Практическая геометрия на ОГЭ (презентация)

ГЕОМЕТРИЯ В ОГЭ №15

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ • ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН И ПЛОЩАДЕЙ • ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ • ТЕОРЕМА ПИФАГОРА • УГЛЫ

Вычисление длин и площадей

На карте по ка зан путь Лены от дома до школы. Лена из ме ри ла длину каж до го участка и под пи са ла его. Ис поль зуя рисунок, определите, длину пути (в м), если мас штаб 1 см: 10000 см.

Решение. Путь по карте равен 4 + 2 + 4 = 10 см. Так как мас штаб равен 1 : 10000, Лена про шла 100 000 см или 1000 м. Ответ: 1000.

Определите, сколь ко необходимо за ку пить пленки для гид ро изо ля ции садовой дорожки, изоб ра жен ной на рисунке, если её ши ри на везде одинакова.

Решение. Разделим фигуру, изображенную на кар тин ке на 3 прямоугольника. Най дем площадь пер во го прямоугольника: 5 · 1 = 5 м2. Най дем площадь вто ро го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м2. Най дем площадь тре тье го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м2. Сло жим все площади: 5 м2+4 м2 + 4 м2 = 13 м2. Таким образом, по тре бу ет ся закупить 13 м2 пленки. Ответ: 13.

Картинка имеет форму пря мо уголь ни ка со сто ро на ми 19 см и 32 см. Её на кле и ли на белую бу ма гу так, что во круг кар тин ки по лу чи лась белая окан тов ка оди на ко вой ширины. Площадь, ко то рую за ни ма ет кар тин ка с окантовкой, равна 1080 см2. Ка ко ва ши ри на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение. Пусть см — ши ри на окантовки. Пло щадь пря мо уголь ни ка равна про из ве де нию сторон., по лу ча ем уравнение: (19+2х)(32+2х)=1080 Корень −29,5 не под хо дит по усло вию задачи, следовательно, ши ри на окан тов ки равна 4 см. Ответ: 4.

Решить самостоятельно

Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 27 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 558 см. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Подобие треугольников

Проектор пол но стью освещает экран A вы со той 80 см, рас по ло жен ный на рас сто я нии 250 см от проектора. На каком наи мень шем расстоянии (в сантиметрах) от про ек то ра нужно рас по ло жить экран B вы со той 160 см, чтобы он был пол но стью освещён, если на строй ки проектора оста ют ся неизменными?

Решение. Заметим, что вы со та экрана, рас по ло жен но го на рас сто я нии 250 см, в 2 раза мень ше высоты экрана, рас по ло жен но го на ис ко мом расстоянии, значит, по тео ре ме о сред ней линии, ис ко мое расстояние в два раза боль ше первоначального экрана: 250·2 = 500. Ответ: 500.

Человек ро стом 1,7 м стоит на рас сто я нии 8 шагов от столба, на ко то ром висит фонарь. Тень че ло ве ка равна че ты рем шагам. На какой вы со те (в метрах) рас по ло жен фонарь?

Решение. Столб и че ло век об ра зу ют два пря мо уголь ных тре уголь ни ках ABC и FEB. Эти тре уголь ни ки по доб ны по двум углам. Пусть вы со та фо на ря равна X тогда, поскольку расстояние от фонаря до конца тени равно 12 шагов, получаем: АС:FT=DC:BE откуда X:1,7=12:4 Поэтому фо нарь рас по ло жен на вы со те 5,1 м. Ответ: 5,1.

Короткое плечо шлаг бау ма имеет длину 1 м, а длин ное плечо – 3 м. На какую вы со ту (в метрах) опу стит ся конец ко рот ко го плеча, когда конец длин но го плеча под ни ма ет ся на 1,8 м?

Решение. Пусть x — высота, на ко то рую опустится ко рот кое плечо, имеем: 1,8:3=Х:1 Таким образом, ко рот кое плечо опу стит ся на 0,6 м. Ответ: 0,6.

Решить самостоятельно

Точка креп ле ния троса, удер жи ва ю ще го флаг шток в вер ти каль ном по ло же нии, на хо дит ся на вы со те 5,5 м от земли. Рас сто я ние от ос но ва ния флаг што ка до места креп ле ния троса на земле равно 4,8 м. Най ди те длину троса. Ответ дайте в мет рах.

Теорема Пифагора

От стол ба вы со той 9 м к дому на тя нут провод, ко то рый кре пит ся на вы со те 3 м от земли (см. рисунок). Рас сто я ние от дома до стол ба 8 м. Вы чис ли те длину провода.

Проведём отрезок, па рал лель ный го ри зон таль ной   прямой, как по ка за но на рисунке. Таким об ра зом, за да ча сво дит ся к на хож де нию ги по те ну зы пря мо уголь но го треугольника. По тео ре ме Пифагора: Ответ: 10.

Лестницу дли ной 3 м при сло ни ли к дереву. На какой вы со те (в метрах) на хо дит ся верхний её конец, если ниж ний конец от сто ит от ство ла дерева на 1,8 м?

Решение.   Задача сво дит ся к на хож де нию катета пря мо уголь но го треугольника, по тео ре ме Пифагора он равен: Ответ: 2,4.

Мальчик про шел от дома по на прав ле нию на во сток 800 м. Затем по вер нул на север и про шел 600 м. На каком рас сто я нии (в метрах) от дома ока зал ся мальчик?

Решение.   Мальчик идёт вдоль сто рон прямоугольного тре уголь ни ка поэтому, ис ко мое расстояние можно найти по тео ре ме Пифагора: Ответ: 1000.

Мальчик и девочка, рас став шись на перекрестке, пошли по вза им но перпендикулярным дорогам, маль чик со ско ро стью 4 км/ч, де воч ка — 3 км/ч. Какое рас сто я ние (в километрах) будет между ними через 30 минут?

Решение. Найдем расстояние, ко то рое прошла девочка: 3*0,5=1,5 км Найдем расстояние, ко то рое прошел мальчик: 2*0,5=2 км Так как де воч ка и маль чик шли по вза им но перпендикулярным дорогам, их пути яв ля ют ся катетами пря мо уголь но го треугольника, ги по те ну за которого — рас сто я ние между ними. Най дем это рас сто я ние по тео ре ме Пифагора Ответ: 2,5.

Решить самостоятельно

Точка креп ле ния троса, удер жи ва ю ще го флаг шток в вер ти каль ном по ло же нии, на хо дит ся на вы со те 15 м от земли. Рас сто я ние от ос но ва ния флаг што ка до места креп ле ния троса на земле равно 8 м. Най ди те длину троса.

По жар ную лест ни цу дли ной 13 м при ста ви ли к окну пя то го этажа дома. Ниж ний конец лест ни цы от сто ит от стены на 5 м. На какой вы со те рас по ло же но окно? Ответ дайте в мет рах

Углы

Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

Решение. Колесо пред став ля ет собой круг, 18 спиц ко то ро го делят на 18 кру го вых секторов. Так как развёрнутый угол равен 360° для каж до го из сек то ров имеем: 360:18=20 Ответ: 20.

На рисунке изображено колесо с пятью спицами. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 18°?

Решение. Колесо пред став ля ет собой круг. Ко ли че ство спиц сов па да ет с ко ли че ством секторов на ко то рые ими оно делится. Так как развёрнутый угол 360°, а угол между спи ца ми равен 18°, имеем: 360:18=20 По это му спиц в ко ле се 20 штук. Ответ: 20.

Задачи с часами 1. Какой угол (в градусах) об ра зу ют минутная и ча со вая стрелки часов в 5 ч? 2. Какой угол (в градусах) опи сы ва ет ми нут ная стрел ка за 10 мин? 3. На какой угол (в градусах) по во ра чи ва ет ся минутная стрел ка пока ча со вая проходит ?

Решение 1 задачи Часовыми де ле ни я ми циферблат раз бит на 12 кру го вых секторов. Угол каж до го из них равен 360° : 12 = 30°. Между ми нут ной и ча со вой стрелкой пять ча со вых делений. Они об ра зу ют угол 150°. Ответ: 150.

Решение 2 задачи Минутными де ле ни я ми ци фер блат раз бит на 60 кру го вых сек то ров. Угол каж до го из них равен 360° : 60 = 6°. За 10 минут ми нут ная стрелка про хо дит 10 · 6° = 60°. Ответ: 60.

Решение 3 задачи Минутная стрел ка движется в 12 раз быст рее часовой, по это му она пройдёт 24°. Примечание. Существенно, что ци фер блат предполагается 12-часовым. Ответ: 24.

Решить самостоятельно

Сколь ко спиц в ко ле се, если угол между со сед ни ми спи ца ми равен 8°? На ри сун ке показано, как вы гля дит ко ле со с 7 спицами. Най ди те ве ли чи ну угла (в градусах), ко то рый об ра зу ют две со сед ние спицы, если в ко ле се 45 спиц.