Презентация по математике "Показательная функция" (11-класс)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НИЖНЕВАРТОВСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 Определение. показателе степени, называется показательным.  Уравнение,   содержащее   неизвестное   в Помни!   При   решении   показательных   уравнений   часто используются: 1. Теорема: если а > 0;, а   1 и а 1х =а 2х , то х1 = х2. 2. Свойства степени. Рассмотрим основные типы показательных уравнений и методы их решения. 1. Простейшее показательное уравнение вида             ах =в,    где а > 0; в >0, а   1, имеет решение                х = log a в. Пример 1. Решите уравнение     2 х = 3.                       Решение.             х =  log 2 3.                        Ответ: log 2 3 2. Для решения уравнений вида:      а f(x) = в,   где а > 0; в >0, а   1, нужно представить основания а  и   в в виде степени одного и того же числа, после чего сравнить показатели. Пример 2. Решите уравнение  5 2 х + 4  = 25.                     Решение.                 5 2 х + 4  = 5 2                                                       2х + 4 = 2                                                        2х  =  2 ­ 4           2х = ­ 2            х = ­ 2 : 2 3 Ответ: ­ 1.           х = ­ 1. 3. Показательное уравнение вида                а f(x) = a (x) , а > 0, a  1 решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а. Равносильное ему уравнение                       f (x) = (x). Пример 3. Решите уравнение    6 2 х – 8 =  216 х .                      Решение.                  6 2 х – 8 = 6 3х,    т.к. 216 = 6 3 =                                                            2 х – 8 = 3 х                    2 х – 3 х = 8  666             ­ х = 8                  х  = 8 : (­1)               х = ­ 8                           Ответ: ­ 8. Пример   4.  (ЕГЭ) принадлежит корень уравнения   1).  (­ 1; 1 ];       3).   (­ 3;  ­ 1 ]; 2).  (1; 10 ];       4).  (16;  20 ].  Укажите   промежуток, . 16  1,0 х 1    1 32      которому Решение. Представим числа  и 16 в виде степени числа 2: 1 32 5     2 1 5 2     и  16 = 2 4. 1 32 Получим уравнение, равносильное данному:      (2 – 5) 0,1 х – 1 = 2 4 , т.е.       2 – 5 ( 0,1 х – 1 ) = 2 4.  Такое уравнение равносильно уравнению         ­ 5 (0,1 х – 1) = 4          ­ 0,5 х + 5 = 4  4 ­ 0,5 х = 4 – 5             ­ 0,5 х = ­ 1                 х  = ­ 1 : ( ­ 0,5 )                     х = 2. Число   2   содержится   в   промежутке   (1;10],   указанном   в   качестве одного из вариантов ответов. Следовательно, верный   о т в е т 2. . Пример 4.  (ЕГЭ)  Найдите сумму квадратов корней уравнения 3  х  2 ­  5 = 9 – 2 х  1) 26         2) 25         3) 17          4) 13.     Решение. Используя свойства степеней, преобразуем  правую часть уравнения:                                9 – 2х  = (3 2 ) – 2х = 3 – 4х. Данное уравнение примет вид:                                  3  х  2 ­  5 = 3 – 4. Из   свойств   монотонности   показательной   функции   следует,   что показательное уравнение равносильно уравнению                                   х 2 – 5 = ­ 4 х. Решим квадратное уравнение      х 2 + 4 х – 5 = 0     D = b2 – 4 a c X 1,2=       D = 4 2 ­ 4 корня. )5(1  = 16 + 20 = 36 > 0, и уравнение имеет два                      Х 1 =  36 4   12   64 2  2  1 2  4   12 36    64 2   10 2                      Х 2 =  Так как квадратное уравнение равносильно исходному уравнению, полученные   корни   являются   корнями   и   данного   уравнения. 5  .5 Впрочем, можно проверить и непосредственной подстановкой, что числа – 5 и 1 являются корнями данного уравнения. Таким образом, сумма квадратов корней уравнения  3  х  2 ­  5 = 9 – 2 х   равна  (­ 5)2  + 1 2 = 25 + 1 = 26. Номер верного ответа – 1.  4. Уравнение вида   а0 а 2 х + а1 ах + а2 = 0.  Это уравнение называется трёхчленным показательным уравнением.  Подстановка   а х  = у  обращает его в обычное квадратное уравнение  а0 у 2х + а1 у + а2 = 0. Решив его, найдём корни у1 и у 2.  После  этого решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений    а х  = у 1 ,  а х  = у2  .Последние уравнения имеют решение при  у 1 > 0  и y 2 > 0 . Пример 5. Решить уравнение   2 2 х  ­ 2 х  ­ 2 = 0. Решение. Пусть 2 х  = у , тогда уравнение примет вид               у 2  –  у  – 2 = 0                                                                                D = ( ­ 1 ) 2 – 4 1 (– 2) = 9 > 0, 2 корня У 1 =  У 2 =  1  2 1  2 9    1   31 9 =   2  2 2 2 а) 2 х = 2;               б) 2 х = ­ 1, нет решения, т.к. – 1 < 0.     2 х = 2 1        х = 1 Ответ: 1. Пример 6. Решить уравнение    9 х  ­ 3 х – 6 = 0 6 Решение. Первый член уравнения можно представить в виде  9 х = 3 2х = (3 х) 2. Тогда исходное уравнение примет вид  ( 3 х )2 – 3 х – 6 = 0. Обозначим  3 х = у , тогда имеем  у 2 – у – 6 = 0 1  6141 У 1,2 =  ;   У 1 = 3; У 2 = ­ 2.   51 2 2 А) 3 х = 3          б) 3 х = ­ 2 – нет решения, т.к. – 2 < 0.       Х = 1 Ответ : 1. 5. Уравнение вида 0kmx + а1а  а0 a  1kmx + … + аn a nkmx = М Это   уравнение   решается   путём   вынесения   общего   множителя   за скобки. Пример 7. Решить уравнение                  2 х + 1  +  3 2 х ­ 1 – 5 2 х  + 6 = 0              Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2 х ­ 1 , получим  2 х ­ 1 ( 2 2  + 3 – 5 2 ) = ­ 6 2 х – 1 (­ 3) = ­ 6 2 х ­1 = ­ 6 : ( ­ 3 ) 2 х ­ 1 = 2 х – 1 = 1 х = 2 Ответ: 2            6. Уравнение   вида   а  f  (x)=  1,  где  f  (x)   –   выражение, содержащее неизвестное число; а > 0; , а   1. Для решения таких уравнений надо:  заменить 1 = а 0; а f (x)=а 0; 1. 2. решить уравнение   f (x)= 0 Пример 8.  Решить уравнение   72  х х 2  12 1 7  х 7 2 2 х Решение.   По определению степени с нулевым показателем имеем:                    х 2 – 7 х + 12 = 0 , (т.к. 1 = 2 0)   12 2 0 D = b2 – 4 a c X 1,2=      Решая квадратное уравнение, получим, х 1 = 3, х 2  = 4. Ответ: 3; 4.                                           7. Уравнение вида а0 а х+ а1а 2 х  в  2 х + а 2в х= 0. Это уравнение приводится к трёхчленному показательному  уравнению путём деления обеих его частей на а х  или в х. Пример 9. Решить уравнение 9 х  + 6 х = 2 2х +1  х Решение. Перепишем уравнение в виде 3 2 х  + 2 х 3 х – 2 2 2 х = 0.  разделив обе части уравнения на 2 2х   0 , получим 3 2      2    у 2 + у – 2 = 0 .  Решая квадратное уравнение получим  у 1= ­ 2, у 2 = 1. х    х     Пусть  тогда уравнение примет вид 3 2 3 2    .0 2 у , = ­ 2  ­ нет решения, т.к. – 2 < 0 х а)  б)            3  2   3  1 2    3 3  2 2               х = 0.       0    х х 8 Ответ: 0 I. Решить уравнения:  Задачи.  1. 2 Х  =  32. 1 Х   8  . 2.    1 2 3. 4 3  –  2 Х = 4 2 – Х . 4. 2 5 Х + 1 = 4 2 Х . 5. 2*2 2Х – 3*2 Х – 2 = 0. 6. 2*9 Х – 3 Х + 1 – 9 = 0. 7. 2 Х – 2 = 1. 8. 3 Х + 2 – 3 Х = 72. 9. 3*25 Х – 14*5 Х – 5 = 0. 10. 2 2Х+ 3 – 15*2 Х – 2 = 0. 11. 5 3 Х – 1 = 0,2. 12.  Х    1 2   2   .28 13. 6 2Х – 8 = 216. 14.    2 3 15. 2 Х        8 Х  1 = 1,5 2Х – 3. Х 3 2    =  1 9 9 . 81,0 16. 0,3 Х  3 Х =  3 17. 3 Х – 3 Х + 3 = ­ 78. 1 5   3  18. 1 3       +     5 Х  1 Х 4 9 . 19. 2*4 Х – 5* 2 Х + 2 = 0. 20. 3  Х    4 9    + 7  Х    2 3     6 .0 21. 4 х – 1 = 1 22. 0,3 3 х – 2 = 1 23. 2 2 х = 2  34  2 1 3    3 х    1 3 24.      1 3 26. 400 х =  25. 27 х =  1 20    х  1  5  25 27. х    28.  1  1 3 81  29. 3*9 х = 81 30. 2*4 х = 64 31. 0,5 х + 7 0,5 1 – 2х = 2 х 2 32. 0,6 х 0,6 3 =  6,0 6,0 х2    1 6 5   33. 6 3х  1 6   6  34. 3 2 х – 1 + 3 2 х = 108 35. 2 х + 1 + 2 х – 1+ 2 х = 28 36. 2 3х + 2 – 2 3 х – 2 = 30 37. 3 х – 1 – 3 х + 3 х + 1 = 63 38. 3 х х  = 1 12 2 10 10  = 1  х 72  39. 2 х  40. 7 х – 7 х – 1= 6 41. 5 3х + 3*5 3х – 2  = 140 42. 3 2у ­  1 + 3 2 у – 2  ­ 3 2 у ­ 4= 315 43. 2 х + 1 + 3*2  х – 1 – 5*2 х + 6 = 0 44. 9 х – 4*3 х  + 3 = 0 45. 16 х – 17*4 х + 16 = 0 46. 25 х  ­ 6*5 х + 5 = 0 47. 64 х ­   8 х­ 56 = 0 48. 8*4 х – 6*2 х + 1= 0 49.    1 4 х      1 2 х   0  6 50. 13 2 х + 1 – 13 х – 12 = 0 II.  (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень  уравнения : 1. 3 4х+5 = 81 1) ( ­ 1;0 ]              2) ( 0 ; 3]          3) ( 3; 4]             4) (4; +  )  2.    4 5х – 8= 64 1) ( ­  3; ]         2) ( ­ 3; ­ 2]         3) ( ­ 2; 0]            4) ( 0; 3 ] 3. 6 3 х + 5 = 36 1)  ( ­  8; ]       2) ( ­ 8; 0]            3) ( 0; 20 )        4) [ 20; +  ) 4. 2 5 – 3х  = 16 1) ( ­ 3; ­ 1)           2)  [ ­ 1; 0)           3) ( 0; 1)           4) [ 1 ; 3) 5. 2 5х – 6 = 8 1) ( ­ 3; ­ 1)          2) [ ­ 1;0 )            3) (0; 1 ]         4) ( 1; 3)   6. 6 10 х – 1  = 36 1) (– 4;  ­ 1)          2) [ ­ 1; 0)           3) ( 0; 1)          4) [ 1; 4) 11 7.5 2х – 2,3 = 125  1) [ 0 ; 1 )            2)  [ 1; 2 )          3) [ 2; 10)        4) [ 10;  +   )   8.  3 4 х + 1 = 9 1) [ ­ 2; 0]          2) ( 0; 1 )           3) [1; 3]             4) [ 4; 6 ] 9.  2 2х + 3 = 8 1) [ ­ 1; 1 ]        2) ( 1; 2)            3) [ 2; 4 )            4) [ 4; 6 ] 10.  5  2х + 1 = 125 1) [ ­2; 0 ]         2) (0; 2 )             3) [3; 4]               4) [4; 6 ] 11.  2 5 х + 1 = 4 1) [ ­ 4; ­ 2 ]       2) [ ­ 2; ­ 1 ]       3) [ ­ 1; 1 ]          4) [ 1; 4 ] 12.   5 х + 3 =125 1) [ ­ 6; ­ 4 ]      2) [ ­ 4; ­ 3 ]        3) [ ­ 3; 1 ]           4) [1; 3] 13.   6 2 х + 2  =216 1) [ 0; 1]            2) [ 1; 3 ]             3) [­ 2; 0 ]           4) [ 4; 6 ] 14.   72х+2 = 343 1)   [­ 4; ­ 3 ]         2) [­3; ­ 2]        3) [ ­ 2; 0 ]          4) [ 0; 2 ] 15.   3 3х+3 = 9    1) [ ­ 1; 1 ]          2) [1; 2 ]           3) [2; 4 ]             4) [ 4; 5 ] 16.    2 3х+1 = 8   1) [ ­ 6; ­ 4 ]         2)  [ ­ 4; ­ 2 ]        3) [ ­ 2; 2 ]       4) [ 2; 4 ] 17.  4 х + 6 = 16 1) [ ­ 7 ;  ­ 5 ]        2)  [ ­ 5; ­ 3 ]        3)  [ ­ 3; 0 ]       4) [ 0; 6 ] 12 18. 0,1 2х = 100 3х+1 1) [­  ; 0]              2) [ 1 2       19. 0,2 х – 0,5  = 0,04 х – 1 1) [ ­ 1  1 2 ; 0]       2) [1  1 2 1 2 ; 1]            3) ( ­ 1; ­ 0,5)      4) ( 0,5; 1) ; 2]            3) ( ­ 1; 0 )            4) (1,5 ; 3) 20.  0,008 х = 5 1 – 2 х 1.  1 ) 5,1;1              2)  8;0                3) ( ­ 1;  ­ 0,5)       4) ( 0,5;  III. Найдите сумму квадратов корней уравнения 1. х 2    1 2     = 2 – 3х 1) 9                    2)  0                   3) 4                  4)  1 4   2.    1 27 2 х   33  х 1) 9       2)  1       3) 8               4)  1 9  0,2 ­  2х = 0,04 х – 1,5 3. 1) 10         2)  4            3)  8        4) 0,04 4. 2  1)  10         2) 13          3)  37          4) 0,25 = 0,5 6 – 3х 22  х х 5. 0,2  х 22  х =  х04,0 1 5 1) 0           2) 2             3)  1             4) 0,25 6.  3  1)  26          2)  25        3) 17           4) 13 = 9 – 2 х 2 х 5 13 7.     1 2 2 х   32  х  1)  9                  2)  0                 3) 4               4)  8.  2    1 х   27  = 3 – 3х 1)  9                  2)  1                 3) 8                 4)  1 4 1 9 Ответы  I. Решить уравнения  № 1 Ответ 5 2 ­3 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 1 ­1 1 1 2 2 1 1 15 5,5 5,5 0,2 ­2 0 № 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Ответ 2 1 3 2 5 0; log 5,12 № 27 28 29 30 Ответ ­ 2 4 1.5 2.5 1 1 2 3 2 3   ­  2 3 31 9 32 33 34 35 8 0,4 2 3 36 1 37 3 38 ­4; 39 2,5 40 1 41 1 42 3 43 2 44 1;  45 0;  46 1;  47 1 № Отве 14 т 3 0 2 0 № Ответ 48 ­ 1;­ 2 49 ­ 1 50 0 II.  (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень  уравнения  1 1 11 3 2 4 12 3 3 2 13 1 № Отве т № Отве т  4 3 5 4 6 3 7 3 8 2 9 1 14 4 15 1 16 3 17 2 18 1 19 2 10 2 20 1 III. Найдите сумму квадратов корней уравнения 1 1 № Отве т 2 2 3 1 4 2 5 2 6 1 7 1 8 2 15 Литература 1. Математика в таблицах и схемах. Для школьников и  2. абитуриентов. СПб, ООО «Виктория плюс», 2004,  224 с.  Математика. Контрольные измерительные материалы  единого государственного экзамена в 2004 г. М.: Центр  тестирования Минобразования России, 2004. 3. Система тренировочных задач и упражнений по  математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. – М.: Просвещение, 1991. – 208 с. 4. Готовимся к единому государственному экзамену.  Математика/ Л.О. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю.А.  16 Глазков и др. – 2 –е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004.­  120 с. 5. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Типовые тестовые  задания: Учебно – практическое пособие / Л.Д  Лаппо ,  М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2004 – 48 с. 6. Единый государственный экзамен: математика: 2004 –  2005: Контрол. измерит. материалы / Л. О. Денищева,  Г.К. Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под ред. Г.С.  Ковалёвой; М – во образования и науки Рос. Федерации,  Федерал. служба по надзору в сфере образования и  науки. – М. : Просвещение, 2005. – 80 с. 7. Математика. Тренировочные тесты ЕГЭ 2004 – 2005 /  Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. – М.6  Изд – во Эксмо, 2005.­ 80 с. (Подготовка к ЕГЭ) 17