РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ»

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика», утвержденным приказом Минобрнауки России от 12.11.2015 № 1327. Изучение дисциплины направлено на получение студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области математической подготовки будущих бакалавров. Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки современного бакалавра в области математического обеспечения и администрирования информационных систем.

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансовопромышленный университет «Синергия» Кафедра высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ проректор по учебнометодической работе, кандидат экономических наук ___________________ А.И. Васильев РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление подготовки: 38.03.01 Экономика Профиль подготовки: Банковское дело Квалификация выпускника: бакалавр Форма обучения: очная Обсуждено на заседании кафедры Высшей математики и естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составитель(и) программы: Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой [email protected] Рейтер К.А. к.ф.н., доцент [email protected] Москва 2017 Содержание I. Аннотация к дисциплине.............................................................................................................3 II. Перечень планируемых результатов обучения, соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы..................................................................6 III. Тематический план....................................................................................................................8 IV. Содержание дисциплины........................................................................................................11 V. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины................................14 В процессе преподавания данной дисциплины используются как классические методы обучения (лекции, практические занятия), так и различные виды самостоятельной работы обучающихся по заданию преподавателя, которые направлены на развитие творческих качеств обучающихся и на поощрение их интеллектуальных инициатив................................14 VI . Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины....................................................................................................................................20 VII. Перечень ресурсов информационнокоммуникационной сети «Интернет», необходимой для освоения дисциплины............................................................................................................21 X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине.....................................................................................................................................22 Примерные контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач ........................................................................................................................................................32 33.Из каких двух частей состоит полное приращение функции?.............................................33 34.Чем является для функции ее линейная часть относительно приращения независимой переменной?...................................................................................................................................33 35.Сравните неглавную часть с главной частью. Ваши выводы................................................33 36.Может ли функция иметь дифференциал в точке, если она не имеет производной в этой точке?.............................................................................................................................................33 37.Каков геометрический смысл дифференциала функции?....................................................33 38.В чем состоит инвариантность формы первого дифференциала?.......................................33 39.При каких условиях, налагаемых на функцию , имеет место теорема Ролля?...............33 40.При каких условиях, налагаемых на функцию , имеют место теоремы Лагранжа и Коши?.........................................................................................................................................33 41.Можно ли из полученных формул, являющихся результатами теорем Лагранжа и Коши, сформулировать основные требования, налагаемые на функцию ? Если да, то обоснуйте утверждение............................................................................................................33 42.Сформулируйте условия, налагаемые на функции в теореме Лопиталя. При каких условиях можно переходить к пределу отношений вторых производных числителя и знаменателя дроби?...................................................................................................................34 43.Каковы условия применения правил Лопиталя?...............................................................34 44.Сформулируйте необходимые и достаточные условия монотонного возрастания (убывания) функции на интервале (а; b)..................................................................................34 Примерные контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач ........................................................................................................................................................34 Типовые задания для проведения промежуточной аттестации обучающихся.........................39 2 I. Аннотация к дисциплине Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика», утвержденным приказом Минобрнауки России от 12.11.2015 № 1327. Изучение дисциплины направлено на получение студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области математической подготовки будущих бакалавров. Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки современного бакалавра в области математического обеспечения и администрирования информационных систем. Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать сущность научного подхода, специфику математического анализа и его роль как способ познания мира, общности её понятий и представлений для решения возникающих проблемных задач в процессе профессиональной деятельности. 3 Прочное усвоение современных математических методов позволит будущему бакалавру в области экономики, бухгалтерского учета, банковского дела и налогов и налогообложения решать в своей повседневной деятельности актуальные практические задачи, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Настоящая дисциплина включена в учебные планы по программам подготовки бакалавров по направлению «Экономика», входит в базовую (обязательную) часть математического и естественнонаучного цикла. Требования к входным знаниям и умениям студента: для успешного освоения данной дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями и навыками, сформированными школьной программной знание элементарной математики, алгебры, элементарных функций, умение дифференцировать. Дисциплина «Математический анализ» имеет логические и методологические последующие связи с дисциплинами базовой части математического и профессионального циклов: Теория вероятностей и математическая статистика, Микроэкономика, Макроэкономика, Методы оптимальных решений, Теория Игр, Эконометрика. Цель и задачи дисциплины Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является формирование научного мировоззрения у студентов, формирование математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других общенаучных и специальных дисциплин, самостоятельного изучения специальной литературы, математического исследования прикладных вопросов, правильного истолкования и оценки получаемых результатов, а также формирование навыков самостоятельной работы. Основной задачей изучения данной дисциплины является прочное усвоение студентами теоретических основ математического анализа, обучение использованию методов этой дисциплины в экономических исследованиях. Задачи дисциплины:  понимание математики как особого способа познания мира, общности ее понятий и представлений; 4  понимание значения математических дисциплин, их месте в системе фундаментальных наук и роли в решении прикладных задач;  изучение фундаментальных разделов математики для дальнейшего их применения в профессиональной деятельности;  выработать у студентов навыки применения математического аппарата при исследовании различных экономических и управленческих задач;  развитие умения составить план решения и реализовать его, используя выбранные математические методы и модели;  развитие умения анализа и практической интерпретации полученных математических результатов;  выработка умения пользоваться справочными материалами и пособиями, самостоятельно расширяя математические знания, необходимые для решения прикладных задач. 5 II. Перечень планируемых результатов обучения, соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих (профессиональных (ПК) компетенций, предусмотренных ФГОС ВО по направлению подготовки 38.03.01 Экономика (уровень бакалавриата). Результаты освоения ООП (содержание компетенций) Код компетенции Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы Способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов ОПК3 Знать (З):  основы необходимые экономических задач (З1). линейной для алгебры, решения Уметь (У):  применять методы линейной алгебры для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач (У1). Владеть (В):  навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач (В1). ПК1 Знать (З):  основы теории математического моделирования, необходимые для решения экономических задач (З2). Уметь (У):  применять математического моделирования для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач (У2). Владеть (В):  навыками математического анализа и применения математических моделей для оценки состояния, и прогноза развития экономических явлений и процессов (В2). Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Работа на занятиях, выполнение домашних заданий, самостоятельная работа, текущий контроль, контрольные работы Работа на занятиях, выполнение домашних заданий, самостоятельная работа, текущий контроль, контрольные работы ПК4 Способность на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и Знать (З):  основы необходимые экономических задач (З3). линейной для Уметь (У): 6 алгебры, решения Работа на занятиях, выполнение домашних заданий, самостоятельная работа, текущий Результаты освоения ООП (содержание компетенций) Код компетенции Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты  применять методы линейной алгебры для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач (У3). контроль, контрольные работы Владеть (В):  навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач (В3). 7 ы д о К й и ц н е т е п м о к х ы м е у р и м р о ф Наименование тем и и ц к е Л ы р а н и м е С Тема 1. Введение в математический анализ Тема 2. Теория пределов Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной 6 6 6 6 ОПК3 (З1, У1, В1) ПК1 (З2, У2, В2), ПК4 (З3, У3, В3) ОПК3 (З1, У1, В1) ПК1 (З2, У2, В2), ПК4 (З3, У3, В3) ОПК3 (З1, У1, В1) ПК1 (З2, У2, В2), ПК4 (З3, У3, В3) ОПК3 (З1, У1, В1) ПК1 (З2, У2, В2), III. Тематический план Контактная работа обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) Актив ные занятия Интерактивные занятия о п м у к и т к а р П ч а д а з ю и н е ш е р м у к и т к а р п й ы н н о и ц а у т и С с с а л к р е т с а М м у к и т к а р п й ы н р о т а р о б а Л Очная форма 9 г н и н е р Т а р г и я а к с е ч и т к а д и Д 9 9 12 8 я с х и щ ю а ч у б о а т о б а р я а н ь л е т я о т с о м а С Форма ТКУ Форма ПА, балл 26 Решение задач/20 26 26 Решение задач/20 Контрольная работа по темам № 1,2/20 Решение задач/20 Контрольная работа по теме № 3/20 26 Решение задач/20 Наименование тем Тема 5. Функции нескольких переменных Тема 6. Ряды я с х и щ ю а ч у б о а т о б а р я а н ь л е т я о т с о м а С 26 27 ы д о К й и ц н е т е п м о к х ы м е у р и м р о ф Контактная работа обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) Актив ные занятия Интерактивные занятия и и ц к е Л ы р а н и м е С о п м у к и т к а р П ч а д а з ю и н е ш е р м у к и т к а р п й ы н н о и ц а у т и С с с а л к р е т с а М м у к и т к а р п й ы н р о т а р о б а Л Очная форма г н и н е р Т а р г и я а к с е ч и т к а д и Д 9 9 6 8 ПК4 (З3, У3, В3) ОПК3 (З1, У1, В1) ПК1 (З2, У2, В2), ПК4 (З3, У3, В3) ОПК3 (З1, У1, В1) ПК1 (З2, У2, В2), ПК4 (З3, У3, В3) Всего, сем: Контроль, час (сем.) Объем дисциплины (в академических часах) Объем дисциплины (в зачетных единицах) 38 57 157 36 4 288 8 9 Форма ТКУ Форма ПА, балл Решение задач/20 Контрольная работа по темам № 4,5/20 Решение задач/20 Контрольная работа по теме № 6/20 100 Экзамен 10 IV. Содержание дисциплины Введение. Исторические сведения о возникновении и развитии математики. Предмет математики. Роль и место математики на современном этапе развития человеческого общества. Значение математики в деятельности бакалавра в области информационных технологий, финансиста, менеджера, экономиста, бухгалтера и аудитора. Тема 1. Введение в математический анализ Понятие множества. Операции над множествами. Действительные числа. Модуль действительного числа. Числовая ось. Числовые множества; промежутки. Понятие функции. Основные способы задания функции. Область её определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Литература к теме 1 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей, 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.14. Интернетссылки: 1. http://scilib.com/mathematics Тема 2. Теория пределов Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности. Предел функции в точке и в бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Непрерывные функции. Локальные Непрерывность сложной и обратной свойства непрерывных функций. функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции. 11 Литература к теме 2: 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей, 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.15,16. Интернетссылки: 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная функции, её смысл в различных задачах. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы параметрически дифференциала. Дифференцирование неявно заданных, заданных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения производной. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. Условия монотонности функции. Точка экстремума функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функций. Общая схема исследования функции и построения графика. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближённых вычислений. Литература к теме 3: 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей, 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.17. Интернетссылки: 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной Первообразная, семейство первообразных. Неопределенный интеграл 12 функции одной переменной. Свойства неопределенного интеграла. Основная таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных Некоторые Интегрирование некоторых иррациональностей. функций. интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла. Основные свойства определенных интегралов. Вычисление определенных интегралов. Приложение определенных интегралов к вычислению площадей, объемов и длин. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы от непрерывных функций с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от разрывных функций. Литература к теме 4: 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей, 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.1820. Интернетссылки: 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm Тема 5. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Основные свойства непрерывных функций. Частные дифференциалы функций двух переменных. Полный дифференциал функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций. Частные производные высших порядков и их независимость от последовательности дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Литература к теме 5: 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей, 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.21. 13 Интернетссылки: 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm Тема 6. Ряды Числовые ряды. Понятие ряда; ряды сходящиеся и расходящиеся. Геометрическая прогрессия. Необходимое условие сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости рядов. Гармонические ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Приближенное суммирование рядов. Функциональные ряды. Понятие функционального ряда; область сходимости. Равномерная сходимость. Непрерывность суммы равномерно Почленное интегрирование и дифференцирование сходящегося ряда. рядов. Степенные ряды. Общий вид степенного ряда. Радиус сходимости. Теорема Абеля. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов, аналитические функции, разложение аналитических функций в степенной ряд. Тригонометрические ряды. Понятие тригонометрического ряда. Ортогональность членов тригонометрического ряда. Ряды и интегралы Фурье. Теорема Дирихле о разложимости функции в ряд Фурье. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье. Литература к теме 6: 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей, 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.2325. Интернетссылки: 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm V. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины В процессе преподавания данной дисциплины используются как классические методы обучения (лекции, практические занятия), так и различные виды самостоятельной работы обучающихся по заданию преподавателя, которые направлены на развитие творческих качеств обучающихся и на поощрение их интеллектуальных инициатив. Обучение по данной учебной дисциплине предполагает следующие 14 формы занятий:  аудиторные занятия (лекции, практические занятия) под руководством преподавателя,  обязательная самостоятельная работа обучающегося по заданию преподавателя, выполняемая во внеаудиторное время, в том числе с использованием технических средств обучения,  индивидуальная самостоятельная работа обучающегося под руководством преподавателя,  индивидуальные консультации. Методические указания для обучающихся при работе над конспектом лекций во время проведения лекции Лекция – систематическое, монологическое изложение преподавателем учебного материала, как правило, теоретического характера. последовательное, В процессе лекций рекомендуется вести конспект, что позволит впоследствии вспомнить изученный учебный материал, дополнить содержание при самостоятельной работе с литературой, подготовиться к экзамену. Следует также обращать внимание на категории, формулировки, раскрывающие содержание тех или иных явлений и процессов, научные выводы и практические рекомендации, положительный опыт в ораторском искусстве. Желательно оставить в рабочих конспектах поля, на которых делать пометки из рекомендованной литературы, дополняющие материал прослушанной лекции, а также подчеркивающие особую важность тех или иных теоретических положений. Любая лекция должна иметь логическое завершение, роль которого выполняет заключение. Выводы по лекции подытоживают размышления преподавателя по учебным вопросам. Формулируются они кратко и лаконично, их целесообразно записывать. В конце лекции обучающиеся имеют возможность задать вопросы преподавателю по теме лекции. Методические указания для обучающихся по выполнению практикумов по решению задач Практикум по решению задач – выполнение обучающимися набора практических задач предметной области с целью выработки навыков их решения. Практикумы по решению задач выполняются в соответствии с рабочим учебным планом при последовательном изучении тем дисциплины. Прежде чем приступать к решению задач, обучающемуся необходимо:  ознакомиться с соответствующими разделами программы дисциплины по учебной литературе, рекомендованной программой курса;  получить от преподавателя информацию о порядке проведения занятия, 15 критериях оценки результатов работы;  получить от преподавателя конкретное задание и информацию о сроках выполнения, о требованиях к оформлению и форме представления результатов. При выполнении задания необходимо привести развёрнутые пояснения хода решения и проанализировать полученные результаты. При необходимости обучающиеся имеют возможность задать вопросы преподавателю по трудностям, возникшим при решении задач. Методические рекомендации для обучающихся по выполнению домашних контрольных работ В соответствие с учебным планом каждый студент должен выполнить контрольные работы по дисциплине. Задачи контрольной работы выдаются преподавателем индивидуально по вариантам. Правила:  работа должна быть сдана за 10 дней до мероприятий промежуточной аттестации;  студент обязан выполнять контрольные работы только своего варианта. Контрольные работы следует выполнять в отдельной для каждой работы ученической тетради, оставляя поля для замечаний преподавателя. Рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых страниц для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями преподавателя. На обложке тетради студент должен указать форму обучения, направление, профиль, курс, номер группы, свою фамилию, имя, отчество, номер работы, номер зачетной книжки, номер варианта; ученую степень (звание) фамилию, имя, отчество преподавателя. В конце работы необходимо привести список. Перед решением задачи каждого задания нужно полностью выписать ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать следует только условие задачи нужного варианта. Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть. В случае возвращения работы на доработку, следует переделать те задачи, на которые указывает преподаватель, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа сдается на повторную проверку обязательно с не зачтенной ранее работой. В случае возникновения затруднений студент может обратиться к преподавателю или на кафедру. 16 Методические указания для обучающихся по организации самостоятельной работы Самостоятельная работа обучающихся направлена на самостоятельное изучение отдельных тем/вопросов учебной дисциплины. Самостоятельная работа является обязательной для каждого обучающегося, ее объем по дисциплине определяется учебным планом. При самостоятельной работе обучающиеся взаимодействуют с рекомендованными материалами при минимальном участии преподавателя. Работа с литературой Самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями, научной, справочной и популярной литературой, материалами периодических изданий и Интернета, статистическими данными является наиболее эффективным методом получения знаний, позволяет значительно активизировать процесс овладения информацией, способствует более глубокому усвоению изучаемого материала, формирует у обучающихся свое отношение к конкретной проблеме. Изучая материал по учебной книге (учебнику, учебному пособию, монографии, и др.), следует переходить к следующему вопросу только после полного уяснения предыдущего, фиксируя выводы и вычисления, в том числе те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного вывода. Особое внимание обучающийся должен обратить на определение основных понятий курса. Надо подробно разбирать примеры, которые поясняют определения. Полезно составлять опорные конспекты. Выводы, полученные в результате изучения учебной литературы, рекомендуется в конспекте выделять, чтобы при перечитывании материала они лучше запоминались. При самостоятельном решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Вопросы, которые вызывают у обучающегося затруднение при подготовке, должны быть заранее сформулированы и озвучены во время занятий в аудитории для дополнительного разъяснения преподавателем. Самопроверка После изучения определенной темы по записям конспекта и учебнику, решения соответствующих задач на практических занятиях и самостоятельно, обучающемуся рекомендуется, используя лист опорных сигналов, воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки основных положений и доказательств. В случае необходимости нужно еще раз разобраться в материале. Помните, недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется 17 только при изучении дальнейшего материала. Если это имеет место быть, надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный материал. Важный критерий усвоения теоретического материала умение решать задачи или пройти тестирование по пройденному материалу. Консультации Если в процессе самостоятельной работы над изучением теоретического материала или при решении задач возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения у него разъяснений или указаний. В своих вопросах надо четко выразить, в чем испытываете затруднения, характер этого затруднения. За консультацией следует обращаться и в случае, если возникнут сомнения в правильности ответов на вопросы самопроверки. Подготовка к экзаменам/зачетам Подготовка к экзамену/зачету способствует закреплению, углублению и обобщению знаний, получаемых, в процессе обучения, а также применению их к решению практических задач. В процессе подготовки к экзамену/зачету, ликвидируются имеющиеся пробелы в углубляются, систематизируются и упорядочиваются знания. На экзамене/зачете демонстрируются знания, приобретенные в процессе обучения по конкретной учебной дисциплине. знаниях, Методические указания для обучающихся по подготовке и выполнению теста. Тестирование позволяет путем поиска правильного ответа и разбора допущенных ошибок лучше усвоить тот или иной материал. Тестовые задания позволяют оценить знания студентов по всему курсу. Данные тесты могут использоваться:  студентами при подготовке к зачету в форме самопроверки знаний;  преподавателями для проверки знаний в качестве формы промежуточного контроля на семинарских занятиях;  для проверки остаточных знаний студентов, изучивших данный курс. Тестовые задания рассчитаны на самостоятельную работу без использования вспомогательных материалов. То есть при их выполнении не следует пользоваться учебниками или конспектами лекций и т.д. Для выполнения тестового задания, прежде всего, следует внимательно прочитать поставленный вопрос. После ознакомления с вопросом следует приступать к прочтению предлагаемых вариантов ответа. Необходимо прочитать все варианты и в качестве ответа следует выбрать лишь один индекс (цифровое обозначение), соответствующий правильному ответу. Тесты составлены таким образом, что в каждом из них правильным является лишь один из вариантов. Выбор должен быть сделан в пользу наиболее правильного 18 ответа. На выполнение теста отводится ограниченное время. Оно может варьироваться в зависимости от уровня тестируемых, сложности и объема теста. Как правило, время выполнения тестового задания определяется из расчета 3045 секунд на один вопрос. Критерии оценки выполненных студентами тестов определяются преподавателем самостоятельно. Рекомендуются следующие критерии оценки: 85% – 100% правильных ответов – «отлично»; 66% – 84% правильных ответов – «хорошо»; 50% – 65% правильных ответов – «удовлетворительно»; менее 50% правильных ответов – «неудовлетворительно». При подведении итогов по выполненной работе необходимо проанализировать допущенные ошибки, прокомментировать имеющиеся в тестах неправильные ответы. Перечень учебнометодического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине Наименование темы Тема 1. Введение в математический анализ Тема 2. Теория пределов Тема 3. Дифференциальн ое исчисление функции одной переменной Дидактические единицы, вынесенные на самостоятельное изучение Понятие функции. Основные способы задания функции. Область её определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции. Условия монотонности функции. Точка экстремума функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего Формы самост. работы Учебно методическое обеспечение Написание конспекта Литература к теме 1 Форма контроля Конспект Проверка домашних заданий Написание конспекта Литература к теме 2 Конспект Проверка домашних заданий Написание конспекта. Литература к теме 3 Конспект Проверка домашних заданий 19 Формы самост. работы Учебно методическое обеспечение Форма контроля Написание конспекта Литература к теме 4 Конспект Проверка домашних заданий Написание конспекта Литература к теме 5 Конспект Проверка домашних заданий Написание конспекта Литература к теме 6 Конспект Проверка домашних заданий Наименование темы Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной Тема 5. Функции нескольких переменных Тема 6. Ряды Дидактические единицы, вынесенные на самостоятельное изучение и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы от непрерывных функций с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от разрывных функций. Частные производные высших порядков и их независимость от последовательности дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Степенные ряды. Общий вид степенного ряда. Радиус сходимости. Теорема Абеля. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов, аналитические функции, разложение аналитических функций в степенной ряд. VI . Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины Основная литература: 20 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей, 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2011. Дополнительная литература: 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 2004. 2. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. – М.: Наука, 2006. 3. Ильин В. А. Позняк Э. Г. Основы математического анализа. – М.: 2004. 4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. – М.: Наука, 2008. 5. Высшая математика для экономистов. Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2008. VII. Перечень ресурсов информационнокоммуникационной сети «Интернет», необходимой для освоения дисциплины № 1. 2. 3. 4. 5. Наименование портала (издания, курса, документа) Новости математики Национальный Открытый университет Российское образование. Федеральный портал Единый портал интернеттестирования в сфере образования Национальный исследовательский университет Ссылка . intuit edu http://scilib.com/mathematics/ http :// www http://www. http://www.iexam.ru/ https://math.hse.ru/news/ . ru / .ru/ VIII. Описание материальнотехнической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине Требования к аудиториям (помещениям) для проведения занятий:  лекционные аудитории с компьютерным и видеопроекционным оборудованием для презентаций с выходом в Интернет;  компьютерный класс с установленным программным обеспечением. Демонстрационный материал: Слайды согласно тематическому плану занятий. IX. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине  Microsoft Office; 21  Система дистанционного обучения eeducation. X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине Промежуточная аттестация по дисциплине «Теория игр» проводится в форме зачета. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы Компетенция Начальный этап ОПК3 Способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы Математический анализ Линейная алгебра Теория вероятностей и математическая статистика Статистика Деньги, кредит, банки Рынок ценных бумаг ПК1 Способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов Математический анализ Финансовая математика Линейная алгебра Теория вероятностей и математическая статистика Микроэкономика Макроэкономика Завершающий этап Валютные операции банка Технологическая практика** Преддипломная практика** Выпускная квалификационная работа*** Финансовые кризисы Антикризисное управление Практика по получению профессиональных умений и опыта профессиональной деятельности** Технологическая практика** Преддипломная практика** Выпускная квалификационная работа*** Основной этап Теория игр Международные валютнокредитные и финансовые отношения Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности Финансовый анализ Методы оптимальных решений Практика по получению профессиональных умений и опыта профессиональной деятельности** Теория игр Корпоративные финансы Теория отраслевых рынков Банковское дело Национальная экономика Практика по получению первичных профессиональных умений и навыков, в том числе первичных умений и навыков научно исследовательской деятельности** 22 ПК4 Способность на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты Математический анализ Линейная алгебра Теория вероятностей и математическая статистика Теория игр Практика по получению первичных профессиональных умений и навыков, в том числе первичных умений и навыков научно исследовательской деятельности** Макроэкономическое планирование и прогнозирование Эконометрика Финансовый анализ Выпускная квалификационная работа*** Показатели и критерии оценивания на различных этапах формирования компетенций В отношении компетенции «Способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы». ОПК3 Показатель оценивания Пороговый (удовлетворительно) Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Знать (З):  основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач (З1). Базовый (хорошо) Знать (З):  основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач (З1). Уметь (У):  применять методы математического анализа для теоретического и экспериментальног о исследования и 23 Критерий оценивания Этап формирования Начальный Начальный Знает: основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач. Знает: основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач. Умеет: применять методы математического анализа для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач (У1). Показатель оценивания Высокий (отлично) Критерий оценивания Этап формирования Начальный Знает: основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач. Умеет: применять методы математического анализа для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач (У1). Владеет: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине решения экономических задач (У1). Знать (З):  основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач (З1). Уметь (У):  применять методы математического анализа для теоретического и экспериментальног о исследования и решения экономических задач (У1). Владеть (В):  навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач (В1). В отношении компетенции собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социальноэкономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих». ПК1 «Способность Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Критерий оценивания Этап формирования Пороговый (удовлетворительно) Знать (З):  основы теории Знает: основы теории Начальный 24 Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине математической статистики, необходимые для решения экономических задач (З2). Знать (З):  Уметь (У):  Базовый (хорошо) Высокий (отлично) основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач (З2). применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментальног о исследования и решения экономических задач (У2). основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач (З2). применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментальног о исследования и решения экономических задач (У2). Знать (З):  Уметь (У):  Владеть (В):  навыками анализа и применения математических моделей для оценки 25 Критерий оценивания Этап формирования Начальный Начальный математической статистики, необходимые для решения экономических задач. Знает: основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач. Умеет: применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач. Знает: основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач. Умеет: применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач. Владеет: навыками анализа и применения математических моделей для оценки состояния, и прогноза развития экономических явлений и процессов. Критерий оценивания Этап формирования Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине состояния, и прогноза развития экономических явлений и процессов (В2). В отношении компетенции ПК4 «Способность на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты». Показатель оценивания Пороговый (удовлетворительно) Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Знать (З):  основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач (З2). Базовый (хорошо) Знать (З):  Уметь (У):  основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач (З2). применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментальног о исследования и решения экономических задач (У2). Критерий оценивания Этап формирования Начальный Начальный Знает: основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач. Знает: основы теории математической статистики, необходимые для решения экономических задач. Умеет: применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач. Высокий Знать (З):  основы теории Знает: основы теории Начальный 26 Показатель оценивания (отлично) Критерий оценивания Этап формирования математической статистики, необходимые для решения экономических задач. Умеет: применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментального исследования и решения экономических задач. Владеет: навыками анализа и применения математических моделей для оценки состояния, и прогноза развития экономических явлений и процессов. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине математической статистики, необходимые для решения экономических задач (З2). Уметь (У):  применять аппарат математической статистики для теоретического и экспериментальног о исследования и решения экономических задач (У2). навыками анализа и применения математических моделей для оценки состояния, и прогноза развития экономических явлений и процессов (В2). Владеть (В):  Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания № п/п Наименование оценочного средства Краткая характеристика оценочного средства Шкала оценки, балл Текущий контроль успеваемости 1. Тестовые задания Тест состоит из 20 заданий с одним или несколькими вариантами правильного ответа 27 «67» – верные ответы составляют более 90% от общего количества; «45» – верные ответы составляют более 80% от общего количества; «13» – более 50% правильных ответов Критерии оценивания компетенции ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) 2. Дидактическая игра 3. Эссе, конспект Включение обучающихся в процесс нахождения путей оптимального решения поставленной задачи в соответствии с выбранной или назначенной ролью Умение обучающегося письменно излагать суть поставленной проблемы, самостоятельно проводить анализ этой проблемы с использованием методологического инструментария дисциплины, делать выводы, обобщающие авторскую позицию по поставленной проблеме 4. Доклад, сообщение Самостоятельная работа обучающегося, представляющая собой публичное выступление по представлению полученных результатов изучения темы 28 «10» – активное участие в процессе в заранее определенной роли, выступление логично и аргументировано; «5» – участие в процессе в определенной роли, выступление в основном логично, недостаточная аргументация «57» – грамотное «34» – грамотное «12» – грамотное ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) использование историкоправовой терминологии, свободное изложение рассматриваемой проблемы, логичность и обоснованность выводов; использование историкоправовой терминологии, частично верные суждения в рамках рассматриваемой темы, выводы недостаточно обоснованы; использование философской терминологии, способность видения существующей проблемы, необоснованность выводов, неполнота аргументации собственной точки зрения соответствии с заявленной темой, презентация легко читаема и ясна для понимания, грамотное использование философской терминологии, свободное изложение рассматриваемых проблем, докладчик правильно ответил на все вопросы в ходе дискуссии; «64» – доклад выполнен в «31» – некорректное оформление либо отсутствие презентации, грамотное использование философской терминологии, в основном свободное изложение рассматриваемых проблем, докладчик частично правильно ответил на все вопросы в ходе дискуссии ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) 5. Семинар Дискуссия Включение обучающихся в процесс обсуждения спорного вопроса, проблемы 6. Контрольная работа Два вопроса, при ответе на которые необходимо аргументировать выбор ответа, и задача «2» – активное участие в дискуссии, обсуждение 2 и более выступлений, точка зрения аргументирована и обоснована; «1» – обсуждение 1 выступления, ответы построены в основном логично, недостаточная аргументация «6» – верные ответы составляют более 90% от общего количества; «53» – верные ответы составляют 8050% от общего количества; «30» – менее 50% правильных ответов. 7. Составление таблицы Продукт самостоятельной работы студента, который представляет из себя обобщённое, формализованное знание, полученное при самостоятельном изучении заданной темы, когда ход выполнения анализа изучаемого исторического материала, с определением категорий сравнения, сопоставления, оформляется виде таблицы. 29 «3» – логичное изложение, без пропусков, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. Корректные категории сравнения, сопоставления. Грамотное оформление таблицы. «21» – не вполне логичное изложение, с единичными пропусками, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. Не вполне корректные категории сравнения, не вполне корректное сопоставление. В 8. Составление схемы 9. Конспект оформлении таблицы есть недочёты. «0» – не логичное изложение, с пропусками, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. Не корректные категории сравнения, не корректное сопоставление. В оформлении таблицы есть ошибки. «2» – логичное изложение, без пропусков, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. «1» – не вполне логичное изложение, с единичными пропусками, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. «0» – не логичное изложение, с пропусками, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения «2» – грамотное, логически стройное изложение, без пропусков, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. Материал представляет единое логическое целое. «1» – грамотное, не вполне логически стройное изложение, с единичными пропусками, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. «0» – не грамотное, нелогичное изложение, с ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) ОПК3 (З1; У1; В1) ПК1 (З2; У2; В2) ПК4 (З3; У3; В3) Продукт самостоятельной работы студента, который представляет из себя обобщённое, формализованное знание, полученное при самостоятельном изучении заданной темы, когда ход выполнения анализа изучаемого исторического материала оформляется виде схемы. Продукт самостоятельной работы студента, представляющий собой краткое логичное изложение в письменном виде основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. 30 пропусками, основных идей исторического материала, заданного для самостоятельного ознакомления и изучения. Материал не представляет единое логическое целое. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы1 № 1 Форма контроля/ коды оцениваемых компетенций Экзамен ОПК3, ПК1, ПК4 Процедура оценивания Шкала и критерии оценки, балл Экзамен представляет собой выполнение обучающимся заданий билета, включающего в себя: Задание №1 – теоретический вопрос на знание базовых понятий предметной области дисциплины (курса), а также позволяющий оценить степень владения обучающимся принципами предметной области дисциплины (курса), понимание их особенностей и взаимосвязи между ними; Задание №2 – задание на анализ ситуации из предметной области дисциплины (курса) и выявление способности обучающегося выбирать и применять соответствующие принципы и методы решения практических проблем, близких к Выполнение обучающимся заданий оценивается по следующей балльной шкале: 1:030; 2:030; 3:040. «5» – 90100 (отлично) – ответ правильный, логически выстроен, приведены необходимые формулы, использована профессиональная лексика. Задача решена правильно. Обучающийся правильно интерпретирует полученный результат. «4» – 7089 (хорошо) – ответ в целом правильный, логически выстроен, приведены необходимые формулы, использована профессиональная лексика. Ход решения задачи правильный, ответ неверный. Обучающийся в целом правильно интерпретирует полученный результат. «3» – 5069 (удовлетворительно) – ответ в основном правильный, логически выстроен, приведены не все необходимые формулы, использована профессиональная лексика. 1 Положение о текущем контроле успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся по программам бакалавриата, программам специалитета и программа магистратуры в НОУ МФПУ «Синергия» 31 профессиональной деятельности; Задача решена частично. «2» – Менее 50 (неудовлетворительно) – ответы на теоретическую часть неправильные или неполные. Задача не решена Задание №3 – задание на проверку умений и навыков, полученных в результате освоения дисциплины (курса). результате освоения дисциплины (курса) (решение задачи). Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для процедуры оценивания знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы2 Примерные контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Какие функции называются алгебраическими, а какие трансцендентными? 2. Какие функции называются рациональными, а какие иррациональными? 3. Какие функции называются целой рациональной функцией, правильной рациональной дробью и неправильной рациональной дробью? 4. Какие функции называются обратными? 5. Какая функция называется заданной явно, а какая неявно? 6. Что называется областью определения и областью изменения функции? 7. Какая функция называется четной, нечетной и общего вида? Каков их геометрический смысл? 8. Какая функция называется периодической? Что называется периодом функции? Каков геометрический смысл периодической функций? 9. Что называется последовательностью? 10. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей)? 11. Какая последовательность называется ограниченной? Приведите примеры. 12. Что называется пределом последовательности? 13. Сколько пределов может иметь последовательность? 14. Сформулируйте необходимое условие существования предела последовательности. 15. Какая последовательность называется бесконечно большой? Приведите примеры. 16. Какая последовательность называется бесконечно малой? Приведите 2 Положение о текущем контроле успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся по программам бакалавриата, программам специалитета и программа магистратуры в НОУ МФПУ «Синергия» 32 примеры. 17. Сформулируйте основные теоремы о пределах. 18. Назовите основные виды неопределенностей. 19. Напишите формулу первого замечательного предела и прочитайте ее. 20. Напишите формулы второго замечательного предела. 21. На чем основывается сравнение бесконечно малых величин? 22. Приведите примеры бесконечно малых функций. 23. Дайте определение производной функции в точке. 24. Найдите по четырехступенчатому правилу производную функции у(х) = х2. 25. На основании основных правил взятия производных найдите производную функции у(х) = 5х2 – 3х + 4. 26. Непрерывность функции является необходимым или достаточным условием? 27. Для существования производной в точке каковы ее достаточные условия? 28. Перечислите наименования точек разрыва производной непрерывной функции. 29. Каков геометрический смысл производной? 30. Каков механический смысл первой производной? 31. Приведите пример применения понятия производной функции в экономике. 32. Дайте определение касательной к графику функции y  ( ) f x в точке ( x y 0 ; ) и напишите уравнение касательной. 0 33. Из каких двух частей состоит полное приращение функции? 34. Чем является для функции ее линейная часть относительно приращения независимой переменной? 35. Сравните неглавную часть с главной частью. Ваши выводы. 36. Может ли функция иметь дифференциал в точке, если она не имеет производной в этой точке? 37. Каков геометрический смысл дифференциала функции? 38. В чем состоит инвариантность формы первого дифференциала? 39. При каких условиях, налагаемых на функцию теорема Ролля? 40. При каких условиях, налагаемых на функцию теоремы Лагранжа и Коши? y   f x  , имеет место y   f x  , имеют место 41. Можно ли из полученных формул, являющихся результатами теорем Лагранжа и Коши, сформулировать основные требования, налагаемые на 33 функцию y   f x  ? Если да, то обоснуйте утверждение. 42. Сформулируйте условия, налагаемые на функции в теореме Лопиталя. При каких условиях можно переходить к пределу отношений вторых производных числителя и знаменателя дроби? 43. Каковы условия применения правил Лопиталя? 44. Сформулируйте необходимые и достаточные условия монотонного возрастания (убывания) функции на интервале (а; b). 45. Сформулируйте определение экстремума функции. 46. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции. 47. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции по первой производной; по второй производной 48. Какие точки называются точками разрыва функции? 49. Какие прямые называются асимптотами графика функции? 50. Какая точка называется точкой перегиба функции? 51. Каковы необходимые и достаточные условия, чтобы функция у = f (х) в точке х = х0 имела точку перегиба? 52. Каковы необходимые и достаточные условия монотонного возрастания и монотонного убывания функции? 53. Каковы условия, накладываемые на функцию f (х), при которых график функции у = f (х) был бы выпуклым (вогнутым) на интервале (а; b)? 54. Что понимается под асимптотой графика функции? Примерные контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Что называется первообразной заданной функции f(х)? 2. Что называется неопределенным интегралом функции f(х)? 3. Сформулируйте и докажите основные свойства неопределенного интеграла. 4. Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. 5. Напишите формулу подстановки в неопределенном интеграле. 6. Напишите на память таблицу неопределенных интегралов и сверьте вашу таблицу c таблицей в пособии. Добейтесь полного их совпадения, после чего рекомендуем приступать к отысканию неопределенных интегралов. 7. Какие вы знаете методы интегрирования и в чем заключается идея этих методов? 8. В чем заключается различие метода замены переменной от метода подстановки? 34 9. Как вы понимаете понятие «неберущиеся интегралы»? 10. Каким условиям должна удовлетворять подынтегральная функция, чтобы существовал неопределенный интеграл (или первообразная)? 11. Напишите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. 12. Какие дроби называются простейшими рациональными дробями и чему равны интегралы от таких функций? 13. В чем отличие определенного интеграла от неопределенного? 14. Чему равен определенный интеграл, если пределы интегрирования – фиксированные действительные числа? 15. Каким условиям должна удовлетворять подынтегральная функция, чтобы определенный интеграл от нее существовал? 16. Какова связь между определенным и неопределенным интегралами? 17. Числом или функцией будет определенный интеграл с переменными пределами интегрирования? 18. По какой формуле вычисляется определенный интеграл? 19. Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле. 20. Напишите формулу интегрирования по частям определенного интеграла. 21. Как с помощью определенного интеграла вычисляются площади плоских фигур? 22. Как с помощью определенного интеграла вычисляются объемы по площадям перпендикулярных сечений, объемы тел вращения? 23. Дайте определение функции двух переменных. Что понимается под пределом и непрерывностью функции двух и более переменных? 24. Что понимается под непрерывностью функции многих переменных и каковы их основные свойства? 25. Что понимается под частными производными первого порядка? 26. Что понимается под частными и полным дифференциалами функций двух переменных? 27. Чему равна производная сложной функции? 28. В чем заключается инвариантность формы полного дифференциала. 29. Что понимается под числовым рядом? 30. Что понимается под сходимостью, а что под расходимостью числового ряда? 31. В чем состоит необходимое условие сходимости числовых рядов? 32. Что понимается под суммой сходящегося числового ряда? 33. Каковы основные свойства сходящихся числовых рядов? 34. Запишите гармонический ряд. Докажите расходимость гармонического ряда. 35. Запишите обобщенный гармонический ряд. Каковы результаты исследования на сходимость обобщенного гармонического ряда? 35 36. Каковы признаки сравнения положительных рядов? 37. Что понимается под функциональным рядом и областью его сходимости? 38. Что понимается под радиусом сходимости степенного ряда и как его найти? 39. Что понимается под интервалом сходимости степенного ряда? 40. Всегда ли интервал сходимости является областью сходимости степенного ряда? Если – нет, то какие дополнительные исследования надо провести. 41. Что есть ряды Тейлора и Маклорена? 42. Какие условия необходимы для составления рядов Тейлора и Маклорена заданной функции? 43. Что есть остаточный член формулы Тейлора? 44. Что есть остаточный член формы Лагранжа? 45. Какие ДУ первого порядка называются с разделенными переменными? 46. Как найти решение ДУ с разделенными переменными? 47. Как найти решение ДУ первого порядка с разделяющимися переменными ? 48. Какая функция называется однородной k го порядка? 49. Какая функция называется однородной нулевого порядка? 50. Какое ДУ первого порядка называется однородным? 51. Каков метод решения однородного ДУ первого порядка? 52. Какое дифференциальное уравнение называется линейным? 53. Каков метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка? 54. Напишите общее решение линейного ДУ первого порядка. 55. Напишите общий вид уравнения Бернулли. 56. Какова структура общего решения линейного однородного ДУ? 57. Какова структура общего решения линейного неоднородного ДУ? 58. Что понимается под фундаментальной системой решений линейных ДУ? 59. Как найти второе линейно независимое решение, если известно одно частное решение ЛОДУ? 60. В чем состоит метод вариации Лагранжа? 61. В чем состоит метод Эйлера для решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами? 62. Какова структура общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами? 63. Какова структура общего решения линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами? 64. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов? 65. Какова структура общего решения линейного однородного ДУ? 66. Какова структура общего решения линейного неоднородного ДУ? 36

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ»

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

01.12.2018