Проект по теме "Геометрия пчелиных сот"

XI   межрегиональная открытая научно­практическая  конференция учащихся и студентов  «Юность, наука, культура» Секция № : Научный дебют Направление науки : математика Название работы: Геометрия пчелиных сот Автор работы: Козлов Дмитрий Андреевич, студент 1 курса БПОУ ВО «ЧМК» Научный руководитель:  Корчуганова И.Б. – преподаватель математики Место выполнения работы: бюджетное профессиональное образовательное учреждение Вологодской области «Череповецкий металлургический колледж имени академика  И.П. Бардина» Череповец   2017 год Содержание Введение   Глава 1. Пчелы – инженеры        1.1  Пчелы, какие они? ……………………………………………….        1.2  Процесс создания сот……………………………………………. Глава 2. Гипотеза может быть доказана        2.1   Преимущества шестиугольной призмы для пчел…………….        2.2  Применение конструкции пчелиных сот………………………        2.3 Параллель между работой пчел и моей будущей   профессией...  Заключение  Литература Стр. 3 5 5               2 Введение      Для своей проектной работы я выбрал тему “Геометрия пчелиных сот”. Весь  процесс строения сот очень удивительный, ведь сами пчёлы ­ это те же инженеры. У пчёл хорошо развита способность строить нужную им форму сот.      Наблюдая за самим процессом создания, можно заметить много интересного,  то что можно изучить глубже, что я и сделаю в данной проектной работе.     Многие люди не задумываются о том, почему пчелы выбирают именно такую  фигуру, как они ее строят. Но, на мой взгляд  ­ это довольно интересный процесс, который можно связать с проектированием.  Цели работы: 1. Узнать какую форму выбирают пчелы для сот; 2. Выявить причину их выбора; 3. Изучив материал, узнать о том, как происходит проектирование сот; 4. Связать проектирование сот со своей будущей профессией.  Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи: 1. Используя литературные источники и сеть  Интернет, найти, выбрать, проанализировать  нужную информацию;   2. Исследовать строение пчелиных сот  на экономичность  и вместимость, выполнив  математические расчёты; 3. Доказать  совершенство конструкции пчелиных сот. Объект: Математическая модель сот. Предмет: Пчелиные соты Направление науки: математика Гипотеза: Почему пчелы «выбрали» себе  на сотах форму  шестиугольный призмы ? Проблема: Какую форму выбирают пчелы для сот? Почему? 3 Моя  работа  может  быть использована на уроках геометрии, на различных  конкурсах и как иллюстративный  материал.   Данная работа может помочь  расширить знания студента и преподавателя. 4 1.Пчелы – инженеры. 1.1 Пчелы, какие они?    На протяжении всей истории внимание многих людей  не только привлекала  необычная архитектура пчелиных  сот, но и удивляла красота и правильность их  построения. Это настоящий  математический шедевр из воска, созданный  очень  кропотливым трудом умнейших пчел.  ии ои   Пчел ные с ты — восковые постройки пчёл, предназначенные для хранения запасов корма (мёда и перги)   и   выращивания   потомства;   являются   также гнездом пчелиной семьи.   В самом начале трудовой жизни рабочая пчела, подчиняясь «указаниям» наследственной программы, Рисунок 1 -Пчелиные соты приступает чистить старые ячейки. Она вылизывает и выглаживает их до блеска, «со знанием дела», хотя ее этому никто не обучал. А   когда   перемены   в   организме   рабочей   пчелы   приводят   в   действие восковые железы, а это происходит с 12­го по 18­й день, она начинает вместе с другими особями заделывать ячейки и строить соты. Среди   многих   инстинктивных   проявлений,   свойственных   пчелам   как общественным   насекомым,   наибольшее   восхищение   вызывает   создание   ими идеальных по форме сот. Пчелы скоординировано, быстро и умело строят в улье вертикальные ряды ячеек из воска, выделяемого брюшными железами. Объяснить   такие   «познания»   пчел   ученым   пока   не   удалось.   Ведь   эти насекомые не знают геометрии, не могут сравнивать между собой разные формы сосудов,   чтобы   выбрать   наиболее   оптимальную   форму.   Значит,     пчелы   были изначально   обеспечены   уникальной   врожденной   программой   и     инстинктом, которые позволили им выживать в течении миллионов лет.  5 1.2  Процесс создания пчелиных сот. Начинается строительство в начале весны. Во время первых облетов в  организме пчелы происходят особые изменения – начинают активироваться  железы, вырабатывающие восковое вещество. Сот  представляет собой пласт,  который состоит из ячеек. Толщина сота  25 мм. Пласты прикрепляются  вертикально на расстоянии 10­12 мм. Это расстояние называется улочкой и  пчёлы,  сидя на соседних сотах,  не касаются друг друга спинками. Ячейки сот формируются над старыми, заполняются вкусным лакомством,  а сверху запечатываются еще одним слоем воска. Над этими ячейками  появляются еще одни, и так продолжается весь сезон. Сооружение ячеек происходит таким образом. Пчела выделяет воск,  передними лапками подводит его к челюстям и перерабатывает. Чешуйки воска  раздавливаются при помощи особого пчелиного вещества, а их фрагменты один за другим крепятся в нужное место. Сначала насекомые формируют дно, а затем  возводят стенки шестиугольной формы.  И что удивительно, то весь процесс построения сот происходит в полной  темноте. Пчела не может использовать органы зрения, т.к. в темноте она не видит. Для построения  сот  одной  семье требуется   4­6 кг воска.  Других материалов  пчёлы при строительстве не применяют.  На выделение 1 кг воска расходуется  3  кг мёда.  За год одна пчелиная семья поедает  70 – 90  кг мёда, из них 10­12 кг  мёда  расходуется в период зимовки.   2. Гипотеза может быть доказана 2.1 Преимущества шестиугольной призмы для пчел. 6 При рассмотрении пчелиных сот с точки зрения геометрии, для достижения меньших   затрат   воска  необходимо   плоскость   делить   на   многоугольники   с меньшим периметром.  Для  того,  чтобы  узнать  почему  пчелы  выбирают  именно  шестиугольник, проведем небольшой эксперимент. Я взял   несколько   равных квадратов, треугольников, трапеций, кругов и шестиугольников и других правильных многоугольников.  Попытался сложить их так, чтобы между ними не было пробелов, и пришёл к выводу, что для построения подходят:   треугольник,  квадрат,   шестиугольник,  т.к.   при   плотной   укладке     у остальных остаётся пробел.  Но   всё­таки,   ­Почему   пчелы   используют   именно   правильный шестиугольник, а не правильный треугольник или квадрат? Чтобы   ответить   на   этот   вопрос,   сравним   периметры     правильных многоугольников:   треугольника,   квадрата   и   шестиугольника,   имеющих одинаковую площадь.                                    S3=S4=S6=S                               S3= a2×√3 4  ,    a=2√ S √3   ,      P3=6 √S 4√3  ;  Рисунок 2­  Правильный  треугольник Рисунок 3 ­  Квадрат S 4                                                11 a 2 a ,        a=√S  ,  P4=4√S  ;                                  S6=3a2×√3 2  ,  a=√ 2S 3√3  ,  P6=6√ 2S 3√3    ; 7 Рисунок 4­  Правильный  шестиугольник      Если найти отношение их периметров, т.к. для постройки соты воск  выкладывается по периметру, то получаем следующее: P3:P4:P6=√ 6 4√3 :4:6√ 2 3√3 ≈4,6:4:3,7   Таким образом, из трёх правильных многоугольников с одинаковой площадью  наименьший периметр имеет правильный шестиугольник.     Значит, выбирая для построения сот правильный шестиугольник, пчёлы  экономят воск.      Так как соты имеют форму правильной призмы,  то сравним  объёмы   правильных  призм, треугольной,  четырёхугольной и шестиугольной, в  основаниях которых данные многоугольники. Их размеры должны быть  минимизированы до размера описанного многоугольника вокруг круга – равного  диаметру пчелы.      По нашей гипотезе объём максимальный с равными площадями поверхностей  должна иметь шестиугольная призма. Проверим это. Теперь  я буду  сравнивать    площади  боковых поверхностей многогранников,   при условии равенства их высот.          а  75,232   52,9 мм S бок  P осн  H 52,93  11 16,314 2 мм а 2  r 5,5 мм  115,54 HP осн 242 2 мм Рисунок 5 ­Правильная  треугольная призма S бок Рисунок 6­ Правильная  четырёхугольная  призма 8 а  2 75,22 r 3  24,3 мм 3 S бок  HP осн 24,36  11 83,213 2 мм Рисунок 7 ­ Правильная  шестиугольная призма     Таким образом,  я получил, что наименьшую  боковую поверхность с равными высотами и  равными длинами  рёбер основания  имеет правильная шестиугольная призма.  Мною доказано, что  форма шестигранника обеспечивает максимальную  вместимость при минимальных затратах.     Оказывается, что не только строительство сот подчинено этой закономерности. Все рабочие процессы в семье пчел протекают строго по закону  наименьшей  траты сил, времени и материала.  От своего гнезда до цветущих медоносов и  обратно пчелы летят всегда кратчайшей  дорогой, т.е. по прямой.         2.2  Применение конструкции пчелиных сот В настоящее время производство сотовых панелей развивается как в России, так и за рубежом. Одним из основных поставщиков сотовых панелей на Европейском рынке и в США являются компании CELCOMPONENTSS.r.l (Италия), PlascoreIncorporated (США), Pacific PanelsInc.(США), XENAPAN (Турция), Panelium Kompozit Sistemleri (Турция). Также изготовлением сотовых панелей из стекловолокна занимается индийская компания Tosolbond Composites Llc. Зарубежные фирмы в основном занимаются производством трехслойных сэндвич-панелей, наполнителем которых являются сотовые панели. На российском рынке производством сотовых панелей занимаются такие компании как, ООО НПП "Технология" (г. Обнинск), ООО «Экосистем» (г.Чехов, Московская область), ЗАО «Рекаст» (г. Сосенский, Калужская область). Следует отметить, что на российс По конструкции сотовые панели представляют собой материалы, состоящие из тонкостенных пустотелых ячеек. Все ячейки имеют одинаковую шестигранную форму (аналогично пчелиным сотам). Сотовые панели применяют для изготовления силовых (несущих нагрузку, жестких), тепло- и звукоизолирующих конструкций. Их используют в судостроении, конструкциях летательных аппаратов (вследствие низкой плотности), транспортных средствах (рефрижераторы), криогенной технике, 9 строительстве и других целях. В летательных аппаратах получили распространение термостойкие и трудногорючие сотовые панели на основе термостойких бумаг из фенилона (номекса) и термостойких связующих. Облицовочные панели в этом случае изготавливают на основе параарамидных тканей. Такие сотовые панели обладают минимальной массой при достаточно высоких механических свойствах. Сотовые панели – это конструкция с внутренней алюминиевой прослойкой.  Между двумя алюминиевыми листами находится наполнитель шестиугольной  формы, который имеет «ячеистую» структуру. Сотовые панели  широко  используются в строительстве. В перспективе могут использоваться в  конструкциях интерьера транспортных средств.    Газонные решетки ­ состоят из многофункциональной пространственной  структуры модулей типа "пчелиные соты». Они придают травяному укрытию  высокую устойчивость  к механическим нагрузкам. Газонные решетки также  предназначены для применения на автомобильных стоянках.  Тонкие стенки  их  составных элементов выносят большие поверхностные нагрузки (как и прочные  пчелиные соты). 2.3 Параллель между работой пчёл и моей будущей профессией      Как я уже раньше сказал, что пчёлы – это те же инженеры, которые делают  ячейки и с каждым их поколением этот навык становится лучше. Задача   изучения строения пчелиных сот, является прикладной задачей, изучение и  решение которой позволяет  реализовать  практическую   направленность   математики.   10 Технолог Машиностроения ­ это комплексная наука, изучающая  действующие при изготовлении машин закономерности для их использования в производстве новых деталей и машин заданного качества на основе  применения компьютерной техники и компьютерных систем  автоматизированного проектирования. Работая технологом машиностроения учитываются те же нюансы : 1) При проектировке и конструировании любых деталей; 2) С каждым годом стаж и умение владеть какой­либо отраслей 3) При счете параметров типовых деталей и узлов технологической  оснастки и т.д. 11 Заключение     Целью данной  работы являлось узнать “Почему пчёлы используют шести угольную призму для сот”, какие могут быть объёмы для построек. И я считаю,  что довольно хорошо раскрыты данные вопросы. Я познакомился  с построением  сот, узнал больше про самих пчёл, убедился в том, что пчёлы те же самые  инженеры, которые умеют проектировать ячейки сот.    Проделанная  работа дала мне возможность подробнее ознакомиться с таким  понятием  в геометрии, как призма. На мой взгляд, строительство пчелиных сот ­  довольно интересный процесс, который можно связать с проектированием,  а оно  тесно связано с моей будущей профессией технолога машиностроения. Ведь  разработка моделей очень важна, нужно учитывать все нюансы, что и делают  пчелы при строительстве своих сот. Шестиугольная призма  ­ самая идеальная  геометрическая форма для максимального использования единицы площади и  минимальных затрат для её постройки.   Считаю свою работу интересной, полезной и содержательной. Думаю, что все  задачи, поставленные для достижения цели, выполнены.  12 Список литературы 1. Погорелов А.В., Геометрия, : М.Просвещение, 2000,  385 с. 2. Справочник школьника; 5­11 классы. АСТ­ПРЕСС,2011.Ж 3. Математические секреты пчелиных сот 3. Штейнгауз Г.А. Математический  калейдоскоп. М.: Наука, 1981 2. http://pcheliniydom.ru/pchelovodstvo/paseka/kak­pchely­delayut­soty.html - 3. http://roypchel.ru/uley/dikij.html - рисунок  соты пчелы 4. http://al­bee.com/глава­xxii­ум­и­инстинкт­пчел/ 5. https://www.volit.ru/index.php/abitur/2012­05­30­08­40­13/1353­2012­09­04­09­ 59­11 13 Цель работы –   исследование принципа построения пчелиных сот и изучение  практической направленности применения этого принципа в нашей жизни. Задачи: •Исследовать строение пчелиных сот  на экономичность, вместимость и прочность, имея  необходимый запас знаний по математике •Доказать  совершенство конструкции пчелиных сот •Показать применение  конструкции пчелиных сот • Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остаётся просвета. В сечении соты представляют паркет из правильных шестиугольников. 14