презентация на урок статистики 8 кл на тему "Стандартное отклонение числового набора"

Определение 1. В наборе чисел отклонением числа от среднего арифмети­ческого называется разность между этим числом и средним арифметическим набора.
Определение 2. Модуль отклонения называют абсолютным отклонением.
Определение 3. Среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического называется дисперсией набора чисел.

ПРИМЕР 1. Найдём отклонения, абсолютные отклонения и дисперсию числового набора: 4; 3; 0; 5.

Абсолютные отклонения:
|4 – 3| = |1| = 1
|3 – 3| = |0| = 0
|0 – 3| = |– 3| = 3
|5 – 3| = |2| = 2

Стандартное отклонение

Определение. Стандартным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартного отклонения:
S = 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 − 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 1 − 𝑥 𝑥 1 − 𝑥 2 2 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥 2 − 𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 2 − 𝑥 𝑥 2 − 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 − 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 3 − 𝑥 𝑥 3 − 𝑥 2 2 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑥 𝑛 𝑥𝑥 𝑥 𝑛 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 2 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛 𝑛𝑛 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛
Стандартное отклонение – некоторое среднее отклонение чисел набора. Другая формула для стандартного отклонения:
S = 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2 − 𝑥 2

В предыдущем примере мы нашли дисперсию числового набора 4; 3; 0; 5. Она равна 3,5. Следовательно, стандартное отклонение этого набора равно S = 3,5 3,5 3,5 3,5  1,87. Посмотрим, как расположены числа на числовой прямой, и отметим на этой же прямой их стандартное отклонение.
Числовой набор, среднее и стандартное отклонение


Красными точками на рисунке показаны числа набора, синяя линия — отрезок, кото­рый получается, если от среднего арифметического ( х х х = 3) отступить влево и вправо на одно стандартное отклонение: [ х х х – S; х х х + S]. В данном случае получился отрезок [3 – 1,87; 3+1,87], то есть [1,13; 4,87]. Точки 3 и 4 попадают внутрь этого отрезка, точки 0 и 5 – вне отрезка.

На хлебозаводе производится контрольное взвешивание готовой про­дукции: булок номинальной массой 200 г. В таблице показаны результаты взве­шивания двух небольших партий, полученных на двух одинаковых производственных линиях. В двух правых столбцах указаны среднее арифметическое и стандартное от­клонение масс по сделанной выборке.

Масса готовой булки зависит от количества теста, которое отмерил дозирующий автомат. В первой пар­тии среднее отклонение от номинального значения равно 6,1 г, во второй партии – только 1,4 г. Ка­залось бы, первая линия работает лучше. Но посмо­трим на стандартное отклонение: в партии продук­ции, взятой со второй линии, оно равно 4,18 г, а в первой партии – только 1,3 г. Это означает, что вторая линия требует серьёзно­го ремонта, возможно, замены некоторых деталей. А первая линия работает нормально и требует всего лишь небольшой регулировки, чтобы дозатор отмерял примерно на 6 – 7 г теста больше, чем сейчас.

При производстве массовой продукции высокое рассеивание параметров го­товой продукции (массы, размеров и т. п.) может говорить о большом износе оборудования и необходимости ремонта.
Смещение средних значений параметров при низком рассеивании, как правило, устраняется регулировкой.

№ 1. Найдите стандартное отклонение числового набора, если его дисперсия равна:
а) 25; б) 121; в) 6,25; г) 2,89

Найдите стандартное отклонение набора данных: 1; 3; 5; 1; 3.
Результат округлите до сотых.








Стандартное отклонение:

Найдите стандартное отклонение набора данных: 0,2; 0,4; 1,1; 1,4; 0,7.
Результат округлите до сотых.








Стандартное отклонение:

Домашнее задание:

Прочитать Глава 9, п. 44
200. Найдите стандартное отклонение числового набора, если его дисперсия равна:
в) 3,24; г) 1,69.
202. Найдите стандартное отклонение набора данных. Результат округлите до сотых.
в) 234; 432; 521; 211; 424; 233;
г) – 0,21; – 0,23; – 1,34; – 0,43; – 0,34.