Отношения и пропорции

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 6 класс a : b = с : d   a · da · d = с = с ·· bb a  b     Основное свойство пропорции:     или c d

Новые пропорции из основной • В каждой пропорции  можно переставить: •  средние члены; •  крайние члены; •  средние и крайние члены; •  крайние на место средних и средние       на место крайних  • Всего можно получить из данной  пропорции 8 пропорций (включая основную пропорцию)

8 пропорций 8 пропорций a : b = с с : : вв •  a : b =  •   a : a : с = с = b : b : вв •   b : a = d : c b : a = d : c •   b : d = a : c b : d = a : c •   c : a = d : b c : a = d : b •   c : d = a : b c : d = a : b •   d : b = c : a d : b = c : a •   d : c = b : a d : c = b : a

Упрощение пропорций Упрощение пропорций • Преобразования, не нарушающие пропорцию   Преобразования, не нарушающие пропорцию  ­ перестановка членов пропорции:  1) одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз 2) одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз 3) одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз Эти преобразования дают возможность упрощать Эти преобразования дают возможность упрощать пропорции, в частности освобождать их от дробных членов пропорции, в частности освобождать их от дробных членов P.S. P.S. Если в пропорции средние или крайние члены равны Если в пропорции средние или крайние члены равны непрерывными), то из нее (такие пропорции называют непрерывными ), то из нее (такие пропорции называют можно получить путем перестановки членов только 4 можно получить путем перестановки членов только 4 разных пропорций разных пропорций

Производные пропорции a : b = с : d • Сумма (разность) членов I отношения  данной пропорции относится к его  последующему члену, как сумма  (разность) членов II отношения  относится к его последующему a+b : b = c+d : d a­b : b = c­d : d

Производные пропорции a : b = с : d • Сумма (разность)членов I отношения  данной пропорции относится к его  предыдущему члену, как сумма  (разность) членов II отношения  относится к его предыдущему a+b : a = c+d : c a­b : a = c­d : c

Производные пропорции a : b = с : d • Сумма членов I отношения относится  к их разности, как сумма членов  II отношения относится к их разности a+b : a­b = c+d : c­d

Производные пропорции a : b = с : d • Сумма предыдущих членов  пропорции относится к сумме  последующих, как каждый  предыдущий к своему  последующему a+c : b+d = a : b = c : d

Все эти и многие другие пропорции,  получаемые из данной, называются  производными пропорциями • Свойство равных отношений: если несколько отношений равны друг  другу, то сумма всех предыдущих их  членов так относится к сумме всех  последующих,  как каждый предыдущий член ­  к своему последующему

Математический диктант  Вариант 1 1. Равенство двух отношений называют … (продолжить предложение). 2. Отношение 2­х чисел показывает, во сколько раз первое число … . 3. Если пропорция верна, то произведение её средних членов равно  произведению … . 4. Подчеркните крайние члены пропорции:  7 :  21= 1 : 3 5. Верна ли пропорция:       5 : 3 = 2 : 1,2 ?    Вариант 2   1. Частное двух чисел называют … (продолжить предложение).   2. Если пропорция верна, то произведение её крайних членов равно     произведению …    3. Отношение двух чисел показывает, какую часть первое число … .   4. Подчеркните средние члены пропорции:   3 : 4 = 9: 12   5. Верна ли пропорция:     4 : 7= 9 : 22 ?

Ответы к математическому диктанту Вариант 1 1. пропорцией 2. больше второго 3. крайних 4.  7 :  21= 1 : 3 5. верна  Вариант 2 1. отношением 2. средних  3. составляет от второго  4. 3 : 4 = 9 : 12 5. неверна

Задание с кодированным ответом Найдите отношения Вариант 1 Вариант 2

Проверка выполнения задания

оо ио • Евд кс Кн дский (др.­греч.  , лат. Eudoxus;  ок.408 до н. э. — ок.355 до н. э.) — древнегреческий  математик и астроном, родился в Книде, на юго­западе  Малой Азии.  Εύδοξος • Впервые дал общую теорию пропорций.  Представил движение планет как комбинацию  равномерно вращающихся вокруг Земли 27  концентрических сфер.  В честь Евдокса названы кратеры на Луне и на Марсе. О его жизни известно немного.  • Евдокс учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита  в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах.  Около года провёл в Египте, изучал астрономию в  Гелиополе.  Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном  море, основал там собственную математико­астрономическую  школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии. Кроме математики и астрономии, Евдокс занимался врачеванием,  философией и музыкой; был известен также как оратор и законовед.  Неоднократно упоминается у античных авторов; сочинения самого Евдокса  до нас не дошли.

Евклид или Эвклид,  Ευκλείδης    (др.­греч.  древнегреческий математик. , ок. 300 г. до н.э.) —  • Главный труд "Начала" (15 книг),  содержащий основы античной математики,  элементарной геометрии, теории чисел,  общей теории отношений и  метода определения площадей и объемов,  включавшего элементы теории пределов,  оказал огромное влияние на развитие  математики.  Работы по астрономии, оптике,  теории музыки.

Карточки для самостоятельной работы

к самостоятельной Ответы работе

Задачи № 1 • Из 1 кг крупы получается 2,1 кг гречневой рассыпчатой каши.  • Необходимо получить 1400 г каши.  • Сколько нужно взять крупы? № 2 • Для засолки огурцов на 12 л воды берется 750 г соли. • Сколько соли нужно взять, если объём воды составляет 16 л? № 3 • Два мастера при ремонте квартиры могут наклеить обои на  стены за 9 дней.  • За сколько дней могут наклеить эти обои 3 мастера при той же  производительности труда?

Спасибо за внимание!