Программа элективного курса по математике для учащихся 9-х классов

Утверждаю                                                                                              Рассмотрено

Директор школы                                                                                     на заседании МС

__________Н.А.Гришко                                                                         протокол № __ от ____

                                                                                                                  Согласовано

                                                                                                       Руководитель МС

                                                                                                                   ________Г.Ю.Рангаева

Администрация городского округа Стрежевой Томской области

Управление образования

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №5 ГОРОДСКОГО ОКРУГА СТРЕЖЕВОЙ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ»

Программа элективного курса по математике

«Решение задач с параметрами»

Ступень обучения: II

Класс:                        9

Срок реализации:   1 год  

Автор-составитель: Кошелева Вера Валерьевна,

учитель математики

МОУ « СОШ №5»

г.  Стрежевой 2017 год

Пояснительная записка.

    Задачи с параметрами – одна из очень многогранных и интересных тем  во всём курсе школьной математики. Эти задачи играют важную роль в развитии логического мышления учащихся и в формировании их математической грамотности. Но решение подобного рода задач вызывает большие трудности у школьников.  Это связано с тем, что каждая задача с параметром  (будь то уравнение или неравенство) представляет собой целый набор  обычных, известных каждому школьнику, задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

    Актуальность изучения данной темы очевидна.  Задачи с параметрами стали неотъемлемой частью выпускных экзаменов в школе, ОГЭ 9 класс и ЕГЭ 11 класс. Эти задачи представлены в огромном количестве в различной математической литературе и  различных пособиях по подготовке к выпускным экзаменам, однако в школьных учебниках они встречаются  довольно-таки редко и на уроках математики им уделяется очень мало внимания.

    Программа элективного курса «Решение задач с параметрами» разработана для учащихся 9-х классов, имеющих достаточную математическую подготовку, проявляющих интерес к предмету и направлена на изучение вопросов, связанных с параметром.

Цель программы:  углубление и расширение знаний обучающихся по теме «Решение задач с параметрами»                                 

Задачи программы:

- показать основные подходы к задачам с параметрами, используя простые     

   математические понятия, известные каждому учащемуся;

- познакомить с различными методами решения задач с параметрами;

- развивать мотивацию учащихся к интеллектуальной деятельности.

Форма реализации программы – очная.

Основные формы проведения занятий – лекция, беседа, семинар, практические занятия.

Планируемые результаты обучения.

    Результат обучения заключается в повышении математической грамотности и математической культуры учащихся, в приобретении навыков исследовательской деятельности и применении уже полученных знаний к решению задач.

  Старшеклассники, освоившие данную программу, смогут показать свои знания на выпускных экзаменах и получить высокие баллы.

   В ходе освоения программы учащийся :

·        узнает что такое «параметр» в математике; что означает «решить задачу с параметром».

·        научится решать различные уравнения, системы уравнений, неравенства с параметрами различными алгебраическими методами: аналитическим, графическим, свойств функций; преобразовывать различного вида алгебраические выражения; применять признаки делимости чисел при решении различных математических задач, а также задач прикладного характера.

·        приобретёт умения строить и читать графики различных «кусочных»  функций; использовать свойства функций при решении задач (уравнений, неравенств) с параметрами; исследовать, выдвигать гипотезы, делать выводы и обосновывать результаты, используя законы математической логики и аксиоматики; выбирать наиболее простые способы решения тех или иных задач; работать самостоятельно с различными источниками информации.

Содержание курса.

1.     Основные понятия. (12часов)

Что такое «параметр» в математике. Что означает «Решить задачу с параметром».

Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Линейные неравенства. Квадратные неравенства.

Рациональные неравенства.

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.

Системы уравнений и неравенств.

Основные функции и их графики (составить таблицу).

Построение графиков квадратичной функции, кусочной функции, функции, содержащей знак модуля.

2.     Уравнения с параметром. (6 часов)

      Основные типы задач с параметрами.

Примеры решения линейных, квадратных уравнений с параметрами.

Способы решения уравнений с параметрами (аналитический, графический,

функционально-аналитический). Общая схема и закономерность в решении.

Типы задач по ограничениям, накладываемых на данный параметр.

3.     Неравенства с параметром. (8 часов)

Примеры решения линейных, квадратных неравенств с параметрами.

Способы решения неравенств с параметрами (аналитический, графический,

функционально-аналитический). Общая схема и закономерность в решении.

4.     Графическое решение задач с параметрами. (10 часов)

Построение графического образа на координатной плоскости.

Рассмотрение уравнений и неравенств, содержащих различные функции.

5.     Задачи основного государственного экзамена. (15 часов)

Решение задач модуля «Алгебра», относящихся к группе «С», входящих в кимы ОГЭ прошлых лет. Способы решения задач.

Примерное тематическое планирование.

Список литературы и используемые интернет ресурсы.

1.     Материалы курса «Как научить решать задачи с параметрами»  — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2014. — 80 с.

2.     Горнштейн П.И. «Задачи с параметрами. » Москва 2003г.;

3.     Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2014: учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013г.;

4.     http://reshuege.ru/

5.     http://ege-study.ru/c5-zadachi-s-parametrami/

6.     http://infourok.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Словарь терминов.

       Что такое «Параметр».

       ПАРАМЕТР (от греч. parametron отмеривающий)

1.     В математике величина, входящая в формулы и выражения, значение коей в рамках  рассматриваемой задачи является постоянным.

2.      Величина, характеризующая некое свойство процесса, устройства, вещества, то же, что и показатель.   (Большая психологическая энциклопедия)

Рассмотрение параметров - это  всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики(параметры) . Так, приобретая  машину, мы обращаем внимание на следующие её параметры: мощность двигателя, расход бензина,  габариты, комплектацию, цену и т.д.  Герои известных русских народных сказок очень часто становятся перед выбором и в зависимости от того, что они выберут, сложится их дальнейшая судьба. Яркими примерами таких сказок являются «Иван Царевич и Серый волк», «Царевна-Лягушка», «Сказка о Царе Салтане».  Перед выбором мы стоим  и в различных жизненных ситуациях. Вы вскоре закончите основную школу и придётся выбрать, что делать дальше: пойти в десятый класс или пойти в профессиональные училища получать профессию.

     Что такое параметр в математике? В школьных учебниках нет точного определения этого понятия.  Ученическое понятие параметра – это некоторое зафиксированное число. И здесь вы правы. Если вы вспомните общие виды  некоторых основных уравнений, в частности  аx+b=0 (линейное уравнение), ax²+bx+c=0(квадратное уравнение), то обратите внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Вопрос заключается только в том , какими могут быть эти значения остальных переменных..

   Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи.

Что означает «Решить задачу с параметром».

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Например, решить уравнение с параметром а- это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Основные способы решения задач с параметром.

1 способ – аналитический .

Это прямое решение, повторяющее стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Этот способ решения задач с параметром пожалуй самый трудный, требующий высокой математической грамотности.

2способ - графический. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (xоy), или в координатной плоскости (xоa).

3 способ - решение относительно параметра.

В этом случае переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Методические рекомендации.

Памятки для обучающихся

1.«Алгоритм решения линейного и квадратного уравнений в общем виде в зависимости от входящих в него параметров».

2.Таблица графиков основных функций.

3.Правила движения при построении графиков функций.

      Если известен график функции у = f(х), то

1)    График функции у = f(х) + n можно получить путём движения  данного графика вдоль оси ОУ на n-единиц вверх, если n>0 или на n-единиц вниз, если n<0.

2)    График функции у = f(х + m) можно получить путём движения  данного графика вдоль оси ОХ  на m -единиц влево, если m >0 или на m -единиц вправо, если m <0.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Примеры заданий (ОГЭ прошлых лет)

1.    Постройте график функции у =  и определите, при каких значениях параметра а прямая у=а не имеет с графиком общих точек.

2.   Постройте график функции у=  и определите, при каких значениях параметра k прямая у = kх имеет с графиком ровно одну общую точку.

3.     Постройте график функции у = |х-2|+|х+2|-2 и определите при каких значениях параметра k прямая у = kх имеет с графиком ровно одну общую точку.

4.     При каких значениях параметра b  уравнение х²-2|х |= b имеет ровно два корня.

5.  Найти все значения параметра p при которых уравнение х - 2 + p = 0 имеет один корень.

6.   Постройте график функции у =

и определите, при каких значениях параметра p прямая у = p имеет с графиком ровно две общие точки.

7.     При каких отрицательных значениях параметра b уравнение х² + 5х = bх-9 имеет ровно одно решение.

8.   Постройте график функции у = . Определите при каких значениях параметра с прямая у=с будет пересекать построенный график в трёх точках.

9.    Построить график функции у = . Определите, при каких значениях параметра а прямая у=ах имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

10. Постройте график функции у =  и определите, при каких значениях параметра p прямая у = p не имеет с графиком ни одной общей точки.

  ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Выводы по реализации Программы

элективного курса по математике

«Решение задач с параметрами»

В процессе изучения с учащимися темы «Задачи с параметрами» в соответствии с ее целями и поставленными задачами, мною были сделаны следующие выводы:

1. Изученные основные способы решения уравнений и неравенств с параметром:

- аналитический способ;                                                                                                         

- графический способ;                                                                                                            

- решение относительно параметра; позволили обучающимся делать выбор при решении уравнений и неравенств.

2. Графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и систем уравнений с параметрами, но нельзя полностью представить себе сложность и нестандартность решения каждой задачи с параметром, изучая только графический способ. Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы.

3. В заданиях ОГЭ по математике в 9 классе уравнения, системы уравнений с параметром   проще, удобнее и нагляднее решать графическим способом, что и доказывали обучающиеся, выбирая способ решения самостоятельно.

4. Проведенный опрос среди обучающихся в начале реализации Программы и в конце позволил произвести сравнительный анализ.

Скачано с www.znanio.ru