Презентация по геометрии на тему: "Теорема Пифагора" и "Обратная Теореме Пифагора" (8 класс)

Автор: учитель МАОУ СОШ №21, г. Кунгура, Пермский край, Питиримова М.С. 1

Пифагор Родился на о. Самос в Эгейском море Во время путешествия в возрасте 18–20 лет посетил математика Фалеса В южноиталийском г. Кротоне основал пифагорейский союз (школу) В школе считали, что в основе всего лежат числа и гармония, но все в математике нужно доказывать После 30-летнего существования союза Пифагор с учениками уехал в г. Тарент, а потом в г. Месапонт, где и погиб от рук солдата почти 95- летний Пифагор 2

Теорема Пифагора (Формулировка 1) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 2 c 2  a 2 b 3

2 2 2 3 4  5 О треугольнике со сторонами 3, 4, 5 (   )– говорится в папирусе (2000 г. до н. э.). Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обнаружили и на вавилонских клинописных табличках, и в древнекитайских и древнеиндийских трактатах. 4

5

2 c 2 b ( ba  2) 2  a квадрата со стороной a+b катетами а, b и гипотенузой с Дано: прямоугольный треугольник с Док-ть: Док-во: достроим треугольник до S= = S= = c 4 ab = =  ) ( ba =>  2 ab 2 a 2 a 1  2   2 ab  2 b 2 2  c b  b 2  2 c ab a 2 ab  2 c 2 c 2 c 2 2 2  2 Доказательство a b b с с a a с с b b a 6

Теорема Пифагора (Формулировка 2) Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.   7

Теорема не теряет смысла, если квадраты заменить любыми другими правильными многоугольникам и или полукругами. 8

 Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы, то площадь полученных луночек равна площади данного треугольника. S  S 1 S 2 9

Доказательство Сумма площади полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе, и из них вычитаются одни и те же сектора (выделенные оранжевым цветом) 10

Доказательство Бхаскары Из всего текста имеется только формула: 11

Доказательство Леонардо да Винчи   Рисунок  иллюстрирует  доказательство  теоремы Пифагора,  придуманное  Леонардо да Винчи.  a b с 12

Пифагоров паркет 13

Теорема Пифагора по Евклиду Шаг 1. a b 2 2  c 2 14

Теорема Пифагора по Евклиду Шаг 2. a b 2 2  c 2 15

Теорема Пифагора по Евклиду Шаг 3. a b 2 2  c 2 16

Теорема Пифагора по Евклиду 2 2 Шаг 4.  b c a При всех преобразованиях треугольника его площадь не меняется. 2 Аналогично и для другого катета. 17

2 a 2  c b 2 С A B 18

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых – целые числа, называются Пифагоровыми Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется Египетским тройки (a, b, c) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению - Пифагоровыми  a 2 b 2 c 2 19

К теореме Пифагора  его ученики  составляли стишки: «Пифагоровы штаны А также рисовали карикатуры: во все стороны равны», Шарж  из учебника XVI века. 20

Теорему называли «мостом ослов», так как  слабые ученики, заучивающие теоремы  наизусть, без понимания, и прозванные  поэтому «ослами», были не в состоянии  преодолеть теорему Пифагора, служившую  для них вроде непреодолимого моста. Или «бегство убогих», так как некоторые  «убогие» ученики, не имевшие серьезной  математической подготовки, бежали от  геометрии. 21

В некоторых списках «Начал» Евклида теорема  Пифагора называлась теоремой Нимфы,  «теорема – бабочка», из­за сходства чертежа с  бабочкой, поскольку словом «нимфа» греки  называли бабочек. Нимфами греки называли  еще и невест, а также некоторых богинь.  При переводе с греческого  арабский переводчик, вероятно,  не обратил внимания на чертеж  и перевел слово «нимфа» не  как «бабочка», а как «невеста».  Так и появилось ласковое  название знаменитой теоремы –  «Теорема Невесты». 22

23

На сторонах прямоугольного треугольника построены полуокружности. Площади образовавшихся луночек равны 9 и 4. Найдите площадь треугольника. 24

Решение задачи 1 S 9 2 S 4 ?S 2 Дано: , . Найти: Решение:  1 S S S S 49 13 Ответ: 13S 25

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? 26

Решение Дано: АВС – прямоугольный треугольник; АС+АВ=10 чи; ВС=3 чи. Найти: АС=? Решение: (по Т. Пифагора)=>  АВ  2 АС пусть АС=х чи, тогда АВ=10-х (АВ=10-АС), ВС=3 чи.  2 ВС  2 ВС АС 2 АВ 2 2 2 2  х 20 2 х  3  х х  91 2  9 2 2 2   10 х  х 100  х 20 х  20 91 х  20:91 х  х 55,4 (чи) Ответ: Высота бамбука после сгибания равна 4,55 чи. 27

28

Обратная теореме Пифагора Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков. Посмотри! 29

Обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный 30

31

Задание Сравните таблицы «Теорема Пифагора» и «Обратная теореме Пифагора». 32

2 2 1 2 BC Дано: треугольник ABC; AB AC   090С  11 CBA ; 900 прямоугольный CA  AC , 1 1  2 2 BA CA 1 1 1 1  2 2 AC BC Док-ть: Док-во: Р/м - ' С CB  , BC 1 1  2 ,2 BA CB => 1 1 1 1  2 2 AB BA => 1 1 ABC  11 CBA 1 AB 1 090С=> => Доказательство   AC 2 AB 2  => ,2 BC => BA 1 33

34

Расстояние между двумя точками на плоскости AB   x 2  x 1 2    y 2  2 y 1 35

Теорема Пифагора в пространстве Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. 2 d  AB 2  AC 2  2 CB AD 2  DC   a 2 d  2 b 2  2  2 CB 2  a 2  c 2 b 2  c 36

Расстояние между двумя точками на плоскости 1  zyxA ,  2 1  1  ,   2 y 2  y 1 z 2 z 1 AB   x 2  2  x 1   zyxB , , 2 2 2 37

38

39

40

41

42

43

44