Презентация к уроку алгебры в 9 классе. Тема "Характеристическое свойство арифметической прогрессии"

Урок алгебры в 9 классе

Повторение. Опорные факты

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью.   

В арифметической прогрессии действуют определенные закономерности.
Они выражены в следующих  важных формулах.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:
где d= 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 − 𝒂 𝒏−𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏−𝟏 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒂 𝒏−𝟏 , n=1, 2, 3, 4, …

Первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пусть дана арифметическая прогрессия
a1, a2, a3,…, an, …
Рассмотрим три её члена, следующие друг за другом: an-1, an, an+1
Известно, что
an – d = an-1,
an + d = an+1.
Сложив эти равенства, получим:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии состоит в том, что последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего, в случае конечной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

25

21+ 29 2 21+ 29 21+ 29 2 2 21+ 29 2 =

Задача 1. Найдите восьмой член арифметической прогрессии ( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 ), если 𝑎 7 𝑎𝑎 𝑎 7 7 𝑎 7 = 21, 𝑎 9 𝑎𝑎 𝑎 9 9 𝑎 9 = 29.
Решение

По характеристическому свойству арифметической прогрессии
𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 2 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2

𝑎 8 𝑎𝑎 𝑎 8 8 𝑎 8 = 𝑎 7 + 𝑎 9 2 𝑎 7 𝑎𝑎 𝑎 7 7 𝑎 7 + 𝑎 9 𝑎𝑎 𝑎 9 9 𝑎 9 𝑎 7 + 𝑎 9 2 2 𝑎 7 + 𝑎 9 2 =

Ответ: 25.

Задача 2. При каком значении x последовательность х−1; 4х−9; 4х+2 является арифметической прогрессией?
Решение
Если прогрессия является арифметической, то должно выполнятся характеристическое свойство арифметической прогрессии
𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 2 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2

Тогда 4х−9 = 𝑥−1 +(4𝑥+2) 2 𝑥−1 𝑥𝑥−1 𝑥−1 +(4𝑥𝑥+2) 𝑥−1 +(4𝑥+2) 2 2 𝑥−1 +(4𝑥+2) 2
4x−9 = 5𝑥+1 2 5𝑥𝑥+1 5𝑥+1 2 2 5𝑥+1 2
2 (4x−9) = 5x+1
8x−18=5x+1
x = 6 1 3 1 1 3 3 1 3
Ответ: при х = 6 1 3 1 1 3 3 1 3 .

Задача 3. Найдите неизвестные члены арифметической прогрессии ( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 ):
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ; −8; 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 ; −2; 𝑎 5 𝑎𝑎 𝑎 5 5 𝑎 5 ; 4.
Решение
Так как прогрессия является арифметической, то по характеристическому свойству арифметической прогрессии 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 2 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 .
Тогда 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 = 𝑎 2 + 𝑎 4 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 𝑎 2 + 𝑎 4 2 2 𝑎 2 + 𝑎 4 2 =
𝑎 5 𝑎𝑎 𝑎 5 5 𝑎 5 = 𝑎 4 + 𝑎 6 2 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 + 𝑎 6 𝑎𝑎 𝑎 6 6 𝑎 6 𝑎 4 + 𝑎 6 2 2 𝑎 4 + 𝑎 6 2 =
Найдем разность прогрессии: d = 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 − 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 ,
d= −5−(−8)=3.
Найдем 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 : 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +d,
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 −d,
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =−8−3=−11.
Ответ: 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =−11, 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 =−5, 𝑎 5 𝑎𝑎 𝑎 5 5 𝑎 5 =1.

−8+(−2) 2 −8+(−2) −8+(−2) 2 2 −8+(−2) 2 =

−2+4 2 −2+4 −2+4 2 2 −2+4 2 =

−10 2 −10 −10 2 2 −10 2 =

2 2 2 2 2 2 2 2 =

−5,

1.

Задача 4.
Дано: ( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 ) - арифметическая прогрессия, 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =24, 𝑆 33 𝑆𝑆 𝑆 33 33 𝑆 33 =1188.
Найти: 𝑎 25 𝑎𝑎 𝑎 25 25 𝑎 25 , d.
Решение

Найдем    𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 : 
𝑆 33 𝑆𝑆 𝑆 33 33 𝑆 33 = 𝑎 1 + 𝑎 33 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 𝑎 1 + 𝑎 33 2 2 𝑎 1 + 𝑎 33 2 ∙ 33,
2∙ 𝑆 33 𝑆𝑆 𝑆 33 33 𝑆 33 = ( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 ) ∙ 33,
2 ∙ 1188 = (24+ 𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 ) ∙ 33,
2376 = (24+ 𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 ) ∙ 33,
24+ 𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 =2376 : 33,
24+ 𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 =72,
𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 =48.
Найдем разность прогрессии:
𝑎 33 𝑎𝑎 𝑎 33 33 𝑎 33 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +32d,
48=24+32d,
32d=24,
d=0,75.

Ответ: 𝑎 25 𝑎𝑎 𝑎 25 25 𝑎 25 =42, d=0,75.

Найдем    𝑎 25 𝑎𝑎 𝑎 25 25 𝑎 25 : 
𝑎 25 𝑎𝑎 𝑎 25 25 𝑎 25 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +24d,
𝑎 25 𝑎𝑎 𝑎 25 25 𝑎 25 =24+24 ∙ 0,75 =

Самостоятельная работа(выполнить до 16.00 20.02.2023)

Вариант 1.
(выполняют учащиеся у которых фамилия начинается на букву
Б, В, Г, Ж, М, Н, П)

Вариант 2.
(выполняют учащиеся у которых фамилия начинается на букву
С, Т, У, Ч, Ю)