Презентации к уроку "Применение производной"

Решение задач с использованием графика производной

Задача 1 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [−6;2] функция f(x) принимает наибольшее значение. Решение На указанном отрезке производная нигде не была положительной, следовательно функция не возрастала. Она убывала или проходила через стационарные точки. Таким образом, наибольшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = −6. Ответ: −6

Задача 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [3;5] функция принимает наименьшее значение. Решение На отрезке [3;5] производная строго положительна, следовательно функция на этом участке только возрастала. Таким образом, наименьшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = 3. Ответ: 3

Задача 3 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−5;10]. Решение Согласно необходимому условию экстремума максимум функции может быть в точках, где её производная равна нулю. На заданном отрезке это точки: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Но согласно достаточному условию он точно будет только в тех из них, где знак производной меняется с "+" на "−". На графике производной мы видим, что из перечисленных точек такой является только точка x = 6. Ответ: 1

Задача 4 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [0;20]. Решение Экстремумы функции могут быть в тех точках, где её производная равна 0. На заданном отрезке графика производной мы видим 5 таких точек: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Но в точке x = 14 производная не поменяла знак, следовательно её надо исключить из рассмотрения. Таким образом, остаются 4 точки. Ответ: 4

Задача 9 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение Промежутки возрастания функции совпадают с промежутками положительности производной. На графике мы видим их три - (−9;−7), (4;12), (18;19). Самый длинный из них второй. Его длина l = 12 − 4 = 8. Ответ: 8