Презентация "Теорема Пифагора"

Суть истины вся в том, что нам она – Когда хоть раз в прозрении её увидим И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна… навечно, свет, (Отрывок из стихотворения А. Шамиссо))

Библиографическая  Библиографическая миниатюра. миниатюра. Заповеди  Заповеди пифагорийцев.. пифагорийцев Один из способов д  Один из способов д оказательств теоре оказательств теоре мы Пифагора. мы Пифагора. Устные задачи  Устные задачи Египетский треугол  Египетский треугол ьник ьник Исторические задач  Исторические задач ии Афоризмы и цитаты  Афоризмы и цитаты Тесты  Тесты Стихотворная стран  Стихотворная стран ичка. ичка.

Цель Цель Существенно расширить круг  Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых геометрических задач, решаемых школьниками. школьниками. Познакомить учащихся с основными  Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности этапами жизни и деятельности Пифагора. Пифагора. Осуществление межпредметной  Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, географией, историей, биологией, литературой литературой

Прогнозируемый Прогнозируемый результат результат Знать зависимость между  Знать зависимость между сторонами прямоугольного сторонами прямоугольного треугольника. треугольника. Уметь доказывать теорему  Уметь доказывать теорему Пифагора. Пифагора. Уметь применять теорему  Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.    Пифагора для решения задач.

Библиографическая Библиографическая миниатюра миниатюра Пифагор (ок. 570 г. – ок. 500 г. до н. э.) Пифагор (ок. 570 г. – ок. 500 г. до н. э.) Крепкого телосложения юношу судьи одной из Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории Олимпиад не хотели первых в истории Олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, т. к. допускать к спортивным состязаниям, т. к. он не вышел ростом. НО он не только стал он не вышел ростом. НО он не только стал участником Олимпиады, но и победил всех участником Олимпиады, но и победил всех противников. Такова легенда… Этот юноша противников. Такова легенда… Этот юноша был Пифагор – знаменитый математик. был Пифагор – знаменитый математик. Вся его жизнь – легенда. Он родился на острове Вся его жизнь – легенда. Он родился на острове Самос, у берегов Малой Азии. Всего 5км Самос, у берегов Малой Азии. Всего 5км водной глади отделяло этот остров от водной глади отделяло этот остров от большой земли. Совсем юным Пифагор большой земли. Совсем юным Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам покинул родину. Он прошел по дорогам Египта, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал Египта, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывавших перед ним речи жрецов, открывавших перед ним тайны астрономии и астрологии, затем тайны астрономии и астрологии, затем несколько лет – в Италии. Уже в зрелом несколько лет – в Италии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется в Сицилию возрасте Пифагор переселяется в Сицилию и там в Кротоне, создает удивительную и там в Кротоне, создает удивительную школу, которую назовут пифагорейской. школу, которую назовут пифагорейской. Они были трудолюбивы и аскетичны – Пифагор Они были трудолюбивы и аскетичны – Пифагор и его ученики. и его ученики.

Заповеди Заповеди пифагорийцев. пифагорийцев. Делай лишь то, что впоследствии не огорчит  Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. тебя и не принудит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь, но  Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать. научись всему, что следует знать. Не пренебрегай здоровьем своего тела.  Не пренебрегай здоровьем своего тела. Приучайся жить просто и без роскоши.  Приучайся жить просто и без роскоши. Прежде чем лечь спать, проанализируйте  Прежде чем лечь спать, проанализируйте свои поступки за день. свои поступки за день.

Пифагорейцами было сделано Пифагорейцами было сделано арифметике и геометрии, в том арифметике и геометрии, в том много важных открытий в много важных открытий в числе: числе: теорема о сумме внутренних углов треугольника;  теорема о сумме внутренних углов треугольника; построение правильных многоугольников и  построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; деление плоскости на некоторые из них; геометрические способы решения квадратных  геометрические способы решения квадратных уравнений; уравнений; деление чисел на чётные и нечётные, простые и  деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; дружественных чисел; доказательство того, что не является  доказательство того, что не является рациональным числом; рациональным числом; создание математической теории музыки и  создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. гармонических пропорциях и многое другое.

Говорят, что Пифагор был первым человеком, который назвал себя философом; в самом деле, мир обязан как раз ему этим термином. До него умные люди звали себя мудрецами, что означало человек, который знает. Пифагор был гораздо скромнее. Он ввел в обращение термин философ, который определил как тот, кто пытается найти, выяснить. ... Декада, 10, согласно пифагорейцам, есть величайшее число не только потому, что это тетрактис (10 точек), но и потому, что она объемлет все арифметические и гармонические пропорции. Пифагор говорит, что 10 есть природа числа, потому что все народы приходят к ней и когда они приходят к ней, они возвращаются к монаде.

Афоризмы, Афоризмы, цитаты цитаты Не считай себя великим человеком по величине твоей тени при заходе  Не считай себя великим человеком по величине твоей тени при заходе солнца. солнца. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.  Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Делай великое не обещая великого.  Делай великое не обещая великого. Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться,  Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные - торговать, а самые счастливые - смотреть. иные - торговать, а самые счастливые - смотреть. Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а  Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями. недруги стали друзьями. Омывай полученную обиду не в крови, а в Лете, реке забвения.  Омывай полученную обиду не в крови, а в Лете, реке забвения. Жизнь подобна зрелищу; в ней часто весьма дурные люди  Жизнь подобна зрелищу; в ней часто весьма дурные люди занимают наилучшие места. занимают наилучшие места. Привычка и с рабством примиряет.  Привычка и с рабством примиряет. Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы жить  Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы жить только в настоящем. только в настоящем. Человек, оказавшийся в плену своих страстей, свободным быть  Человек, оказавшийся в плену своих страстей, свободным быть не может. не может. Начало - половина целого.  Начало - половина целого.   Берегите слезы ваших детей, дабы они могли проливать их на  Берегите слезы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле. вашей могиле.

Изречения Пифагора Изречения Пифагора Статуя формой своей хороша, Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела. А человека украсят дела. Шуткой беседу укрась, освети. Шуткой беседу укрась, освети. Шутка, что соль. Лишь не пересоли… Шутка, что соль. Лишь не пересоли… Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Пусть будет лучше, чем то, что молчишь. Пусть будет лучше, чем то, что молчишь. Если ты в гневе, не смей говорить! Если ты в гневе, не смей говорить! Действовать резко и злобу сорить. Действовать резко и злобу сорить. Пред тем, как станешь говорить, пусть Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет мысль созреет Под языком твоим. Созревшая - все смеет. Под языком твоим. Созревшая - все смеет.

 Пифагор первым определил и изучил взаимосвязь музыки и математики.  Пифагор рассматривал геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как логическую науку.  Система морально-этических правил, завещанная Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи».  Во Франции и некоторых областях Германии в Средневековье теорему Пифагора называли «Мостом слов», а у математиков арабского Востока – «Теоремой невесты».

Памятник Пифагору Памятник Пифагору находится в порту находится в порту города города Пифагория и Пифагория и напоминает всем о напоминает всем о теореме Пифагора, теореме Пифагора, наиболее известном наиболее известном его открытии. Катет, его открытии. Катет, лежащий в основании лежащий в основании треугольника - треугольника - мраморный , мраморный , гипотенуза и фигура гипотенуза и фигура самого Пифагора в самого Пифагора в виде второго катета - виде второго катета - медные. медные.

Предполагают, что во Предполагают, что во времена Пифагора теорема времена Пифагора теорема звучала по-другому: звучала по-другому: «Площадь квадрата, «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе построенного на гипотенузе прямоугольного прямоугольного треугольника, равна сумме треугольника, равна сумме площадей квадратов, площадей квадратов, построенных на его построенных на его катетах». Действительно, катетах». Действительно, сс 22 – площадь квадрата, – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, построенного на гипотенузе, а а 2 2 и b и b 22 – площади квадратов, – площади квадратов, построенных на катетах построенных на катетах

Теорема Пифагора Теорема Пифагора ОТЕНУ ГИ П ЗА Т Е Т А К Квадрат  Квадрат гипотенузы равен гипотенузы равен сумме квадратов сумме квадратов катетов. катетов. КАТЕТ

Теорема Пифагора Теорема Пифагора ПРЯМОУГОЛЬ К -НЫЙ ТРЕУГОЛЬНИ  cc –– гипотенуза гипотенуза  a – a – катет катет  b - b - катет катет a c b

aa bb cc bb cc aa aa cc bb cc bb aa Получили  Получили два два квадрата: квадрата: один – со  один – со стороной cc;; стороной другой – со  другой – со стороной стороной aa ++ b.b. Докажите.  Докажите.

b a a c c b   b c a c С одной стороны: S=c2+4*1/2ab; С другой: S=( a + b )2. Получаем: c2 +4*1/2ab=( a + b)2 c2+2ab=a2+2ab+b2 c2=a2+b2 a b

Устные задачи Устные задачи

Задачи по готовым Задачи по готовым чертежам чертежам

В Древнем Египте для построения прямого угла В Древнем Египте для построения прямого угла использовали треугольник со сторонами 3, 4, 5 использовали треугольник со сторонами 3, 4, 5 (египетский треугольник) (египетский треугольник) Как с помощью Как с помощью веревки и трех веревки и трех колышков колышков построить построить прямой угол? прямой угол?

Если длины сторон прямоугольного Если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми треугольника выражаются целыми числами, то эти числа образуют числами, то эти числа образуют «пифагоровы тройки» «пифагоровы тройки» 77 88 55 aa 33 99 2020 2828 2mn2mn bb 44 1212 2424 1515 4040 2121 4545 mm22-n-n22 cc 55 1313 2525 1717 4141 2929 5353 mm22+n+n 22

Исторические задачи Исторические задачи Задача индийского Задача индийского математика XII века математика XII века Бхаскары Бхаскары    «На берегу реки рос тополь «На берегу реки рос тополь одинокий. одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой угол прямой С теченьем реки его ствол С теченьем реки его ствол составлял. составлял. Запомни теперь, что в этом месте Запомни теперь, что в этом месте река река В четыре лишь фута была широка В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: скажи: У тополя как велика высота?» У тополя как велика высота?»

Исторические задачи Исторические задачи Задача из Задача из китайской китайской «Математики в «Математики в девяти книгах» девяти книгах» «Имеется водоем со «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет В центре его растет камыш, который выступает камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. то он как раз коснётся его. Спрашивается: Спрашивается: каковаглубина воды и каковаглубина воды и какова длина камыша?». какова длина камыша?».

Исторические задачи Исторические задачи «Арифметика» «Арифметика» Задача из учебника Задача из учебника Леонтия Магницкого Леонтия Магницкого «Случися некому человеку «Случися некому человеку к стене лестницу к стене лестницу прибрати, стены же тоя прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И высота есть 117 стоп. И обреете лестницу обреете лестницу долготью 125 стоп. И долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико ведати хочет, колико стоп сея лестницы стоп сея лестницы нижний конец от стены нижний конец от стены отстояти имать». отстояти имать».

Исторические задачи Исторические задачи ПИФАГОРОВА ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА ГОЛОВОЛОМКА Из семи частей квадрата Из семи частей квадрата составить снова квадрат, составить снова квадрат, прямоугольник, прямоугольник, равнобедренный равнобедренный треугольник, трапецию. треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: Квадрат разрезается так: E , F , K , L - середины E , F , K , L - середины сторон квадрата, сторон квадрата, О – центр квадрата, О – центр квадрата, OM EF  , EF NF 

Исторические задачи Исторические задачи Задача древних Задача древних индусов индусов Над озером тихим, Над озером тихим, С полфута размером, высился С полфута размером, высился лотоса цвет. лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Отнес его в сторону. Нет боле цветка над водой. Нет боле цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней Нашел же рыбак его ранней весной весной В двух футах от места, где рос. В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока. Как озера вода здесь глубока.

 Задание 1. Задание 1. Написать программу, распознающую по Написать программу, распознающую по a, b, c среди всех треугольников длинам сторон a, b, c среди всех треугольников длинам сторон прямоугольные. прямоугольные. Задание 2. Пусть элементами прямоугольного Пусть элементами прямоугольного  Задание 2. равнобедренного треугольника являются: равнобедренного треугольника являются: катет a;a;  катет гипотенуза cc;;  гипотенуза высота, опущенная из вершины прямого угла на  высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу hh;; гипотенузу площадь ss..  площадь Составить программу, которая по заданному номеру и Составить программу, которая по заданному номеру и значению соответствующего элемента вычисляла бы значению соответствующего элемента вычисляла бы значение всех остальных элементов треугольника. значение всех остальных элементов треугольника.

Тесты Тесты Обязательная часть Обязательная часть Найдите на рисунках, приведенных ниже 1.1. Найдите на рисунках, приведенных ниже треугольники, к которым применима теорема треугольники, к которым применима теорема Пифагора. Укажите номера этих рисунков в Пифагора. Укажите номера этих рисунков в ответе. ответе. A C B C G F A C B C G F A O B D A O B D C B A N D C B A N D 1) D 1) 3) 4) D 3) 4) 2) 2) B C B C 5)5) A D A D Ответ: ____________ Ответ: ____________

Площадь квадрата ABCD треугольнике ABF: AB=AF. чему равен квадрат отрезка равна SS. В . В ABF: AB=AF. Определите, Определите, AF (AF22)). . чему равен квадрат отрезка AF (AF ABCD равна A D D B C Площадь квадрата B C 2.2. треугольнике F F A Ответ: ___________________ Ответ: ___________________ 3.3. Ответ: а) 9 см; б) 6 см; в) 3 √√22 см. см. Ответ: а) 9 см; б) 6 см; в) 3 4. 4. 5 5 хх B 3 K 2 A B 3 K 2 A C Сторона квадрата равна 3 см. Найдите его диагональ. Сторона квадрата равна 3 см. Найдите его диагональ. C Определите неизвестный элемент. Определите неизвестный элемент. Ответ: а) 14; б) 2 Ответ: а) 14; б) 2 √√5; в) 4. 5; в) 4. 5.5. Сторона равностороннего треугольника равна 8 см. Сторона равностороннего треугольника равна 8 см. Найдите его медиану. Найдите его медиану. Ответ: а) 4 см; б) 4 √3 см; в) 4 Ответ: а) 4 см; б) 4 √3 см; в) 4 √√5 см. 5 см.

Дополнительная часть Дополнительная часть 6.6. Радиус окружности, описанной около Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 3 см. Определите сторону квадрата, равен 3 см. Определите сторону квадрата. квадрата. Ответ: а) 3 √√22 см; б) 18 см; в) 3 см. см; б) 18 см; в) 3 см. Ответ: а) 3 Определите радиус окружности. 7.7. Определите радиус окружности. A O B D O = 16 O F = 12 A O B D O = 16 O F = 12 D F D F CC Ответ: а) 20; б) 40; в) 9. Ответ: а) 20; б) 40; в) 9.

Стихотворная страничка Не знаю, чем кончу поэму И как мне печаль избыть: Древнейшую теорему Никак я не в силах забыть. Стоит треугольник ,как ментор, И угол прямой в нем есть, И всем его элементам  Повсюду почет и честь. Прелестная гипотенуза Взнеслася так смело ввысь! И с нею в вечном союзе Два катета тоже взвились. Она царит в квадратах,  И песню поет она; Та песня влечет куда­то­ Геометров древних волна. И все на торжищах света, Как в огненном кольце, И все повторяю это: Ах, a2,b2,c!                  (Г. Вебер) Суть истины вся в том, что она ­ навечно, Когда хоть раз в прозрении ее, увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорно, безупречна. На радостях богам был Пифагором дан обет: За то, что мудрости коснулся бесконечной. Он сто быков заклал, благодаря предвечных; Моленья и хвалы вознес он жертве в след. С тех пор быки, когда они учуят, тужась. Что к новой истине людей опять подводит  след, Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, Такой в них Пифагор вселил навеки ужас. Быкам, бессильным новой правде  противостоять, Что остается? – Лишь, глаза, закрыв, реветь,  дрожать.                                  (Альберт фон Шамиссо)