Практическое применение подобия треугольников

Практическое приложение подобия треугольников

Цели: образовательные

Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков по решению задач на применение признаков подобия треугольников.

Развивающие

- формирование познавательных УУД: умения выделять и формулировать познавательную цель; осуществлять выделение необходимой информации при работе с печатным источником и рисунком; умения структурировать знания; сознательно строить речевое высказывание в устной и письменной форме; проводить на основе наблюдений операции анализа и синтеза; умение строить логическую цепь рассуждений.

- формирование регулятивных УУД: умение выполнять целеполагание, планирование, контроль и коррекцию, оценку деятельности.

Воспитательные

- формирование личностных УУД: формировать умение устанавливать связь между целью учебной деятельности и её мотивом;

- формирование коммуникативных УУД: воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы; умение адекватно оценивать  свою работу;

Ожидаемые результаты

Предметные:  обучающиеся должны научиться:

- применять признаки подобия треугольников в практических задачах;

- трансформировать в геометрический чертеж описание проблемы или рисунок и соотносить их с возможностью применения признаков подобия треугольников.

Метапредметные:

- соотносить (анализировать) описанную проблему, рисунок с возможностью применения полученных теоретических знаний;

- умение наблюдать, анализировать, обобщать наглядный и текстовой материал, регулировать свою деятельность.

Личностные:

- уметь обосновать и аргументировать свои выводы. Возможность научиться вести коммуникативную деятельность, устанавливать связь между целью своей деятельности и её мотивом, приобретение опыта творческой деятельности и учебного сотрудничества в достижении поставленной цели.

Ход урока

I.  Организационный момент.

 Эпиграфом к нашему уроку будут слова известного русского кораблестроителя Алексея Николаевича Крылова «Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения».

- На протяжении двух недель вы занимались проектом «Применение подобия в жизни», в ходе которого пытались найти ответ на вопрос:  Зачем мы изучаем понятие подобия и где нам пригодятся знания о нем?  И сегодня участники каждой группы будут защищать свои работы.

sГде мы можем найти «Практическое приложение подобию треугольников» (слайд тема)

II.  Актуализация опорных знаний

Для плодотворной работы  нам потребуется вспомнить ряд изученных вопросов темы «Подобие треугольников»

1. Какие треугольники называют подобными? (слайд)

2. Признаки подобия треугольников. (слайд)

3. Работа по готовым чертежам (слайды)

III. Защита проектов

Немного истории

(работа учащихся 8Б класса Ждановой Е. и Екатерининой В.)

(слайды презентации)

1. Египтяне задали Фалесу трудную задачу: найти высоту одной из громадных пирамид. Фалес нашел простое и красивое решение. Он воткнул в землю вертикально палку и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».

Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.

Попробуйте продолжить рассуждения Фалеса, используя рисунок.

Решение: АВ – палка, ВС – тень от палки, DЕ – высота пирамиды.

∆АСВ подобен ∆DВE (по двум углам):

∠ АВС= ∠DEВ=90°;

∠ АСВ= ∠ DВЕ, т. к. соответственные при АС || DВ и секущей СЕ (солнечные лучи падают параллельно)

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

.

          Итак, Фалес определил высоту пирамиды по длине ее тени.

sОднако, способ предложенный Фалесом применим не всегда. Почему?

(можно определить высоту предмета только в короткий промежуток времени, в солнечную погоду и когда нет рядом предметов, тени которых сливаются с тенью данного предмета)

Есть ещё несколько способов определения высоты предметов.

(работа Леонова Д.) (слайды презентации)

2. Следующий  способ измерения высоких предметов картинно описан у Жюль Верна в известном романе “Таинственный остров”.

         Кто читал этот роман?

…Взяв прямой шест, футов (1фут = 30 см) 12 длиною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.
         Затем он отошел от шеста на такое расстояние, чтобы, лежа на песке, можно было на одной прямой видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком

– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
– Да.
– Помнишь свойства подобных треугольников?
– Их сходственные стороны пропорциональны.
– Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же мой луч зрения совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника….”

Решим данную задачу в привычных единицах измерения.

Найдите высоту скалы  АА₁, если расстояние от скалы до шеста   А₁В₁= 20 м

Длина шеста - ВВ₁= 2 м.

Расстояние от шеста до точки наблюдения В₁С= 4 м.

Преимущества способа Жюль Верна: - простота формулы.

- можно производить измерения в любую погоду;

Недостатки: нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю.

Можно измерить высоту предмета при помощи зеркала. Зеркало нужно положить на некотором расстоянии от предмета, на ровной земле и отойти от него назад в такую точку, стоя в которой увидишь в зеркале вершину измеряемого объекта. Этот способ основан на законе отражения – угол падения равен углу отражения.

(работа Воронова В. )

3.  Расположив зеркало в 12 м от дерева, наблюдатель видит в зеркале вершину дерева, отойдя на расстояние 2 м. Рост наблюдателя 1,5 м. Найдите высоту дерева.

(слайды презентации)

   Летом вы можете, не имея под рукой рулетки и зеркала, повторить опыт. sПодумайте, что может заменить рулетку и что зеркало? (рулетку заменит шаг человека (65-75см), а зеркало  заменит лужа).

(слайды презентации) Измерение высоты предмета по луже. Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

Данные методы измерения высоты объекта не дают совершенно точного результата, но иногда в жизни хватает и приближенного ответа

Практическая работа «Измерение высоты объекта»

(работа Морозова Д. и Юрченко П.)

Цель работы: найти  высоту школьного кабинета.

Инструменты: зеркало, рулетка, микрокалькулятор.

Описание работы:

Зеркало нужно положить на некотором расстоянии от предмета, на ровной поверхности и отойти от него назад в такую точку, стоя в которой увидишь в зеркале вершину измеряемого объекта. Этот способ основан на законе отражения – угол падения равен углу отражения.

Необходимые измерения: высота экспериментатора до глаз; расстояние  от  него до зеркала и от зеркала до стены.

Говорим о погрешности. Для более точного результата необходимо опыт повторить несколько раз и найти среднее значение. В реальных ситуациях, когда нужно избавиться от случайной (не систематической) погрешности измерений  проводят серию независимых измерений, а затем берут среднее. Этот метод основан на известном в теории вероятности  законе больших чисел.

(слайд) Давайте отправимся на площадь Петра Великого – одно из любимых мест липчан. Площадь названа в честь основателя города – Императора Петра  Первого. С 29 октября 1996 года здесь стоит великолепный  памятник, а вокруг него создана по-царски уютная и чистая атмосфера. Все торжества и парады, в том числе и День города (3-е воскресенье июля), проходят именно на этой площади.

         Памятник прекрасен и величественен. А какой он высоты? Возможно ли, Найдите  его высоту, не прибегая к непосредственным измерениям самого памятника?

Задача. В солнечный летний день тень, падающая от памятника Петру 1 на землю, имеет длину 10,5 м. Найдите высоту памятника, если тень, падающая от человека ростом 160 см (в тот же день) имеет длину 84 см.

Решение. Проведём условно линии, соединяющие вершину памятника с концом тени от столба и голову человека с концом тени от человека. Получились 2 подобных треугольника (по двум углам, т. к. углы падения тени зависят только от солнца). Найдём коэффициент подобия: 160:84=1,9. Умножим длину тени на коэффициент подобия: 10,5 ∙ 1,9 = 19,95 м

     Ответ: высота памятника Петру I » 20 м.

(Работы других учащихся рассматриваются при наличии времени).

IV. Итог урока. Рефлексия. Самооценка

ü Что больше всего запомнилось на уроке?

«Я запомнил, что …»

ü Что удивило?

«Оказывается, что …»

ü Что понравились больше всего?

«Мне понравилось …»

Где мы можем применить полученные знания и умения?  Почему они важны для нас?

V. Домашнее задание. Выберите один из интересных вам памятников Липецка и рассчитайте его высоту, применив «Признаки подобия треугольников».