ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

Основные понятия теории множеств.
Пересечение и объединение множеств

Цели: ознакомить учащихся с основными понятиями теории множеств, операциями над множествами (пересечение и объединение множеств); формировать умения задавать множества и проводить над ними основные операции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1. Запишите в виде двойного неравенства b = 5,82 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 2 и 14 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до сотых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

В а р и а н т  2

1. Запишите в виде двойного неравенства u = 6,75 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 6 и 18 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

III. Объяснение нового материала.

Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся с теоретико-множественными понятиями является введение неопределяемых понятий множества, его элемента и принадлежности.

I  б л о к.

1. О с н о в н ы е   п о н я т и я.

Одно из основных понятий современной математики – множество. Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие.

Когда  в  математике  говорят  о  множестве  (чисел,  точек,  функций  и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое – множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое».

Множество – это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.

Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом «множество деревьев».

Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и «множества», содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже «множество», не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаем, сколько оно имеет решений.

Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С, ... Пустое множество, то есть множество, которое не имеет элементов, обозначается символом .

О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а, b, с, ... или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а₁, а₂, ... , а_п.

Предложение «предмет а принадлежит множеству А», или «предмет а – элемент множества А», обозначают символом а  А.

2. С п о с о б ы   з а д а н и я   м н о ж е с т в:

1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки.

Н а п р и м е р: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления.

Необходимо различать объекты, обозначаемые символами а и {а}. Символом а означается предмет, символом {а} – множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество). Перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Такие множества, как, например, множество всех натуральных (N) или всех целых чисел (Z), нельзя задать таким способом, так как мы не можем перечислить все N и все Z – таких чисел бесконечное множество.

2) Имеется другой (универсальный) способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.

Н а п р и м е р:  {x | x – делятся на 10};

                                 A = {a | a – число, которое меньше, чем 100}.

3. У п р а ж н е н и я:

а) Назовите известные вам множества людей (например, команда).

б) Запишите множества, элементами которых являются:

1) планеты Солнечной системы;

2) столицы государств;

3) все двузначные числа;

4) числа, делящиеся на 7.

в) Пусть А – множество чисел, на которые делится 100 без остатка. Верна ли запись:

1) 5  А;            2) 12  А;            3) 7  А;            4) 4  А?

г) Пусть  даны  множества  А = {а  а – число, кратное двум}  и  В =
= {b  b – число, кратное шести}.

В ы п и ш и т е:

1) два элемента, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В;

2) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В;

3) два элемента не принадлежащих ни множеству А, ни множеству В.

II  б л о к.

1. Р а в е н с т в о   м н о ж е с т в.

Очень важной особенностью множества является то, что в нём нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколько угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим, что мы записали множество {7, 9, 7, 11, 7}. В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет {7, 9, 11}.

Рассмотрим два множества: {а, b, с} и {b, а, с}. Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны, если содержат одни и те же элементы.

2. П е р е с е ч е н и е   м н о ж е с т в.

Рассмотрим два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим новое множество С, в которое запишем общие элементы А и В. Общими у них являются элементы 5 и 6, значит, С = {5, 6}. Множество С является пересечением множеств А и В, обозначается так:

О п р е д е л е н и е:  Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

3. О б ъ е д и н е н и е   м н о ж е с т в.

Возьмём те же два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим теперь множество D таким образом, чтобы в него вошли все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Здесь следует ознакомить учащихся с приёмом задания объединения множеств: сперва мы выписываем все элементы множества А, а затем те элементы  множества В,  которые  не  принадлежат  множеству А.  Получим: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество D является объединением множеств А и В, обозначается так:

О п р е д е л е н и е:  Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

4. У п р а ж н е н и я:

а) Верна ли запись:

1) {8, 12, 16, 20} = {12, 20, 16, 18};

2) {m, n, p, q} = {p, m, q, n};

3) {3, 4, 3, 5} = {3, 4, 5}?

б) Запишите множества, равные:

1) {2, 3, 2, 4, 2, 5};                      2) {f, f, f, m, m, m}.

в) Даны множества А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8} и K = {1, 3, 5, 7}. Найдите:

1) А K;                         5) А K;

2) А С;                         6) А С;

3) А В;                         7) А В;

4) А K В;                            8) А K В.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатываются умения задавать множества, правильно оформляя запись, а также находить пересечение и объединение множеств, пользуясь введенными определениями.

1. № 799.

Р е ш е н и е

х = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};

у = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

х у = {11, 13, 17, 19};

х у = {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

2. Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые используются при записи слов «типография» и «фотография».

Р е ш е н и е

А = {т, и, п, о, г, р, а, ф, я} – множество букв, используемых в записи слова «типография»;

В = {ф, о, т, г, р, а, и, я} – множество букв, используемых в записи слова «фотография».

А В = {т, и, о, г, р, а, ф, я},

А В = {т, и, п, о, г, р, а, ф, я}.

П р и м е ч а н и е. Обращаем внимание учащихся, что в этом случае А В = А.

3. № 801 (а).

Р е ш е н и е

х = {1, 2, 3, 4}; у = {1, 2, 3, 6}.

х у = {1, 2, 3}; х у = {1, 2, 3, 4, 6}.

П р и м е ч а н и е. Подчёркиваем необходимость «упорядоченной» записи множеств, так как в этом случае будет удобнее отыскивать общие элементы множеств.

4. № 802 (а).

Р е ш е н и е

а) Чтобы число принадлежало пересечению множеств А и В, оно должно являться одновременно квадратом натурального числа и кубом натурального числа.

1= 1²; 1 = 1³, значит, 1  А В;

4 = 2², но не является кубом натурального числа, значит, 4  А В.

64 = 8², 64 = 4³, значит, 64  А В.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какие способы задания множеств существуют?

– Какие два множества являются равными?

– Как называется множество, в котором нет ни одного элемента?

– Что называется пересечением двух множеств?

– Что называется объединением двух множеств?

Домашнее задание.

1. № 800, № 801 (б), № 802 (б).

2. Укажите  наибольший  и  наименьший  элементы  пересечения  множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечётных двузначных чисел.