Урок изучения нового материала.Цель урока:вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений,формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным основаниям, моделировать выбор способов деятельности.В результате урока учащиеся научатся решать математические задачи, используя формулу корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.
Здравствуйте, ребята!
Прошу занять свои места.
Сегодня 14 марта,
День недели – четверг.
Слушайте меня внимательно,
На вопросы отвечайте,
Всё, ребята, подмечайте,
Ничего не забывайте,
Меня, прошу, не подкачайте.
Поэтому будем сегодня работать
все активно, хорошо и с пользой для ума.
14. 03. 18 Классная работа
Классная работа
Тема урока: «Еще одна формула корней квадратного
уравнения»
Цель урока:
Вывести формулу (II) нахождения корней квадратного
уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать
умения применять формулы I и II для решения квадратных
уравнений
Девиз урока:
«Думать коллективно!
Решать оперативно!
Отвечать доказательно!
Бороться старательно!
И открытия нас ждут обязательно! »
.
2
2
2
bx
Актуализация знаний
0
2 ax
0
Не всегда уравненья
Разрешают сомненья
Но итогом сомненья
Может быть озаренье
ax
c
bx
ax
0
c
.0
ax
1.Что такое уравнение?
3.Что такое корень уравнения?
5.Почему коэффициент а не
7.Как получаются неполные
9.Какие уравнения называются
может равняться нулю?
квадратные уравнения?
неполными квадратными
уравнениями?
4.Какое уравнение называется
6.Какие существуют квадратные
10.Сколько корней может иметь
8.Как называются числа а, в, с?
2.Что значит решить уравнение?
квадратным?
уравнения?
уравнение каждого вида?
Проверь себя
Под какими номерами
стоят квадратные уравнения?
Определите вид квадратного
уравнения
Сколько корней имеет уравнение
4), 6), 7), 9)?
Разложение
левой части на множители;
Метод выделения
полного квадрата;
Применение
теоремы
Виета
По сумме коэффициентов
квадратного уравнения
Способы
решения
квадратных
уравнений
Графический.
Введение
новой переменной
Применение формул корней квадратного
уравнения;
28
x
2
8
x
x
10
6
4
x
x
xx
231
24
x
41
x
,03
2
,03
1
3
2
4
1
2
x
Ответ
:
4;01
x
x
1
x
1
;
x
2
2
x
03
,03
,01
;
x
2
3
4
.
16
0
2
x
10
x
22
bа
22
bа
2
2
a
a
ab
ab
2
b
2
b
16
,0
2
2
25
5*2
x
25
x
2
,09
5
x
x
,9
5
;3
5
,35
x
x
x
8
;2
x
1
Ответ
x
;2
1
2
:
x
2
.8
2
2
ax
ax
bx
,0
,0
a
bx
c
.
c
y
2ax
парабола
Графиком функции является
y
c
bx
прямая
Прямая и парабола имеют только одну
общую точку, значит уравнение имеет одно решение;
Прямая и парабола имеют две общие точки, абсциссы этих точек
являются корнями квадратного уравнения;
Прямая и парабола не имеют общих точек, значит
уравнение не имеет корней.
2
2
x
x
06
6
x
x
Прямая и парабола имеют две общие
точки с координатами (2;4) и (3;9).
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Ответ:2 и 3.
3
2
1
0 1 2 3
x
42
x
42
x
04
4
x
x
Прямая и парабола имеют одну общую
точку с координатами (2;4).
Ответ: 2.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
0 1 2 3
x
22
2
x
x
03
x
2
x
3
Прямая и парабола не имеют общих
точек, значит уравнение не имеет
действительных корней.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Ответ: нет корней.
3
2
1
0 1 2 3
x
D= b2 4ас
1. Если b24ac >0, то квадратное уравнение
имеет два различных действительных корня
2. Если b24ac =0, то квадратное уравнение имеет
два совпадающих действительных корня.
3. Если b24ac <0, то квадратное уравнение
не имеет действительных корней.
>
=
<
Проблемная ситуация
Проблемная ситуация
ФМ
15х2 – 34х +15 = 0. Используя формулу
нахождения корней квадратного уравнения, получаем:
D = (–34)2 – 4 · 15 · 15 = 1156 – 900 = 256.
для решения квадратных уравнений, у которых второй
коэффициент четный, существует другая формула корней,
позволяющая упростить вычисления.
2
c
2
ax
bx
b
b
2
a
– неотрицательное число
x
1,2
0
4
ac
.
ac
2 4
D b
bb четное число, b=2k
b=2k
4
ac
2
k
2
x
1,2
(2 )
k
2
a
ac
2
2
k
2
2
2
k
a
2
k
k
2
k
4
k
a
2
ac
2
a
k
x
1,2
2
ac
.
k
a
Оказывается, если b четное
число, то данную формулу можно
упростить
2
4
ac
2
k
2
ac
)
4(
k
2
a
ac
.
k
2
k
a
a
1:
x
1,2
k
2
k
c
.
2
x
2
kx
c
0
Мы получили, что корнями уравнения
является пара чисел:
Преимущества данной формулы, на первой взгляд, не так и заметны, но
на самом деле при вычислении используются числа поменьше, под знаком корня
квадратного нам не надо доумножать на 4, в знаменателе мы делим только на
коэффициент а.
Самым удобным использование полученной формулы, представляется
при равенстве старшего коэффициента единице.
Для уравнения
корнями будут служить пара чисел:
Первичное закрепление изученного материала
После вывода формулы возвращаемся к решенному уравнению и
применяем новую формулу:
15х2 – 34х +15 = 0 ;
15х2 – 2*17х +15 = 0
D = (–17)2 – 15 · 15 = 289 – 225 = 64;
Решить уравнение двумя способами:
Мы сравнили, формулы корней квадратного уравнения на конкретном
примере.
Пример 1. Решить уравнение:
Решение.
Способ 1. Решим данное уравнение формулой, которой использовали
раньше:
Способ 2. Решим с помощью формулы полученной на данном уроке:
Ребята, согласитесь, вторым способом найти решение оказалось гораздо
проще. У данного способа только один недостаток, в том что, в случае нечетного
коэффициента b, этот способ не применим.
физминутка
Выполним задание,
Задержим дыхание.
Раз, два, три, четыре –
Снова дышим:
Глубже, шире…
глубоко вдохнули.
спину потянули,
руки вверх подняли
радугу нарисовали
повернулись на восток,
продолжаем наш урок
Закрепление изученного материала
1я группа. Упражнения на непосредственное применение формулы
(II) корней квадратного уравнения. № 659 (16,20), № 660 (2,11).
2я группа. Упражнения с выбором формулы (I или II) корней
квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента.
х2 – 5х + 6 = 0; 6х2 – 5х + 1 = 0; 2х2 – 13х + 6 = 0; 6х2 – 13х + 2 = 0;
х2 + 4x + 9 = 0; х2 8x + 12 = 0; 16 х2 8x + 1 = 0;
3я группа. Упражнения повышенной трудности. (реши уравнение)
Проверка заданий 2 ой
группы
№ 554.
а) х2 – 5х + 6 = 0;
D = (–5)2 – 4 ∙ 1 ∙ 6 = 25 – 24 = 1, D > 0.
6х2 – 5х + 1 = 0;
D = (–5)2 – 4 ∙ 6 ∙ 1 = 25 – 24 = 1, D > 0
x1 =
x2 =
= 3
x1 =
x2 =
б) 2х2 – 13х + 6 = 0;
6х2 – 13х + 2 = 0;
D = (–13)2 – 4 ∙ 2 ∙ 6 = 169 – 48 = 121, D > 0
D = (–13)2 – 4 ∙ 6 ∙ 2 = 169 – 48 = 121, D > 0.
x1 =
x2 =
= 6
x1 =
x2 =
= 2.
Проверка заданий 2 ой
группы
х2 + 2*2x + 9 = 0
1) х2 + 4x + 9 = 0
D = 22 – 1 ∙ 9 = 5 , D < 0.
Ответ:
Корней нет
2) х2 8x + 12 = 0
D = 42 – 12 ∙ 1 = 16 – 12= 4, D > 0
х2 – 2*4x + 12 = 0
x1 =
−4+√4=−4+2= 2
x2 = −4√4=−42= 6
3)16 х2 8x + 1 = 0
16 х2 – 2*4x + 1 = 0
D = 42 – 16 ∙ 1 = 0 , D = 0
х
=−4+√0/16=−4+0/16= 1/4
Пример 2. Решите уравнение:
Решение. Нам требуется решить обычное рациональное уравнение.
Будем действовать по алгоритму.
Не забываем проверить знаменатель
Корни числителя и знаменателя не совпали.
Ответ:
Пример 3. Решите уравнение:
Решение. Воспользуемся формулой полученной выше.
Ответ:
Пример 4. Решите уравнение с параметром.
Решение. Посмотрим как будет изменяться решение нашего уравнения
при различных значениях параметра p.
Оказалось, что при любом p уравнение всегда имеет два корня.
Ответ:
Можно предположить, что корни уравнений ax2 + bx + c = 0 и cx2 +
+ bx + a = 0 являются взаимнообратными числами. Докажем это
ax2 + bx + c = 0.
cx2 + bx + a = 0.
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
Вычислим x1 ∙ x4 =
= 1
Значит, х1 и х4 – взаимнообратные числа.
Аналогично доказывается, что x2 и x3 – взаимнообратные числа
Рефлексия
•Что нового вы узнали сегодня на уроке?
•Опыт использования каких «старых»знаний
вам сегодня пригодился?
• В каком случае удобнее воспользоваться
формулой D1?
3х2+17х6=0;
5х2+38х16=0;
24х2+58х5=0;
6х227х+12=0
•Найдите корни квадратного уравнения
x2+8x+10=0 по формуле для уравнений с четным
вторым коэффициентом.
У нас хорошие знания, поэтому
мы можем решить любое
квадратное уравнение. Мы
знаем разные способы решения
и можем их применять на
практике. Учитесь и вам все
будет по силам! Хорошие
знания это билет в светлое
будущее!
Домашнее задание:
Вывод второй формулы корней квадрат.
уравнений. §20
Решить задания № 694
№ 696 № 698
Оцените свою деятельность.
Критерии выставления отметок
«5» 910 +,
«4» 7 8+,
«3» 56+.
еще одна формула корней кв урав..ppt
