Пример решения задачи на "концентрацию"

Задачи на"концентрацию".

Решение задач на смеси (сплавы, растворы) включает учёт концентрации вещества, массы смеси и закона сохранения массы чистого вещества. Задачи такого типа встречаются в вариантах ОГЭ и ЕГЭ.

Алгоритм решения.

1.       Ввод переменной — обозначить как x ту величину, которую нужно найти (чаще всего — массу одного из растворов).

2.       Учёт всех компонентов — для каждого участвующего в процессе раствора или сплава определить общую массу, концентрацию и массу чистого вещества.

3.       Формирование уравнения — основываясь на законе сохранения массы чистого вещества, записать равенство: m_чв₁ + m_чв₂ + … = m_чв_конечная.

4.       Решение уравнения — найти значение x из полученного уравнения.

5.       Формулировка ответа — убедиться, что найденное значение x является ответом на вопрос задачи. Иногда требуется выполнить дополнительные вычисления.

1% = 0,01

Задача. В лаборатории имеются 2 кг кислоты одной концентрации и 6 кг этой же кислоты другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого 36%. Если же смешать равные количества этих растворов, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Какова концентрация каждого из двух имеющихся растворов?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора х%, а концентрация второго раствора у%, тогда:

1-й раствор, масса  2кг концентрация х%. Представим концентрацию раствора в виде десятичной дроби:

х% = 0,01х, тогда масса кислоты в растворе 0,01х*2=0,02х (кг).

2-й раствор, масса  6 кг,  концентр у%. Представим концентрацию раствора в виде десятичной дроби: у%= 0,01у, тогда масса кислоты в растворе

 0,01у*6= 0,06у (кг).

Масса смеси растворов 2 кг+ 6кг = 8 кг. Концентрация смеси 36%. Представим в виде дроби: 36% = 0,36, тогда масса кислоты в этой смеси  = 0,36*8 (кг).

Составляем первое уравнение:  0,02х+ 0,06у = 0,36*8;

Умножим обе части уравнения на 100, получим :

               2х + 6у =  288;

Разделим обе части на 2:

                х + 3у = 144;

4) Смешаем равные количества растворов:1 кг первого раствора концентрацией х% и   1 кг второго раствора концентрацией у%.

Масса кислоты в одном кг первого раствора = 0,01х,  масса кислоты во втором растворе = 0,01у. Вместе получится 0,01х+ 0,01у.

5) С другой стороны, масса второй смеси растворов  2 кг, концентрация 32%, 32% = 0,32, тогда масса кислоты во втором растворе = 0,32*2(кг).

Составляем второе уравнение  0,01х+ 0,01у = 0,32*2.

Умножим обе части уравнения на 100:

                           х + у = 64.

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными х и у:

Решаем систему способом подстановки.

  х = 64 - у - подстановка из второго уравнеия системы.

Подставляя в первое уравнение, получим:

(64 - у ) + 3у =144

64 - у  + 3у =144

  - у  + 3у =144 - 64

  2у = 80

у =40% - концентрация второго  раствора,

х = 64-40

х= 24% - концентрация второго  раствора.

Ответ: 24% и 40%.