Практическая работа специальности 09.02.01.

Практическое занятие № 1

Тема: Выполнение логических операций.

Цель: Научиться строить таблицы истинности логических высказываний и преобразовывать формулы, используя основные равносильности

Теория

1                   Логика – наука о законах и формах мышления

2                   Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно

3                   Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть

4                   Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

5                   Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение

6                   Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

7                   Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

8                   Алгебра логики – это наука об общих правилах и законах действий над логическими переменными и высказываниями.

9                   Самой простой логической операцией является операция НЕ, подругому ее часто называют отрицанием, дополнением или инверсией и обозначают NOT ( ).  Если А – истинно, то Ā – ложно и наоборот. Результат отрицания всегда противоположен значению аргумента. Логическая операция НЕ является унарной, т.е. действие выполняются над одним операндом. Таблица истинности:

10              Логическое И еще часто называют конъюнкцией, или логическим умножением, а ИЛИ – дизъюнкцией, или логическим сложением. Операция И (обозначается «И», «and», «&», А•В) имеет результат «истина» только в том случае, если оба ее операнда истинны. Таблица истинности F = A ˄ B:

11              Операция ИЛИ (обозначается «ИЛИ», «or», А+В, А˅В) называется дизъюнкцией или логическим сложением и дает «истину», если значение «истина» имеет хотя бы один из операндов. Разумеется, в случае, когда справедливы оба аргумента одновременно, результат по-прежнему истинный. Таблица истинности F = A ˅ B:

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которой можно построить сколь угодно сложное логическое выражение. В вычислительной технике также часто используется операции импликация и эквивалентность.

12              Логическое следование: импликация – связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) – следствием из этого условия. Результатом импликации является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО … Таблица истинности F = A → B:

13              Логическая равнозначность: эквивалентность – определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом эквивалентности является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом "эквивалентности". Таблица истинности F = A ↔ B:

14              Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении: 1. инверсия → 2. Конъюнкция → 3. Дизъюнкция → 4. Импликация →

5. Эквивалентность

15              Для изменения указанного порядка выполнения операций используются круглые скобки.

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которой можно построить сколь угодно сложное логическое выражение. В вычислительной технике также часто используется операции импликация и эквивалентность.

16              Штрих Шеффера, А|В  или антиконъюнкция, по определению  это от-

рицание конъюнкции FA| BAB:

17              Стрелка Пирса, AB или антидизъюнкция, по определению

FABAB:

18              Сумма по модулю два, AB или антиэквивалентность, по определе-

нию FABAB.

19              Основные законы логики :  А = А  – закон тождества

             А & A= 0 – закон непротиворечия

             A  A = 1 – закон исключенного третьего

            A = А  – закон двойного отрицания

         ‒ Свойства констант:        0= 1                1 = 0

А _ 0 = А        А _ 0 = 0

А _ 1 = 1         А _ 1 = 1

‒ Законы идемпотентности:  А  А = А;   А  А = A

‒ Законы коммутативности:  А  В = В  А;   А  В = В  А

‒ Законы ассоциативности: А  (ВС) = (АВ)  С; А  (ВС) = (АВ)  С

‒ Законы дистрибутивности: А(ВС)=(АВ)(АС); 

                                              А_(В_С)=(А_В)_(А_С)

‒ Законы поглощения:  А  (А  В) = А;  А  (А  В) = А

‒ Законы де Моргана:  ABA&B;  A&BAB

Задание

1  Составить таблицу истинности сложного логического выражения 2  Для заданного логического выражения:

‒ построить таблицу истинности;

‒ упростить высказывание, используя равносильные преобразования;

‒ полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.

Пример выполнения:

1  Исходные данные: 

FABC.

Решение: 

1                   Определим количество переменных – их 3, значит количество строк в таблице истинности = 2³ + 1 = 9 (каждый операнд принимает одно из двух значений – 0 или 1)

2                   Определим количество и порядок действий: 3 действия (д1=B , д2=д1C и д3= Aд2 ), значит количество столбцов = 3 (3 переменные) + 3 (3 действия) = 6

3                   Составляем таблицу истинности, вписывая в соответствующие ячейки результаты действий, используя правила алгебры логики, например, если В = 1,

то B = 0; д1 = 1, С = 1, то д1C =1  и т. д.

1      Составим таблицу истинности для исходного выражения:

2      Упростим высказывание:

                ‒       преобразуем  импликацию:

                ‒       воспользуемся законом де Моргана для преобразования инверсии:

4  Составим таблицу истинности для полученного выражения:

Результирующие столбцы в двух таблицах совпали, следовательно, выполненные преобразования верны

Контрольные вопросы:

1 Что такое логика? 

2 Что называется высказыванием? 

3 Что такое утверждение? 

4 Что называется рассуждением? 

5 Что такое умозаключение? 

6 Что такое логическое выражение? 

7 Какие бывают логические выражения?

8 Что такое алгебра логики?

9 Понятие, обозначение и таблица истинности инверсии. 

10 Понятие, обозначение и таблица истинности конъюнкции.