Построение графиков сложных функций на основе свойства монотонности.

  • docx
  • 13.07.2020
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Иконка файла материала некоторые задачи 2-ой части огэ -_2018.docx

ПРОЕКТ

на тему: «Некоторые задачи II части ОГЭ по математике»

2018 год

 

                                               Введение.

Определение проблемы: необходимость разобрать  решения сложных задач второй части экзаменационной работы.

Задачи исследования: изучение методов решения некоторых сложных, наиболее часто встречающихся, видов школьных математических задач из II части тестов ОГЭ; рассмотрение структуры процесса решения задач; развитие умений самостоятельно конструировать свои знания; ориентироваться в информационном и социальном пространстве.

Гипотеза: применение разнообразных форм работы, развитие умения составлять формулы зависимостей между математическими величинами на основе обобщения частных случаев.

Обсуждение методов исследования.

- Метод конкретных ситуаций (совместное обсуждение методов решения задачи под руководством преподавателя, следование принципу «процесс обсуждения важнее самого решения», самостоятельное изучение и подготовленное в письменном виде решение сложной задачи)

Результаты исследования.

- Сбор, систематизация полученной информации в виде решенных задач, корректировка

Анализ полученных данных.

- Оформление результатов исследовательской работы в электронном виде

Вывод:

- При решении систем уравнений второй степени целесообразно применять метод подстановки;

- При решении текстовых задач важно правильно ввести переменную и составить формулу зависимости между величинами;

- При решении геометрических задач внимательно анализировать условие задачи, находить взаимосвязь между элементами геометрических фигур, применять разные методы решения задачи.

 

 

 

 

 

Практическая часть.

 

       Задания типа № 21.

 

№1. Решите си­сте­му уравнений:

https://oge.sdamgia.ru/formula/de/de248168df99cbc600a5c488a985d2dap.png

 

Решение.

Последовательно получаем:

 

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/68/68b7cf3ed9bc9412c0609ee0435efa8cp.png 

       Ответ: (0; 0); (; ).

     

 

№2. Со­кра­ти­те дробь

 

 https://oge.sdamgia.ru/formula/05/05a4f24faafacdb75c66eee9c57d9b37p.png

Решение.

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

https://oge.sdamgia.ru/formula/f3/f312996fd8f7468764e3095ced9768f3p.png

 

Ответ:   .

 

№3. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

https://oge.sdamgia.ru/formula/51/51065ac3ab15707b1e2e69af67445efap.png

 

Решение.

Выразим y из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во второе, пред­ва­ри­тель­но умно­жив обе его части на 6:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8a1bc1001eb5c0e10fed72fe6d31155fp.png

 

Ответ: (−3,5; 1).

 

 

 

 

№4.  Решите си­сте­му урав­не­ний  

 

 https://oge.sdamgia.ru/formula/3e/3ea8126708322d574a3f0d94b715e67fp.png

 

Решение.

Из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы выразим:  https://oge.sdamgia.ru/formula/17/1706356478b1456f0f7c0c9679f5e350p.png. Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние системы, получаем

https://oge.sdamgia.ru/formula/1a/1a27633500cb9ed9dffcf861b62823c2p.png   

       D = b2 – 4ac

       D = 72 - 4 = 49 – 48 = 1

       х1 = - 4, х2 = - 3

Вычислим значение у1 и у2:

      у1 = - (-4) – 7 = - 3

       у2= - (-3) – 7 = - 4

     

Таким образом, ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы  https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5dc437390d8e6be9c8b74c6edb379251p.png.


Ответ:  https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5dc437390d8e6be9c8b74c6edb379251p.png.

 

                      Задания типа № 22.

 

№1. Рас­сто­я­ние между двумя при­ста­ня­ми по реке равно 80 км. Катер прошёл от одной при­ста­ни до дру­гой, сде­лал сто­ян­ку на 1 ч 20 мин и вер­нул­ся об­рат­но. Всё пу­те­ше­ствие за­ня­ло Най­ди­те ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде равна 18 км/ч.

Решение.

Пусть ско­рость те­че­ния реки равна https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.png км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра по те­че­нию реки равна (18 + х) км/ч, а про­тив те­че­ния (18 – х) км/ч. Время дви­же­ния ка­те­ра от одной при­ста­ни до дру­гой по те­че­нию реки равно , а про­тив те­че­ния  . Весь путь занял   -  = 9 ч. Со­ста­вим уравнение:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/b0/b0b34e2b8fcda80b1bc2a85d6a395dd7p.png

 

Корень −2 не удовлетворяет условию задачи. Ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч.

 

Ответ: 2 км/ч.

 

№2. На пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Ан­дре­ев, Бо­ри­сов, Ва­си­льев. Во время вы­бо­ров за Ва­си­лье­ва было от­да­но в 1,5 раза боль­ше го­ло­сов, чем за Ан­дре­ева, а за Бо­ри­со­ва — в 4 раза боль­ше, чем за Ан­дре­ева и Ва­си­лье­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

Решение.

Заметим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах ока­жет­ся Борисов. Пусть ко­ли­че­ство голосов, от­дан­ных за Борисова, равно х. Тогда за Ан­дре­ева и Ва­си­лье­ва вме­сте от­да­ли    . Про­цент голосов, от­дан­ных за Бо­ри­со­ва   х : (х +  ) × 100 = 80%.

 

Ответ: 80%.

 

№3. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 33 минуты раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 22 минуты после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение.

Пусть https://oge.sdamgia.ru/formula/84/84fc825e5c5d6969221754059de4a804p.png — ско­рость мотоциклиста, https://oge.sdamgia.ru/formula/e2/e2e643399f285b0efc0310e52afa3112p.png — ско­рость велосипедиста. При­мем рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми за единицу. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через 22 минуты, то есть через  часа, после выезда, по­это­му Мо­то­цик­лист при­был в B на 33 минуты раньше, чем ве­ло­си­пе­дист в А, от­ку­да  По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/00/00a68dda675e39284c2d0fb60a2c41d1p.png

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/45/45ae504e4de7ee6ad22bd5e43fdd907ep.png

 

Скорость мо­то­цик­ли­ста не может быть отрицательной, по­это­му ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна    , а время, за­тра­чен­ное на весь путь равно 

 

Ответ: 1,1.

 

№4. Игорь и Паша кра­сят забор за 18 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 20 часов, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко минут маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

Решение.

За один час Игорь и Паша кра­сят 1/18 забора, Паша и Во­ло­дя кра­сят 1/20 забора, а Во­ло­дя и Игорь — за 1/30 забора. Ра­бо­тая вместе, за один час два Игоря, Паши и Во­ло­ди по­кра­си­ли бы:

 

  забора.

 

Тем самым, они могли бы по­кра­сить один забор за 7,2 часа. По­сколь­ку каж­дый из маль­чи­ков был учтен два раза, в ре­аль­но­сти Игорь, Паша и Во­ло­дя могут по­кра­сить забор за 14,4 часа=864 минуты. Ответ: 864

 

                                        Задания типа № 23.

https://oge.sdamgia.ru/get_file?id=13203&png=1№1. Постройте график функции y =   . Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Упростим вы­ра­же­ние для функции:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/92/926380f9252f4a0ae36b45cf74ee5836p.png  при https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9d5f5debe0aabb4477e1b4f3a23cbcbep.png.

 

Таким образом, получили, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции y =   с вы­ко­ло­той точ­кой (-; -9).

Построим гра­фик функ­ции (см. рисунок).

 

 

 

Заметим, что пря­мая y = kx  про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку (-; -9). Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и найдём ко­эф­фи­ци­ент k. https://oge.sdamgia.ru/formula/e4/e42cc210a1a5f93ed312f1b2d1ebecf9p.png

 Ответ: 81.

 

№2. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций y = x2 + p и y = 4x – 5 имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Решение.

Найдём абс­цис­сы точек пересечения:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/a9/a94dd494eb2d86842a797248c136b0b4p.png

 

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это урав­не­ние имеет ровно одно решение. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/ff/ff96f60b7bb4548e3bb5e7ae2f69843ep.png

 

Подставив па­ра­метр p в урав­не­ние, найдём x ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функций:

https://oge.sdamgia.ru/formula/35/35b829e05c2205a4c7acee778a8e9a02p.png

 

Координата y на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты x в любое из уравнений, например, во второе:    https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8a7b31afbe5569c9d2705dad6391888dp.png

 

Теперь, зная p можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. рисунок).

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4783&png=1 

 

 Ответ: (2; 3)

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3168&png=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№3.

 

 

 

Постройте гра­фик функ­ции y =    и определите, при каких зна­че­ни­ях k по­стро­ен­ный гра­фик не будет иметь общих точек с пря­мой y = kx.

Решение.

Преобразуем функцию: y =  при x ≠ -3 и  x ≠ 9 . Гра­фик — пря­мая y = x – 3 без двух точек (-3; -6) и (9; 6). Пря­мая y = kx  не будет иметь с по­стро­ен­ной пря­мой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при k = 1 , и если она будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тые точки. Через первую из этих точек пря­мая y = kx проходит, если k = 2, а через вто­рую — если k = .


Ответ: 

 

№4. Постройте гра­фик функ­ции https://oge.sdamgia.ru/formula/13/1336feb0e9df89485f139e515e38bbcdp.png и определите, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a он имеет ровно две общие точки с пря­мой y = a.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3523&png=1Решение.

Построим гра­фик функ­ции y = −x2 − 4x − 4 на про­ме­жут­ке (−∞; −1), гра­фик функ­ции y = x на про­ме­жут­ке [−1; 1] и гра­фик функ­ции y = 2 − x на про­ме­жут­ке (1; +∞).

 

Прямая y = a имеет с по­стро­ен­ным гра­фи­ком ровно две общие точки при a < −1 и при 0 < a < 1.

 

Ответa < −1, 0 < a < 1.

 

Задания типа № 24.

№1. Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны 2  и 2 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC , причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если KAC > 90°.

Решение.

Рассмотрим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки ABC и AKC и уста­но­вим со­от­вет­ствие между их углами. Про­тив боль­шей сто­ро­ны все­гда лежит боль­ший угол, в тре­уголь­ни­ке ABC это угол ABC в тре­уголь­ни­ке https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5d01a373a4a99165c1dc21ccd0489984p.png, в свою очередь, есть тупой угол https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5d01a373a4a99165c1dc21ccd0489984p.png и он яв­ля­ет­ся наибольшим, зна­читКАС = АВС.  Угол АСК за­ве­до­мо не может быть равен углу https://oge.sdamgia.ru/formula/a5/a5e54b8941f17920606427cb0d02c273p.png так как он со­став­ля­ет толь­ко его часть. Сле­до­ва­тель­но угол АСВ равен углу АКС.

Найдём ко­си­нус угла https://oge.sdamgia.ru/formula/b2/b2e71c6b7263b3102e5dde199165113fp.png ис­поль­зуя тео­ре­му косинусов:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/f3/f3283eb8f8e6082eb0ac6312630c6da8p.png

 

https://oge.sdamgia.ru/get_file?id=4895&png=1

 

Ответ: https://oge.sdamgia.ru/formula/2f/2f7d70809e9aecbb8f90d9b547aefaf4p.png

 

№2.    Прямая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям https://oge.sdamgia.ru/formula/c9/c90a918b859bd1e56cf99af6246b128ep.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/93/93437597656efdb384976096b6261386p.png тра­пе­ции https://oge.sdamgia.ru/formula/78/78bc650652eb45d770c4c80bcd5f8e17p.png, про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны https://oge.sdamgia.ru/formula/94/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/da/da2be3f8b1640de6534fea0e9744cccbp.png в точ­ках https://oge.sdamgia.ru/formula/c5/c57bbdcbfba558e3d23b60edde831e85p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/42/42a2bb04d3b2d328eaf02706cd47b75bp.png соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png, если https://oge.sdamgia.ru/formula/67/679ed7b5fde9ba6397a2007b90654827p.pnghttps://oge.sdamgia.ru/formula/f1/f181273cd192c9f1156d95bc85df57fbp.png.

Решение.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=12853&png=1

https://oge.sdamgia.ru/formula/94/9453a3c2b6b43caeb07f87006c2721abp.png

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/d3/d33c6557b15a06162abd9e113d7d5700p.png по двум углам:

а) https://oge.sdamgia.ru/formula/a8/a8da3c25a2d7035f882d8b023ab4ea35p.png как вертикальные;

б) https://oge.sdamgia.ru/formula/74/7470c97dfa728158764581acf7109ce1p.png как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при https://oge.sdamgia.ru/formula/26/26c9ad09407013f724c239a60878f3afp.png и се­ку­щей https://oge.sdamgia.ru/formula/fb/fbd1e7ba9564863b88d5c43cb833afafp.png.

https://oge.sdamgia.ru/formula/95/95d8ac83a4a42494d8541fd4b1332dfap.png

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/f7/f71bd87a1b6052768a2b8327d81345cap.png

 

2) https://oge.sdamgia.ru/formula/4a/4ad43ed8d838c0916cb8bbbd5eac1c7cp.png по двум углам:

а) https://oge.sdamgia.ru/formula/19/192f594c738bf057c7777b70e8eb5f4dp.png — общий;

б) https://oge.sdamgia.ru/formula/49/4952b92c4d7023702175ed02274f397bp.png как со­от­вет­ствен­ные при https://oge.sdamgia.ru/formula/d3/d342fde97a5d64ae8fbc70ea0dcb4d7fp.png и се­ку­щей https://oge.sdamgia.ru/formula/94/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4p.png.

https://oge.sdamgia.ru/formula/bb/bb2748559daf775334ea9cd164b26ae9p.png

https://oge.sdamgia.ru/formula/68/686d7d372e93204cc0bf2adb3f9c00b9p.png

 

3) ана­ло­ги­чен https://oge.sdamgia.ru/formula/50/508aeeabf0df507d49764cd31d8f821cp.png

4) https://oge.sdamgia.ru/formula/5a/5a378e80b858acc46892a0e133d93ef4p.png


Ответ: 19,2 см.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=86&png=13.      В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

 

Решение.

Из тре­уголь­ни­ка АВС най­дем АВС:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/9e/9e0c537e646e1fb280a772fe1c615d0ap.png

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/87/87a47565be4714701a8bc2354cbaea36p.png — биссектриса, следовательно, https://oge.sdamgia.ru/formula/8f/8fa3d9b5006cf7b6a454349baac077a6p.png

Треугольник НВС — прямоугольный, сле­до­ва­тель­но:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/aa/aa5826bc108b7a9636c30b75eed2949ep.png

 

Найдём угол DBH:

https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7f2aeada0600eb518e8f498e6623c757p.png Ответ: 20°.

№4.     В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=86&png=1Решение.

Найдем https://oge.sdamgia.ru/formula/6a/6a769ec9f850e101e2b430e05d5ad0a1p.png

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/60/60b6064b05f2edbde9c7ca027a494491p.png 

 

Так как BD - биссектриса, то https://oge.sdamgia.ru/formula/8f/8fa3d9b5006cf7b6a454349baac077a6p.png

Треугольник HBC- прямоугольный. Так как https://oge.sdamgia.ru/formula/6b/6b0aa05695cdae1319bbd896cb71c389p.png то https://oge.sdamgia.ru/formula/80/80385c3f81f39189f69bfdb70e21478bp.png

 

Таким образом, ис­ко­мый угол DBH равен https://oge.sdamgia.ru/formula/33/33407641bfbc32b58daaad9c874f197dp.png

 

Ответ: https://oge.sdamgia.ru/formula/dc/dcea84164c68926a226d878aa05ec447p.png

 

 

Задания типа № 25.

 

№1.  В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка B — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN. Из­вест­но, что BL = BM. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Решение.

https://oge.sdamgia.ru/get_file?id=12870&png=1

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть https://oge.sdamgia.ru/formula/c3/c3a2d64082e3baf6df71a25cb0987acdp.png Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки https://oge.sdamgia.ru/formula/9a/9a37b132ac58c2cb05a9f5213aa41bb8p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/5e/5e38252e334d2e3617c82a842e72f60fp.png, в них https://oge.sdamgia.ru/formula/ab/ab57fd0432e25d5b3013133a1c910d56p.pngравно https://oge.sdamgia.ru/formula/30/30873bd3ffcb525ebc8df830279544b0p.png https://oge.sdamgia.ru/formula/c9/c951270e425b15fc20c64da4341c1d89p.png равно https://oge.sdamgia.ru/formula/50/5089fa881630360a9b3361469c1a0c5dp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.png равно https://oge.sdamgia.ru/formula/ed/edde821f05cdcfcdcacb24e4ca253190p.png сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сторонам, а значит, https://oge.sdamgia.ru/formula/2c/2cea7b2d88761bd58695d6e9d5a57f61p.png

Вспомним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, следовательно:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/27/27d4bd16d6bd3e98c42ff30da2c453b0p.png

 

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/a6/a6bf660cdec6e445f83c14b757043d9cp.png

 

Все углы па­рал­ле­ло­грамм прямые, а следовательно, этот па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник

 

№2.       В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка B — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN. Из­вест­но, что BL = BM. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

 

 

Решение.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=12870&png=1

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть https://oge.sdamgia.ru/formula/c3/c3a2d64082e3baf6df71a25cb0987acdp.png Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки https://oge.sdamgia.ru/formula/9a/9a37b132ac58c2cb05a9f5213aa41bb8p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/5e/5e38252e334d2e3617c82a842e72f60fp.png, в них https://oge.sdamgia.ru/formula/ab/ab57fd0432e25d5b3013133a1c910d56p.pngравно https://oge.sdamgia.ru/formula/30/30873bd3ffcb525ebc8df830279544b0p.png https://oge.sdamgia.ru/formula/c9/c951270e425b15fc20c64da4341c1d89p.png равно https://oge.sdamgia.ru/formula/50/5089fa881630360a9b3361469c1a0c5dp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.png равно https://oge.sdamgia.ru/formula/ed/edde821f05cdcfcdcacb24e4ca253190p.png сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сторонам, а значит, https://oge.sdamgia.ru/formula/2c/2cea7b2d88761bd58695d6e9d5a57f61p.png

Вспомним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, следовательно:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/27/27d4bd16d6bd3e98c42ff30da2c453b0p.png

 

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

 https://oge.sdamgia.ru/formula/a6/a6bf660cdec6e445f83c14b757043d9cp.png

Все углы па­рал­ле­ло­грамм прямые, а следовательно, этот па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.

№3.     В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BOC.

Решение.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=12883&png=1

Проведём вы­со­ту https://oge.sdamgia.ru/formula/94/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4p.png так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку https://oge.sdamgia.ru/formula/5f/5f4238afbd8792f5826e919e4ef8e1bdp.pngУглы https://oge.sdamgia.ru/formula/29/292365aa98c86c6962152d0d010b9846p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/36/364dac3de5ac4a7f29283be37d92844dp.png равны друг другу как вертикальные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пополам, следовательно, https://oge.sdamgia.ru/formula/ba/ba86321e21903b9019cb64e51872f0d3p.png Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки https://oge.sdamgia.ru/formula/29/292365aa98c86c6962152d0d010b9846p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/36/364dac3de5ac4a7f29283be37d92844dp.png, они прямоугольные, имеют рав­ные углы и рав­ные гипотенузы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки https://oge.sdamgia.ru/formula/eb/eb0459bfce4185888ecf61fb07987581p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/90/90651ebea9a35ec4e018c8157492e17cp.png. Таким образом, https://oge.sdamgia.ru/formula/72/722e7f395163b7631eef5140824b87d2p.png

Площадь па­рал­ле­ло­грамм равна https://oge.sdamgia.ru/formula/17/17d98660ffc1ab4cc61a5ca0848660bdp.png а пло­щадь тре­уголь­ни­ка https://oge.sdamgia.ru/formula/a5/a57f55c4a1d8911b7572ac5420a00648p.png

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/4a/4ab30168e1fde93a5f4851e4ba451a99p.png

 

№4.       Докажите, что бис­сек­три­сы углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

Решение.

Имеем: https://oge.sdamgia.ru/formula/12/1219ce4a22b4c908559e07ae5ac4b47bp.png

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=12429&png=1

Докажем, что https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f8cfaf7077ed6fbeaf64e3379ec781ebp.png.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/bb/bb80adda23e10e8499416dc7cc9d91bep.png по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам:

а) https://oge.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png — общая;

б) https://oge.sdamgia.ru/formula/6b/6b4fe9ecfef43288236f852a8a29eeeap.png по свой­ству углов рав­но­бед­рен­но­го треугольника;

в) https://oge.sdamgia.ru/formula/61/614d8e685f4d773611d60cf4fc771ff1p.png по опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы и ра­вен­ству углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го треугольника.

2) https://oge.sdamgia.ru/formula/9b/9bb7e2d9e77a15d09e0171ac55ec538cp.png как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты рав­ных треугольников.

 

Задания типа № 26.

№1. В тре­уголь­ни­ке ABC на его ме­ди­а­не BM от­ме­че­на точка K так, что BK : KM = 10 : 9. Прямая AK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P. Найдите от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхугольника KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABС

Решение.

https://oge.sdamgia.ru/get_file?id=6706&png=1

Пусть площадь треугольника https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png равна https://oge.sdamgia.ru/formula/a5/a5cb5c38e6f2053caa17c97bab5b9988p.png

Проведём прямую https://oge.sdamgia.ru/formula/ed/edde821f05cdcfcdcacb24e4ca253190p.png параллельную https://oge.sdamgia.ru/formula/00/006545a2e2f4a37b22b0e9670ddeadcep.png Точка https://oge.sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.png — середина https://oge.sdamgia.ru/formula/d5/d5d74776e3ac5e9664d309474af670c2p.png следовательно, https://oge.sdamgia.ru/formula/94/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4p.png — средняя линия треугольникаhttps://oge.sdamgia.ru/formula/16/16ca2bcb28bda965eec1b25bfe33c03ep.png значит, https://oge.sdamgia.ru/formula/16/1666770a289c577df514f408c9793280p.png По теореме Фалеса для угла https://oge.sdamgia.ru/formula/e4/e40558450360f747f2ce0d9f9c74bf24p.png находим: https://oge.sdamgia.ru/formula/62/626635f07b910841c61656ec9313eaccp.png а так как https://oge.sdamgia.ru/formula/e0/e002392b20febdb1982aea5ac7e2f6b3p.png получаем, что https://oge.sdamgia.ru/formula/5b/5b9452d42ef02c23c3f876aa596d4dcfp.png

Стороны треугольников https://oge.sdamgia.ru/formula/a5/a5c6bb069daaa5e4e9fdd6dee8cf388bp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/39/396262ee936f3d3e26ff0e60bea6cae0p.png сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому

https://oge.sdamgia.ru/formula/a5/a5acbbf038d22cb14a456d96c06b3e61p.png

 

то есть https://oge.sdamgia.ru/formula/6d/6d55d38401c70e181182aaf7cd36e809p.png откуда https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb5cf1ff091a0d349ff2389cccb043bap.png, в то время как https://oge.sdamgia.ru/formula/75/756c341dac487c782c4935e6bc7f1499p.pngследовательно, https://oge.sdamgia.ru/formula/87/87bae567e2e39545c0608f8b70290e09p.png

Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/6c/6c211f751a572eea57285f7f263c7d0fp.png

Ответ: https://oge.sdamgia.ru/formula/d7/d7c17155b11786b8c615656de735c737p.png

 

№2.   Из вер­ши­ны прямого угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на высота CP. Ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCP, равен 42, тан­генс угла BAC равен https://oge.sdamgia.ru/formula/b2/b26d72d7c75745a9ca0cce582f6d7a86p.png Най­ди­те радиус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Решение.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=12899&png=1

Угол BAC равен углу BCP так как https://oge.sdamgia.ru/formula/39/39ec66d1d4d8f6283748b314cbf0d6d7p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/6a/6aca6888818ececd82558e095a33c1e4p.png. Так как тан­генс это от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к прилежащему, имеем: https://oge.sdamgia.ru/formula/4d/4de1ce0aa001ccdd37df3909100382d0p.png Тогда https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5db91c4de97a2d2e37acd9d6289a0046p.png а ги­по­те­ну­за https://oge.sdamgia.ru/formula/db/db43550945a7799b88f9a716a5535fbep.png по тео­ре­ме Пифагора. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­ны его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окружности, но пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, имеем:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/56/5634be2d663d034c04e45ab27015f1f2p.png

Таким образом,https://oge.sdamgia.ru/formula/76/765ad8204458effd7858c3bba03dbba8p.png а https://oge.sdamgia.ru/formula/96/96707e82fcf4fd9d71cd4cee86e5504fp.png Так как https://oge.sdamgia.ru/formula/56/5666cce6385c60545dab0d91ea617c67p.png то https://oge.sdamgia.ru/formula/23/233e635fa5b7f159ef86f93f8c22426cp.pngа https://oge.sdamgia.ru/formula/bc/bc40a9305fbdb3254260ab9406f9daccp.png по тео­ре­ме Пифагора.

В тре­уголь­ни­ке https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png пло­щадь равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­ны его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной в него окружности, но пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, имеем:

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/6e/6ea133e470dada37d51d065c835fc635p.png

Ответ: https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7f3c0cbf034cc529491af53e1461cf01p.png

 

№3.         Диагонали четырёхугольника https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png, вер­ши­ны ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны на окружности, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке https://oge.sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.png. Известно, что https://oge.sdamgia.ru/formula/70/70c612060bb4c336ea559881305cfcafp.png = 74°, https://oge.sdamgia.ru/formula/ed/edd15f4562fe676f5963f2e2ebb9f1c8p.png = 102°, https://oge.sdamgia.ru/formula/0d/0dffe9d639b87925baf8099d19775b09p.png = 112°. Най­ди­те https://oge.sdamgia.ru/formula/fe/fe4997d1b1bd92b28ae232f69e5a0093p.png.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3171&png=1Решение.

Пусть https://oge.sdamgia.ru/formula/4d/4d99cefa93842b0e95226f95f96b449bp.png.

https://oge.sdamgia.ru/formula/56/56fde26b8e030ce16bffcaeaeead9ad0p.png = 180° − 112° = 68°;

https://oge.sdamgia.ru/formula/b2/b28695d6a3cea038002aed0f158acf47p.png;

https://oge.sdamgia.ru/formula/19/19c933652de87275f0e139aabff4f6e8p.png = 102° − x;

https://oge.sdamgia.ru/formula/22/222a95d523c815c5e4c9a20cb1cd408ap.png + 102° − x = 68°; x = https://oge.sdamgia.ru/formula/22/222a95d523c815c5e4c9a20cb1cd408ap.png + 34°.

https://oge.sdamgia.ru/formula/86/86945f3c8302e7723bdfc408472edf99p.png = 74°; https://oge.sdamgia.ru/formula/54/54334bdd83b95ac873bff5e1eb255042p.png = x; https://oge.sdamgia.ru/formula/22/222a95d523c815c5e4c9a20cb1cd408ap.png = 74° − x; 2x = 108°, x = 54°.


Ответ: 54°.

№4.    Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­веде­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCP, равен 75, тан­генс угла BAC равен https://oge.sdamgia.ru/formula/e2/e294e131aaa314bf7affbc03cd8ab68cp.png Най­ди­те ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Решение.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=12899&png=1

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки https://oge.sdamgia.ru/formula/87/870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31cp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/14/14b1ad51ec1c47b47bee445bd306a51bp.png они прямоугольные. Углы https://oge.sdamgia.ru/formula/37/37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6p.pngи https://oge.sdamgia.ru/formula/87/870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31cp.png равны, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами, следовательно, тре­уголь­ни­ки https://oge.sdamgia.ru/formula/87/870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31cp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png по­доб­ны по двум углам, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия https://oge.sdamgia.ru/formula/12/12441430f2a4838b8d2c224167e11943p.png Найдём синус угла https://oge.sdamgia.ru/formula/73/73c1e91be9f598f6d428ceed3a22f3f1p.png

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/83/8353f771e2466b63e03c3da37cc875fep.png

 

В по­доб­ных тре­уголь­ни­ках со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты пропорциональны, следовательно, https://oge.sdamgia.ru/formula/fd/fde6c0e5f28bba3a153e2756869662b1p.png

 

Ответ: 85.