sin x+ 2 sin x cos x + cos x =1,44 ;
1+ 2 sin x cos x = 1,44 ;
2 sin x cos x = 1,44 1 ;
2 sin x cos x = 0,44 ;
sin x cos x = 0,22 .
2
2
(a +b ) = a +2ab +b
2
2
ОПОРНЫЕ ПРИМЕРЫ
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
2
sin α + cos α =
1
2
sin α = ±√ 1 cos α
2
cos α = ±√ 1 sin
α
2
1+ tg α =2
1
cos α 2
1+ ctg α =2
1
sin α
2
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОСНОВНОГО
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА
ООсновное тригонометрическое тождество и следствия из него.
Библиография
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
11.02.2017
Посмотрите также:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
