Производная широко используется для исследования функций, т.е.для изучения различных свойств функций. Производная является скоростью изменения функции, она определяет поведение функции. Обучающиеся наглядно по графику определяют поведение функции и определяют как связаны производная и функция. Учатся читать графики функций и производной. Находят стационарные и критические точки, промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, наименьшее и наибольшее значения функции.
Применение производной к исследованию функций
– –
ЕГЭЕГЭ
20172017
Математика
Математика
BB77
Задача
Задача
Определять значение функции по значению аргумента при
различных способах задания функции; описывать по графику
поведение и свойства функций, находить по графику функции
наибольшие и наименьшие
графики
изученных функций
значения; строить
Вычислять производные и первообразные элементарных
функций
Исследовать в простейших случаях функции на монотонность,
находить наибольшие и наименьшие значения функций
Содержание задания В7 по КЭС
Исследование функций
4.2.1 Применение производной к исследованию функций и
построению графиков
4.2.2 Примеры использования производной для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе
социально-экономических, задачах
ЦЕЛЬ УРОКА
ЦЕЛЬ УРОКА
ОБУЧАЮЩАЯ
•обобщить и закрепить идею геометрического смысла
:
производной на основе знакомства с математическими
«портретами»;
•сформировать начальное представление об истории развития
математического анализа;
•учить работать с теоретическими вопросами учебника;
•«открыть» зависимость между свойствами монотонности
функции, экстремумами и значениями производной.
•способствовать развитию общения как метода научного познания,
аналитикосинтетического мышления, смысловой памяти и
произвольного внимания,
•развитие навыков исследовательской деятельности
(планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).
РАЗВИВАЮЩАЯ :
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
•развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
•способствовать развитию творческой деятельности учащихся,
потребности к самообразованию.
АКЦЕНТИРУЕМ ТЕОРИЮ ПО ТЕМЕ
АКЦЕНТИРУЕМ ТЕОРИЮ ПО ТЕМЕ
1. В чем состоит геометрический смысл
f ´(x ) ₀ = tg
2. В любой ли точке графика можно провести
α = к
производной ?
касательную? Какая функция называется
дифференцируемой в точке?
3. Касательная наклонена под тупым углом к
тангенс угла наклона
тангенс угла наклона
касательной к
положительному направлению оси ОХ.
касательной к
положительному
Следовательно, • • • .
положительному
направлению оси ОХ
направлению оси ОХ
4. Касательная наклонена под острым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
значение
значение
производной в
производной в
точке Х₀
точке Х₀
5. Касательная наклонена под прямым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
угловой
угловой
коэффициент
коэффициент
касательной
касательной
6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней совпадает.
Следовательно, • • • .
ГРАФИК
для дифференцируемых функций : 0° ≤ α ˂180°, α ≠ 90°
α = 90°
α не сущ.
tg
f ´(x₃) не сущ.
α
тупой
< 0α
tg
₀
f ´(x ) < 0
α = 0
=0α
tg
₂
f ´(x ) = 0
α – острый
>0α
tg
f ´(x₁) >0
вопросы
ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
Какими из перечисленных свойств обладают заданные на
промежутке (a , b ) функции,
графики которых будут представлены ниже.
провести касательную.
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
А. Функция возрастает.
Б. В каждой точке можно
В. В каждой точке f ´(x) ≥ 0.
Г. В каждой точке касательная
Д. Существует конечное число точек, в
Е. Существует конечное число
наклонена под острым углом.
которых f ´(x) = 0 .
точек, в которых f ´(x) не
существует .
1
+
+
-
-
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
-
+
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
+
-
-
+
№1.На рисунке изображен график производной функции у =f (x),
заданной на промежутке ( 8; 8). Исследуем свойства графика и мы
можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя
графика самой функции не представлено!
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
––
y = f /(x)
++
++
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
++
––
Найдем точки, в которых
f /(x)=0 (это нули
функции).
f/(x)
f(x)
-5-5
00
33
66
x
ВЫДВИГАЕМАЯ ГИПОТЕЗА
ВЫДВИГАЕМАЯ ГИПОТЕЗА
Что выяснили?
Свойства
f '(x):
•существование,
•нули,
•знакопостоянство
Свойства
f(x):
•возрастания,
•убывания,
•точки минимума,
•точки максимума
существует
связь
Какая
?
План действий
1. Анализ наблюдений (фактов).
2. Обобщение фактов.
3. Проверка и выдвижение нового
плана действий.
№1.На рисунке изображен график производной функции у =f (x),
заданной на промежутке ( 8; 8). Исследуем свойства графика и мы
можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя
графика самой функции не представлено!
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
––
y = f /(x)
++
++
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
++
––
Найдем точки, в которых
f /(x)=0 (это нули
функции).
f/(x)
f(x)
-5-5
00
33
66
x
ВТОРИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
ВТОРИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
,то
свойства
f '(x):
f ´(x) ≥ 0
.
.
I. Е с л и свойства
f(x):
1
функция возрастает на
промежутке и имеет на нем
производную
Утверждение верно ??? Почему ???
Е с л и
свойства
f '(x):
,то
свойства
f(x):
f ´(x) ≥ 0
функция возрастает на
промежутке и имеет на нем
производную
II
.
По этой схеме мы можем дать ответы на многие
По этой схеме мы можем дать ответы на многие
вопросы тестов.
вопросы тестов.
Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите
количество ее точек минимума.
++
f/(x)
--88
f(x)
-5-5
––
++
00
––
33
++
66
88
4 точки экстремума,
Ответ:
2 точки минимума
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
y = f /(x)
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
Приме
Приме
рр
Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [–
6; –1]
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
y = f /(x)
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
--88
f/(x)
f(x)
++
––
-5-5
++
00
33
––
++
88
66
x
Ответ: xmax = – 5
Приме
Приме
рр
Найдите промежутки возрастания функции у =f (x).
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
(
y = f /(x)
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
В точках –5, 0, 3 и 6
функция
непрерывна,
поэтому при записи
промежутков
возрастания эти
точки включаем.
Ответ:
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)
++
f/(x)
--88
f(x)
-5-5
––
++
00
33
––
++
88
66
x
Приме
Приме
рр
Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти
промежутки.
y = f /(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
(
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
В точках –5, 0, 3 и 6
функция
непрерывна,
поэтому при записи
промежутков
возрастания эти
точки включаем.
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)
Сложим целые числа:
-7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7
++
f/(x)
--88
f(x)
-5-5
––
++
00
33
––
++
88
66
x
Ответ: 1
Приме
Приме
рр
Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе
укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 5.
++
f/(x)
--88
f(x)
-5-5
––
++
00
33
––
++
88
66
x
y = f /(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
Приме
Приме
рр
В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x)
принимает наибольшее значение?
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
y = f /(x)
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
На отрезке [– 4; –1]
функция у =f (x)
убывает, значит,
наибольшее
значение на данном
отрезке функция
будет принимать в
точке – 4.
Ответ: – 4.
++
f/(x)
--88
f(x)
-5-5
––
++
00
33
––
++
88
66
x
Приме
Приме
рр
В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x)
принимает наименьшее значение?
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1 2 3 4 5 6 7
y = f /(x)
Математический
портрет
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
На отрезке [– 4; –1]
функция у =f (x)
убывает, значит,
наименьшее
значение на данном
отрезке функция
будет принимать в
конце отрезка
точке х= – 1.
Ответ: – 1.
++
f/(x)
--88
f(x)
-5-5
––
++
00
33
––
++
88
66
x
№2. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.
f
0
x
0
x
k
tg
tg
,
BC
AC
Решение.
3
1
3.
f
Ответ: 3.
А С
Теоретические сведения.
Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga — угловому
коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке.
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на
касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль
углового коэффициента. Для этого построим ∆ABC. Важно помнить, что тангенс
острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета
к прилежащему.
Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку,
например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная положительна, если
касательная «смотрит вниз» отрицательна (если касательная горизонтальна, то
производная равна нулю).
№3. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.
a)
б)
А
С
В
А
С
В
f
0
x
k
tg
,
o
tg
(180
)
BC
AC
Ответ: 0,75 .
Решение.
f
0
x
k
tg
,
0,75.
6
8
o
tg
(180
)
AC
BC
6
2
3.
Ответ: 3 .
№4. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к
этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало
координат. Найдите f'(4).
Решение.
Если касательная проходит через начало
координат, то можно изобразить ее на
рисунке, проведя прямую через начало
координат и точку касания. В качестве
точек с целочисленными координатами,
лежащих на касательной, можно взять
начало координат и точку касания.
Дальнейшее решение очевидно:
(
f x
0
)
tg
6
4
1,5.
6
4
Ответ: 1,5.
№5. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на
интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых
производная функции положительна.
0
, если
)(xf
возрастает.
Решение.
xf
)(
Целые решения при : х=7; х=6; х=5; х=4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.
Ответ: 6.
№6. На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (11; 3). Найдите количество точек, в
которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x
5 или совпадает с ней.
y = 2
Решение.
Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x5 или
совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.
Для
горизонтальную черту,
соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика
производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5.
графике производной проведем
этого на
Ответ: 5 .
№7. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (6; 8). Найдите количество точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.
Решение.
) 0,
f x
0(
если касательная,
проведенная в эту точку
имеет вид у = const.
Считаем количество точек
пересечения графика
функции с касательной.
Ответ: 7.
Теоретические сведения.
Производная функции в точке х0 равна 0 тогда и только тогда, когда
касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х0,
горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи —
приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально
и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.
На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому
графику, проведенная в точке х0, проходит через начало координат.
Найдите f'(х0).
1
Решите самостоятельно!
3
В19;
22
Ответ: 2.
Ответ: 0,5.
2
х0= 4
В24
Ответ: 2.
Ответ: 3
В29
4
х0= 4
В26
На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (8; 3). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.
)(xf
убывает.
, если
Решение.
0)( xf
Целые решения:
х=7; х=6; х=2; х=1.
Их количество равно 4.
Ответ: 4.
Теоретические сведения.
Решим эту задачу, воспользовавшись
следующим утверждением.
Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке
убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит
необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать
количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем
производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно
брать только внутренние точки промежутков.
На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции положительна.
a)
Решите самостоятельно!
б)
xf
)(
Решение.
0
, если
)(xf
возрастает.
Целые решения при :
х=2; х=1; х=5; х=6.
Их количество равно 4.
Ответ: 4.
Целые решения при :
х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.
Их количество равно 5.
Ответ: 5.
На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.
a)
Решите самостоятельно!
б)
xf
0)(
Решение.
, если
)(xf
Целые решения при :
х=2; х=7; х=8.
Их количество равно 3.
Ответ: 3.
убывает.
Целые решения при :
х=1; х=0; х=1; х=2; х=9; х=10.
Их количество равно 6.
Ответ: 6.
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на
интервале (8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой у = 8.
Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к
графику функции ей параллельна, то она
тоже горизонтальна.
Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением
задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и,
двигая его «вниз», сосчитать количество точек с
горизонтальной
касательной.
Ответ: 5.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Сделать опорный конспект §4950
2. Ответить на вопросы:
– Почему признак возрастания
(убывания) называется достаточным?
– Почему условие
существования экстремума в точке
называется необходимым?
3. Объяснить «Штрихи к портрету»
ЛЕЙБНИЦА, НЬЮТОНА, ФЕРМА,
ЛАГРАНЖА
"САМАЯ ТОНКАЯ ОБЛАСТЬ МАТЕМАТИКИ"
"САМАЯ ТОНКАЯ ОБЛАСТЬ МАТЕМАТИКИ"
дифференциальное
исчисление
интегральное
исчисление
Архимед
из Сиракуз
(287г.до н.э.
212 г. до н.э.
Ферма Пьер
(16011665)
Исаак
Ньютон
(16431727)
Жозеф Луи
Лагранж
(17361813)
древнегреческий
ученый
французский
математик
английский
учёный
французский
математик и
механик
Готфрид
Лейбниц
(16461716),
немецкий
философ и
математик.
Что сделали?
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВЧто выяснили?
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
Необходи
мое
условие
1. Существует связь между свойствами функции
(монотонность, экстремумы) и значениями
производной (существование, знакопостоянство, нули).
2. Провели анализ фактов по существующей связи.
3. Провели обобщение наблюдений.
4. Познакомились с математическими «портретами».
5. Познакомились с историзмом проблемы.
6. Наибольшее практическое применение имеет
обратная связь.
Достат
очное
условие
Необходи
мое и
достаточ
ное
условие
План
1. Изучить обратную связь.
2. Научиться её применять к решению задач.
ПОДНИМИТЕ ПОЖАЛУЙСТА КАРТОЧКИ ТОГО ЦВЕТА
ПОДНИМИТЕ ПОЖАЛУЙСТА КАРТОЧКИ ТОГО ЦВЕТА
РЕФЛЕКСИЯ
РЕФЛЕКСИЯ
КОТОРЫМ ВЫ
КОТОРЫМ ВЫ
ОТДАЁТЕ ПРЕДПОЧТЕНИЕ
ОТДАЁТЕ ПРЕДПОЧТЕНИЕ
-В ХОДЕ УРОКАМ ПРОИЗОШЛО
ОБОГАЩЕНИЕ ЗАПАСА ЗНАНИЙ;
-МНЕ ЗАХОТЕЛОСЬ ПРОВЕСТИ
МАСТЕРКЛАСС;
– МЕНЯ УДИВИЛО….
Оцените по 5бальной системе работу на уроке
Ммудрость
Аактивность
Ссчастье
Ттворчество
Еединство
Ррезультат
Дальнейши
х
успехов !!!
СПАСИБО!
презентация для проведения мастер класс применение прозводной к исследованию функции.ppt
