Презентация к рок вероятности и статистики в 10 классе "Комбинаторное правило умножения"

Комбинаторика изучает способы перебора, пересчёта и упорядочивания предметов

Другая её задача–– подсчёт комбинаций предметов.
Типичный вопрос в комбинаторной задаче: «Сколько способов?»

Задача

Имеются белый и черный хлеб, сыр, колбаса, варенье и масло. Сколько видов бутербродов (хлеб и что-то одно сверху) можно приготовить?

Решение

Решение

Хлеб можно выбрать двумя способами, а после этого начинку для бутерброда четырьмя способами.
2·4=8
Ответ: 8 видов

Если на первом месте может быть один из m разных предметов, а на втором может быть один из k разных предметов, то можно составить ровно m· k различных упорядоченных пар.
Комбинаторное правило работает и тогда, когда составляются упорядоченные тройки, четвёрки и другие наборы произвольной длины

Пример 1

Решение. Каждое место обозначается парой из числа и буквы, например 4А или 10C. На первом месте может быть одно из 12 чисел, на втором месте––одна из 4 букв. Значит, общее число мест равно 12 ·4=48
Ответ 48 мест

Пример 2

Автомобильная парковка имеет 5 этажей, на каждом этаже 4 линии, в каждой линии 27 мест для автомобилей. Как обозначить места для автомобилей?

Решение.
Можно просто пронумеровать места. Но тогда трудно найти место с большим номером, например №143.
Поиск станет легче, если в обозначении места указаны этаж и линия, например (4, Б, 05) означает 4 этаж, линия Б, место 5. Скобки и запятые можно не писать. Получаются упорядоченные тройки, например 4Б05.

Пример 2

Автомобильная парковка имеет 5 этажей, на каждом этаже 4 линии, в каждой линии 27 мест для автомобилей. Как обозначить места для автомобилей?

Найдите общее число мест на этой парковке.

Решение

По комбинаторному правилу умножения первый элемент –этаж можно выбрать 5 способами. После этого второй элемент – линию можно выбрать 4 способами После этого третий элемент – место – 27 способами.
5·4·27=540
Ответ: 540 мест.

Сколько среди четырёхзначных чисел, составленных из цифр 3, 4, 6, 8 (без повторений), таких, которые начинаются с цифры 3?

Решение

На первое место можно поставить одну цифру – 3.

На второе место можно поставить любую из трёх: 4, 6, 8.

На третье место - любую из двух оставшихся цифр.

На четвертое место - одну оставшуюся цифру

1∙3∙2∙1=6

Ответ: 6

Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 6, 8 (без повторения).

Решение

Все числа состоят из одних и тех же цифр, значит сумма цифр каждого числа одинаковая и равна 2+4+6+8= 20.

Выясним сколько всего таких четырехзначных чисел.

Вторую – 3 способами.

Третью – 2способами

Четвёртую – 1 способом

получаем 4∙3∙2∙1=24 числа.

Сумма цифр 24 чисел составляет 24∙20=480.

Ответ: сумма равна 480.

Первую цифру можно выбрать 4 способами .

Применим правило умножения: девочку можно выбрать 15 способами,

мальчика – 10 способами,

пару мальчик – девочка – 15 ∙ 10 = 150 способами.

В разобранных задачах было важно, в каком порядке следовали элементы.
Иногда нужно пересчитать объекты, в которых порядок следования элементов не важен. В этом случае тоже можно пользоваться правилом умножения, но затем наборы, которые отличаются только порядком элементов, нужно отождествить, то есть считать одним набором.

Пример 4. Имеется четыре точки A, B, C, D. Сколько существует отрезков, соединяющих какие-нибудь две из этих точек? 

Решение. Пересчитаем упорядоченные пары букв. Их всего 4·3=12. Однако каждые две пары букв, отличающиеся только порядком, скажем AB и BA, означают один и тот же отрезок. Следовательно, их нужно отождествить––считать, что они относятся к одному и тому же отрезку. Таким образом, отрезков будет вдвое меньше: 12:2 =6.
Ответ: 6 отрезков.

Пример 5. На карусели семь одинаковых лошадок. Их нужно покрасить в семь разных цветов. Сколько существует различных способов покрасить карусель? 

Занумеруем лошадок по кругу, взяв в качестве первой какую-нибудь одну. Первую лошадку покрасим в один из семи цветов, вторую––в один из шести оставшихся цветов и т.д. Получим 7·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1=5040 различных окрасок.

Следует считать одинаковыми раскраски, которые получаются друг из друга поворотом карусели. Например КОЖЗГСФ и ОЖЗГСФК , ЖЗГСФКО и т.д - 7 вариантов раскраски можно совместить, если повернуть их так, чтобы красная лошадка получила номер 1.
Таким разбиваются на группы по семь штук, которые нужно отождествить. Следовательно, всего раскрасок не 5040, а в семь раз меньше: 5040:7=720.
Ответ: 720 способов
 

Задача

312. В регистрационном номере автомобиля Челябинской области 3 буквы, 3 цифры и номер региона 74 или 174. Цифры любые, а букв только 12 (те, что совпадают начертанием с какой-нибудь латинской буквой). Сколько в Челябинской области может существовать различных автомобильных номеров?

Задача

317. В пространстве дано несколько точек. Сколько отрезков потребуется, чтобы соединить каждые две точки, если всего точек: а) 4; б) 5; в) 8; г) 12; д) n?
320. Кость домино состоит из двух полей, на каждом поле от 0 до 6 очков. Сколько всего костей домино в наборе?

Домашнее задание

313. Сколько существует двузначных чисел, удовлетворяющих следующим условиям: а) цифры не повторяются; б) чётных; в) вторая цифра больше 3; г)* вторая цифра больше первой?
318. Сколько диагоналей: а) в восьмиугольнике; б) в 27угольнике; в) в n-угольнике?
325. Фразу «изучать комбинаторику полезно» можно сказать по-разному, переставляя слова. Сколько есть способов?