Первый признак подобия треугольников

Определение: треугольники называются подобными, если углы
одного треугольника равны углам другого треугольника
и стороны одного треугольника пропорциональны
сходственным сторонам другого.

Сходственными сторонами в подобных треугольниках
называются стороны, лежащие против равных углов.

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого треугольника,
то такие треугольники подобны.

Доказательство:

По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол,
получаем:

Итак, углы одного треугольника равны углам другого треугольника,
а их сходственные стороны пропорциональны, значит,
по определению треугольники АВС и МРК подобны.

Диагонали трапеции АВСК пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и АОК относятся как 1: 9. Сумма оснований ВС и АК равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.

Дано: АВСК – трапеция, ВС + АК = 4,8 см,
SСОВ : SАОК = 1 : 9.
Найти: ВС, АК.
Решение:

Значит, по двум углам треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,

SСОВ : SАОК = k2, а по условию SСОВ : SАОК = 1 : 9, т. е. k2 = 1/9; k = 1/3.

По доказанному треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,
ВС : АК = k, т. е. ВС : АК = 1/3, значит, ВС = 1/3 АК или АК = 3 ВС.

А по условию ВС + АК = 4,8 см, значит, ВС + 3 ВС = 4,8; 4 ВС = 4,8.

Получаем: ВС = 1,2 см, АК = 4,8 – 1,2 = 3,6(см).

Ответ: ВС = 1,2 см, АК = 3,6 см.

Нужный вывод

Доказательство:

ВАМК – параллелограмм, значит, АМ = ВК

Вывод: если стороны угла пересечены параллельными прямыми,
то отрезки, образованные последовательно на одной стороне угла,
пропорциональны отрезкам, образованным последовательно
на другой стороне угла.