Практическая работа специальности 09.02.01.

Практическое занятие № 10

Тема: «Решение задач по комбинаторным формулам с повторениями»

Цель: ввести формулу перестановок, сочетаний и размещений с повторениями, научится применять их к конкретным задачам.

Теория

Размещениями из n элементов по m элементов (m <n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:

1. Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m - элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

2. Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (перестановки - частный случай размещений).

Число перестановок без повторений (n различных элементов) вычисляется по формуле:

Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m₁, m₂, …, m_k раз и m₁ + m₂ +… + m_k = n, где n - общее количество элементов) вычисляется по формуле:

Сочетанием без повторений – это неупорядоченная ⟨n, k⟩-выборка без повторений, k ≤ n. Общее количество сочетаний без повторений:

Сочетанием с повторениями – это неупорядоченная ⟨n, k⟩-выборка с повторениями. Общее количество сочетаний с повторениями:

Ход работы.

Задания выполняются по вариантам: последняя цифра в номере журнала соответствует номерам с этой же последней цифрой, например, № 12 выполняет 2, 12, 22 и 32 задание; № 21 выполняет 1, 11, 21 и 31 вариант и т.д.

1. Сколько всего четырёхзначных натуральных чисел? Сколько всего четырёхзначных натуральных чисел, в записи которых нет одинаковых цифр?

2. Собрание из 25 человек выбирает президиум из 3 человек. Первый – председатель, второй – заместитель, третий – секретарь. Сколькими способами это можно сделать?

3. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из группы студентов, состоящей из 25 человек?

4. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

5. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

6. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Та же задача, но ограничений на цвет выбранных квадратов нет?

7. Из 10 букв русского алфавита А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К составляются всевозможные сочетания по 6 элементов. Ответить на следующие вопросы: а) сколько всего таких сочетаний, б) сколько из составленных сочетаний содержат букву А, в) сколько из составленных сочетаний содержат буквы А и Б, г) сколько сочетаний не содержат букву А?, д) в скольких сочетаниях содержится 2 гласные и 4 согласные?

8. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т.е. чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)?

9. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

10. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

11. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях равно один туз? В скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

12. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?

13. Найти количество анаграмм слова «филология».

14. Сколькими способами 4 пирата могут разделить между собой 8 одинаковых монет?

15. Сколькими способами 4 пирата могут разделить между собой 8 одинаковых монет?

16. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

17. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4 можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может повторяться в записи числа несколько раз?

18. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы буквы «е» не шли подряд?

19. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой другой из пяти языков?

20. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

21. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами им могут быть поставлены отметки, если известно, что никто из них не получит неудовлетворительной отметки?

22. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?

23. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

24. Найти сумму четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4.

25. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на 3 бригады по 10 человек в каждой бригаде? На 10 групп, по 3 человека в каждой группе?

26. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза?

27. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?

28. На школьном вечере присутствует 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

29. Сколькими способами 12 одинаковых монет можно разложить по пяти пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым?

30. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?

31. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?

32. В шестом классе изучается 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все разные?

33. В магазине имеется четыре типа диванных подушек: круглые, овальные, прямоугольные и треугольные. Сколько вариантов покупки имеется у покупателя, который хочет приобрести две подушки?

34. Выпишите все трехзначные числа, используя при записи каждого числа цифры 1, 2, 3, причем каждую из них только один раз.

35. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

36. Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой?

37.  В буфете есть четыре сорта пирожков. Сколькими способами ученик может себе купить два пирожка? два разных пирожка?

38. Сколько существует шестизначных чисел, у которых:

а) третья цифра — 3;

в) на нечетных местах стоят нечетные цифры;

39. Четыре друга купили билеты на один и тот же поезд. При этом оказалось, что два билета в один вагон, а два в другой. Из скольких вариантов посадки в два вагона им придется выбирать?

40.  В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?