Презентация "Среднее арифметические, наибольшее и наименьшее значение, дисперсия, стандартное отклонение".

Тема.

Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное отклонение числовых наборов.

Цель урока: 

Формирование у учащихся представления простейших статистических характеристик.
Обработка статистических данных.
Наглядная интерпретация статистической информации.

Обозначения чисел в наборах.

Числа в наборах часто приходиться обозначать буквами, подобно тому, как это делается при решении задач на движение. Но поскольку чисел может быть много, использовать для каждого числа отдельную букву неудобно.
Поэтому поступают иначе: используют одну и ту же букву с номером. Таким образом, можно рассматривать набор х1, х2, х3, х4, х5 или у1, у2, у3, у4, у5, у6 и т.п. Номера чисел называются индексами.

Формула для нахождения среднего арифметического нескольких чисел: X ср. = 𝑿𝟏+Х𝟐+ …+Х𝒏 𝒏 𝑿𝑿𝟏𝟏+Х𝟐𝟐+ …+Х𝒏𝒏 𝑿𝟏+Х𝟐+ …+Х𝒏 𝒏 𝒏𝒏 𝑿𝟏+Х𝟐+ …+Х𝒏 𝒏 

Если задан ряд чисел, то сначала упорядочим его по возрастанию. Такой ряд называют вариационным.

Формула для вычисления Медианы упорядоченного ряда чисел с четным числом членов:Ме = 𝑿 𝒏/𝟐 +𝑿 𝒏/𝟐+𝟏 𝟐 𝑿 𝒏/𝟐 +𝑿 𝒏/𝟐+𝟏 𝑿𝑿 𝒏𝒏/𝟐𝟐 +𝑿𝑿 𝒏𝒏/𝟐𝟐+𝟏𝟏 𝑿 𝒏/𝟐 +𝑿 𝒏/𝟐+𝟏 𝑿 𝒏/𝟐 +𝑿 𝒏/𝟐+𝟏 𝑿 𝒏/𝟐 +𝑿 𝒏/𝟐+𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝑿 𝒏/𝟐 +𝑿 𝒏/𝟐+𝟏 𝟐

Наибольшее значение набора чисел обозначаютX max. Наименьшее значение набора чисел обозначаютX min.

Размах вычисляют по формуле: А =X max-X min. 

Отклонения

Попробуем узнать, как числа некоторого набора расположены по отношению к своему среднему значению. Зная только размах, разность между наибольшим и наименьшим значением, мы не можем судить о том, как расположены числа в имеющемся наборе.
Для примера возьмем набор 1, 6, 7, 9, 12
Вычислим среднее арифметическое:
(1+6+7+9+12):5=7.
Найдем отклонение каждого числа от среднего:
1-7=-6, 6-7=-1, 7-7=0, 9-7=2, 12-7=5.
(Получился набор -6, -1, 0, 2, 5 , который состоит из отклонений.
Если число меньше среднего, то его отклонение отрицательно, если число больше среднего, то его отклонение положительно. В одном случае – для числа 7, которое совпало со средним арифметическим, - отклонение равно нулю.
По набору отклонений можно судить о том, насколько разнообразны числа в наборе. Если отклонения малы, то числа в наборе расположены близко к среднему арифметическому. А если среди отклонений есть большие по модулю, то числа в наборе сильно разбросаны.

Отклонения вычисляют по формуле: Оi =Xi - Xср.

Дисперсия

Наиболее полной характеристикой разброса набора чисел является набор их отклонений от среднего арифметического. Но когда набор чисел велик, рассматривать набор отклонений практически неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом.
Размах – слишком грубая мера разброса чисел в наборе, поскольку
Учитывает только два из них – наименьшее и наибольшее. Чтобы судить о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты.
Квадраты отклонений неотрицательны ,поэтому Сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений. Чем больше Отклонения чисел от среднего арифметического, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения.

Дисперсию вычисляют по формуле: D = 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝒏 𝟐 𝒏 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝒏 𝟐 𝑶𝟏 𝟐 𝑶𝑶𝟏𝟏 𝑶𝟏 𝟐 𝑶𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 𝑶𝑶𝟐𝟐 𝑶𝟐 𝟐 𝑶𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝑶𝒏𝒏 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝒏 𝟐 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝒏 𝟐 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝒏 𝟐 𝒏 𝒏𝒏 𝑶𝟏 𝟐 + 𝑶𝟐 𝟐 +…+𝑶𝒏 𝟐 𝒏 Oi – отклонение каждого числа набора от среднего значения.

Стандартное отклонение числового набора.Дисперсия имеет очень существенный недостаток, так как при вычислении дает единицы измерения в квадратных единицах. Чтобы избежать этого недостатка, нужно извлечь квадратный корень из дисперсии D. Эта величина получила название стандартное отклонение S. 𝐒𝐒= 𝑫 𝑫 𝑫𝑫 𝑫

Вычислить стандартное отклонение (S) числового набора: 4, 3, 0, 5, 2, 3, 6, 1. (S = 𝑫 𝑫 𝑫𝑫 𝑫 )

Задача 1.

Найдите наибольшее и наименьшее значение, размах, среднее арифметическое значение, медиану и моду набора чисел:

а) 12, 7, 25, 3, 19, 15;
б) 17, 19, 5, 41, 47, 13, 19

Задача 2.

Петя и Вася поспорили, кто лучше прыгает в длину с места. Чтобы избежать случайности, они решили, что будут прыгать по очереди 5 раз. Результаты своих прыжков в сантиметрах они записали в
таблицу. Найдите:
1.Наибольшее и наименьшее значение.
2. Среднее значение.
3. Медиану.
4. Размах
5. Отклонения.
6. Дисперсию. 7. Стандартное отклонение.
8. Моду.

Задача 3.

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день
время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные: найдите:

1.Наибольшее и наименьшее значение.
2. Среднее значение.
3. Медиану. 4. Размах
5. Отклонения.
6. Дисперсию. 7. Стандартное отклонение
8. Моду.

Задача 4.

Для данных чисел вычислите среднее значение и размах. Составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и вычислите дисперсию и стандартное отклонение:
а) -1, 0, 4;
б) 2, 3, 7;
в) -3, 1, 2, 4;
г) 2, 6, 7, 5;
д) -2, -1, 1, 2, 5;
е) -1, -3, -2, 3, 3

Задача 5.

Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов и стандартное отклонение.
Дисперсия какого набора больше?
а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3;
б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8

Задача 6.

Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов и стандартное отклонение.

Задача 7.

Вычислите среднее
арифметическое и дисперсию
(среднее арифметическое квадратов отклонений) набора чисел:
а) х1 = а +1, х2 = а +2, х3= а + 3;