Производная произведения двух функций.

Определение производной.

Производная произведения двух функций.

Определение. Производной функции f в точке x_o  называется предел, к которому стремится разностное отношение  при ,

стремящемся к нулю.

= X – X₀  - приращение независимой переменной ( или приращение аргумента),

X₀ – начальное значение аргумента,

X – новое значение аргумента,

- приращение аргумента.

f (X₀) – начальное значение функции,

f (X) – новое значение функции,

Df = f (X) - f (X₀) = f (X₀ +) - f (X₀) –приращение функции.

Производная функции f в точке X₀ обозначается f ¢( X₀ ).

(читается: Эф штрих от X₀ ).

Производную еще называют скоростью изменение функции в точке X_0.

Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.

На основании определения производной выводятся правила дифференцирования.

Таблица производных.

1.   (C)΄= 0

2.   (X)΄ = 1

3.   ( KX + b)΄= K

4.   ( X²)΄ = 2X

5.   (Xⁿ)΄ = n∙X^n-1

6.   ( )΄= - 

7.  ()΄=

8.  (Sin x)΄= Cos x

9.  (Cos x)΄= - Sin x

10.  ( tgx)΄ =

11.(Ctgx)΄=

12.  (C∙U)΄= C∙(U)΄

13.  (U±V)΄=U΄±V΄ 

14.  (U∙V)΄=U΄∙V+ U∙V΄

15.  ()΄=

16.  (f()∙φ

17.   (e^x) = e^x  , где   e ≈ 2,7

18.   (a^x)΄= ,где  

19.   ( x)΄=

20.  ( log_ax)΄=

Производная произведения двух функций.

               ( U × V )¢  = U ¢ × V + U × V ¢                   ( ф. 1)

Следствие:         ( C × U ) ¢ = C × ( U ) ¢                       ( ф. 2 )

                                 (   C  - постоянная величина  )

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Пример 1.  Найти производную произведения двух функций f(X)× g (X),

                    если          f(X) = X³ + X    и      g(X) = X ² – 2.

Решение.

f(x) ×g(X) = ( X³ + X) × (X² – 2)

обозначим   U = ( X³ + X) ,        V = ( X² – 2)

воспользуемся ф. 1.

(( X ³ + X) × (X² – 2)) ¢ = ( X³ + X)¢ ×(X² – 2) + ( X³ + X) ×(X² – 2)¢ =

((X³ )¢ + (X)¢)× (X² – 2) + ( X³ + X)× ((X² )¢  – ( 2 )¢) = (3X² + 1) ×(X² – 2) +

(X³ + X) × ( 2X - 0 ) =(3X² + 1) ×(X² – 2) +(X³ + X) ×  2X = 3X⁴ – 6X² +X² – 2 +2X⁴ + 2X² = 5X⁴ -3x² – 2.

Пример 2.  Найти производные.

воспользуемся ф. 2.

          y = 5COS X

y¢ = ( 5COS X )¢ = - 5Sin X

1)    y = 10X³ + 3X

y¢ = (10X³ + 3X )¢ = (10X³ )¢  +( 3X )¢ = 30X² + 3 × 1 =30X² + 3

          Задание для выполнения в тетради.

Заполните пропуски:

( C ×U )¢ = …                                                ( U × V )¢ = …

1)  ( 2 ×(2X + 1 ))¢ = …                                5) ((2X + 1) × X³)¢  = . . .

2) ( 3X ⁵ )¢  = . . .                                           6) (( X² – X) × (2X⁴ – 5))¢  = . . .

3) ( 18 Sin X ) ¢ = . . .                                   7) ( 4X⁵  × (3X² + 10)) ¢ =. . .

4) ( 0,6 tg X)¢ = . . .                                       8) ( 5X² × COS X )¢ = . . .