Презентация по математике на тему "Решение уравнений с помощью графиков".

Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом. Анатоль  Франс 1844 ­ 1924

• Развивающие ­ развивать  логическое мышление, умение  анализировать условие математической задачи, • Образовательные ­ формировать умения и навыки решения уравнений  функциональным методом, умение определять тип уравнения и  находить несколько способов решения, выбирать из них  рациональный. • делать выводы и обобщения. • Воспитательные ­ воспитывать способность доводить учебное задание  до конца, умение анализировать ситуацию. •  Мотивация познавательной деятельности учащихся: сообщить  учащимся, что на этом уроке они будут продолжать рассматривать  общие методы решения уравнений, готовиться к сдаче ЕГЭ.

Функциональные методы  решения уравнений: • Графический метод • Метод монотонности • Метод ограничений

ПОВТОРЕНИЕ

1.Решить графически уравнение (х+1)/(х­2)=­2 Y 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -10 -8 -6 -4 -2 у=­­2 Ответ: один корень, х=1 у=(х+1)/(х­2) 1 2 4 6 8 10 X

2.Решить графически уравнение (х+1)/(х­2)=0 Y 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 ­1 -10 -8 -6 -4 -2 у=0 Ответ: один корень, х=­1 у= (х+1)/(х­2) X 2 4 6 8 10

3.Решить графически уравнение (х+1)/(х­2)=1 Y 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 у=1 -10 -8 -6 -4 -2 Ответ: нет корней у=(х+1)/(х­2) X 2 4 6 8 10

4.Указать количество корней  уравнения  x²+6x+8=(x+1)/(x­2) у= x²+6x+8 у= (х+1)/(х­2) Ответ: три корня

5.Задание. Определите, какое уравнение решено: у  2х у  х 62  Ответ: 2 х  х  62

6.Задание. Определите, какое уравнение решено: у  х у 32 х Ответ: х 32 х

7.Задание. Определите, какое уравнение решено: у  2х у 1 х Ответ: х 2 2  х 1  х 01 х

8. Решим графически уравнение: 2 2 х 2 х  х 3  5,1 у = х2  02  х 1 1. Парабола. Ветви вверх. 2. у = ­ 1,5х + 1 х 0 2 у 1 ­ 2 ­2 0,5 Ответ:   х 1    ;2 х 2  5,0

9. Задание. Решите графически уравнение: 2 х  х  02 у = х2 у = х + 2 ­1 2 Ответ:  х 1   ;1 х 2  2

10.Задание. Решите графически уравнение: 4 2 х  х 04 у = х2 у = 0,25х ­ 1 Ответ: решения  нет

Графический метод • Построить графики функций у=f(x)и у=g(x) и  найти точки их пересечения. Абсциссы точек  пересечения и будут корнями уравнения. • Пример 1.      Решить уравнение:                 X  12 COS ( X )

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ: X  12 COS ( ХX ),  .0

Пример 2.Решить уравнение: x  x 84  0 63 • Большинство  учащихся будут  пытаться  разложить  левую часть на  множители: • Уравнения не  имеют  корней,значит ,  заданное  уравнение не  имеет корней. 2  4 x  0)9 ( x 2 x x 2 2     4 x )(7 x  07 x 4  x 4 09

Сделаем графическую прикидку:

Метод монотонности • Если одна из функций у=f(x), y=g(x)  убывает, а другая возрастает на  промежутке Х,то на этом промежутке  уравнение имеет не более одного корня. • Пример 3.      3 5 х    7 5 х 2

Графики функций у=2х и у=(3/5)х+7/5  пересекаются в точке х= 1

Пример 4.Решить уравнение 5х+12х=13х • Несложно заметить, что х=2­корень  уравнения. Но рассуждать также, как в  предыдущем примере мы не можем: все  составляющие (5х,12х,13х)имеют  одинаковый характер монотонности­  возрастают.

Разделим  обе части уравнения  на 12х • (5/12)х+1=(13/12)х • у=(5/12)х+1­функция убывающая • У=(13/12)х­ функция возрастающая • Уравнение имеет не более одного  корня.   Х=2 • Проверка:  52+122=132         25+144=169 • Ответ: 2.

Метод ограничений • Если на некотором промежутке наибольшее  значение функции f(x) равно числу А, а  наименьшее значение функции g(х) тоже  равно А, то равенство f(x)=g(x) возможно при  их одновременном равенстве А. • Пример 5.Решить уравнение:  5 х 4  log sin 4 x )8 2 ( x  2  cos  х 2

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ:

 log 2 2 x  4 x sin  5 х 4  cos  х 2  sin  8  5 х 4  cos  х 2 2у

Решить уравнения:   2 sin( 5 4 х • №1742,а) х 5 4 ) х • №1740,а)    1 2    х х 1 2   

ДОП.1. На рисунке изображён график производной функции  f(x), определённой на интервале (­1; 7). Найдите количество  точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)  параллельна прямой у = 3х – 5 или совпадает с ней.  Решение: ) = к = 3. Проводим  f‘(x 0 прямую    у = 3 и  находим точки  пересечения с  графиком. Ответ: 5 точек.   y y=f '(x) 1 0 1 x

ДОП.2. Найдите все значения р, при каждом из которых  найдётся q такое, что система имеет единственное решение:    2 x y 2  ,1 y   | xq p | Решение: Графиком функции х2 + у2 = 0  является окружность с центром  (0; 0) и R = 1.  ­1 1)q = 0, у = р; р = 1 или р = ­1. 2)q > 0, y = q | x | + p; p = 1. у 1 0 ­1 х 1

Литература: • УМК Алгебра и начала анализа 10­11кл  /А.Г.Мордкович/ • Журнал «Математика для школьников  №4, 2005г.» • Журнал «Математика в школе №7,  2004г.» • ЦОР «Открытая математика»(модель  2.17; Графёр)