РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математика и статистика»

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия»  Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, кандидат экономических наук ___________________   А.И. Васильев КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ  для проведения текущего контроля успеваемости  по дисциплине  «Математика и статистика» Обсуждено на заседании кафедры  Высшей математики и  естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составитель(­и): Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой  [email protected] Рейтер К.А. к.ф.н., доцент  [email protected] Москва 2017 Содержание I. Содержание дисциплины.............................................................................3 II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам......5 .........................................................................................................................16 2 I. Содержание дисциплины Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева (лемма). Теоремы Чебышева,   Бернулли,   Пуассона,   Маркова.  Центральная   предельная теорема (Ляпунова).   выборка,   функция   правдоподобия, Тема 2. Выборочный метод в математической статистике. Предмет   и   задачи   математической   статистики.   Генеральная совокупность,   способы организации   выборок.  Представление   статистических   данных   и оценивание закона распределения генеральной совокупности. Основные термины   и   определения:   статистические   (выборочные)   данные, вариационный   ряд,   сгруппированный   статистический   ряд, статистический   ряд   распределения,   полигон   частот,   гистограмма, кумулята.    Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений. Понятия   статистики   и   оценки   параметра.   Свойства   оценок:   Точность (доверительная несмещённость, (доверительный   интервал) вероятность) оценок. Точечные и интервальные оценки.    и   надёжность     состоятельность,   эффективность. Точечная   и   интервальная   оценки   вероятности.   Нормально распределённая   оценка   вероятности.  Геометрическая   интерпретация  Генеральная   и   выборочная   средняя доверительного   интервала. величина.  Точечная и интервальная оценки математического ожидания (МО) при известной и неизвестной точности измерений (СКО).  Генеральная   и   выборочная   дисперсии.   Несмещённая   оценка дисперсии.  Точечная и интервальная оценки дисперсии при известном или неизвестном МО, при малом и большом числе испытаний.  Оценки   вероятностных   характеристик   двумерного   случайного вектора:   МО,   дисперсий,   корреляционных   моментов,   коэффициентов корреляции.   Оценка   элементов   корреляционной   и   нормированной корреляционной матриц.  Точность оценки параметров распределений и число испытаний. Тема 4. Статистическая проверка гипотез. Понятие   статистической   проверки   гипотез   (СПГ).   Смысл   и процедура СПГ. Статистические критерии качества СПГ. Область допустимых   значений   и   критическая   область   критерия   качества 3 СПГ. Ошибки, допускаемые лицом, принимающим решения (ЛПР), при СПГ: ошибки первого и второго рода. Вероятность ошибки ЛПР, мощность статистического критерия.  Проверка непараметрических гипотез: критерии согласия. Критерии хи­квадрат Пирсона, Колмогорова. Проверка параметрических гипотез: сравнение   двух   дисперсий   нормальных   генеральных   совокупностей, сравнение двух МО при известных или неизвестных дисперсиях. 4 II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам  Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей. 1. Чему равна вероятность достоверного события? а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;    г) 0,25;         д) 1. 2. Чему равна вероятность невозможного события? а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;     г) 0,25;         д) 1. 3. Монета была подброшена 10 раз. «Герб» выпал 4 раза. Какова  частота выпадения «герба»? а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1. 4. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения  грани с 6 очками: а)  1/52;    б) 0,5;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/9. 5. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения  грани с нечётным числом очков: а)  1/4;    б) 1/2;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/8. 6. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения  грани с чётным числом очков: а)  1/4;    б) 1/8;       в) 1/2;     г) 1/6;         д) 1/3. 7. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимают шар. Найти  вероятность того, что этот шар – белый: а) 0,5;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 2;               д) 0,6. 8. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –  бракованная. а) 0,2;             б) 0,1;                  в) 0,6;            г) 0, 3;              д) 0,25. 9. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –  стандартная. а) 0,2;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 5;               д) 0,8. 10. Какова вероятность выпадения «орла» при подбрасывании  монеты? а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1. 11. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,   при этом каждый раз шары возвращают обратно в корзину.  Найти вероятность того, что оба вынутых шара – не белые. а) 0,4;          б) 0,3;           в) 0,06;          г) 0, 16;          д) 0,26. 12. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,   при этом шары не возвращают обратно в корзину. Найти  вероятность того, что оба вынутых шара – белые. 5 а) 0,2;           б) 0,1;          в) 0,6;            г) 0, 3;             д) 0,25. 13. Произведение двух событий обычно записывается в следующем виде: Ответ –  A B C   1. Сумма событий обычно записывается в следующем виде: Ответ –  A B C   . 15. Вероятности того, что во время работы цифровой  электронной машины произойдет сбой в арифметическом  устройстве, в оперативной памяти, относятся как 2:8.  Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом  устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.8;  0.9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой  будет обнаружен. а) 0,88;    б) 0,64;    в) 0,72;         г) 0, 66;          д) 0,92. 16. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая 5, третья –  3. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.7. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  правильно? а) 0,85;           б) 0,80;           в) 0,72;         г) 0, 66;           д) 0,79. 17. Какая группа событий изображена на схеме:  A B Ответ – совместимые  18. Какая группа событий изображена на схеме:  A B Ответ – несовместимые  19.Установите соответствие между экспериментатором и  показателями Экспериментатор 1. ? Число  бросаний монеты 4040 Число  появлений Частота герба 2048 6 0,5080 2. ? А. Бюффон Б. Пирсон 12000 6019 0,5016 Ответ: 1 – А, 2 – Б 20. Установите соответствие между предметной выборкой и  статистическими  показателями 6 1 2 Месяц 3 4 5 7 8 9 10 11 12 за год  1.­? 2.­? 3.­? Частота рождения девочек 7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88273 3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45682 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42591 0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,4850,4910,4820,473 0,483 А. Новорожденные Б. Мальчики В. Девочки Ответ: 1 – А, 2 – Б, 3 – В Тема 2. Выборочный метод в математической статистике. 1. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года  обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна  0.2. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0.1. Найти вероятность того, что в течение года в СК  обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов –  события независимые. а)  0,4;    б) 0,44;       в) 0,72;     г) 0,34;         д) 0,66. 2. В каждой из трех партий, содержащих по 10 изделий, имеется  соответственно два, три и пять бракованных изделия. Из  каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти  вероятность того, что все три изделия окажутся  стандартным. а) 0,29;        б) 0,28;         в) 0,038;         г) 0, 32;         д) 0,26. 3. Вероятность того, что в течении одной смены возникнет  поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не  возникнет ни одной поломки за три смены? а) 0,81;       б) 0,88;          в) 0,78;            г) 0, 95;         д) 0,86. 4. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Подряд  вынимают две детали, при этом не возвращают их обратно в  7 коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали –  бракованные. а) 1/8;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/5;         д) 1/3. 5. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали.  Последовательно по одной вынимают две детали, при этом  каждый раз возвращают их обратно в коробку. Найти  вероятность того, что обе вынутые детали – бракованные. а) 1/4;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/7;         д) 1/9. 6. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая – 4 счета, вторая 3, третья –  3. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.6, 0.7, 0.8. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  правильно? а) 0,65;           б) 0,60;             в) 0,72;             г) 0, 69;             д) 0,79. 7. Вероятности того, что во время работы цифровой  электронной машины произойдет сбой в арифметическом  устройстве, в оперативной памяти, относятся как 3:7.  Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом  устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.7;  0.8. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой  будет обнаружен. а) 0,78;            б) 0,69;           в) 0,70;         г) 0, 76;         д) 0,72. 8. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая­4, третья –  4. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  правильно? а) 0,85;           б) 0,82;         в) 0,70;           г) 0, 66;               д) 0,79. 9. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной  машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в  оперативной памяти, относятся как 3:7. Вероятности  обнаружения сбоя в  арифметическом устройстве, в  оперативной памяти соответственно равны 0.7; 0.8. Найти  вероятность того, что возникший в машине сбой не будет  обнаружен. а) 0,30;           б) 0,32;         в) 0,28;           г) 0, 36;            д) 0,29. 8 10. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая –2 счета, вторая 4, третья –  4. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  неправильно? а) 0,17;            б) 0,20;            в) 0,21;         г) 0, 18;           д) 0,19. 11. Найти дисперсию случайной величины Х, если закон ее  распределения задан таблицей: Х xi pi 3 0,1 а) 2,85;             б) 3,70;       в) 2,45;         г) 4, 60;              д) 10,9. –2 0,1 –1 0,2 0 0,3 2 0,3 12. Найти математическое ожидание случайной величины Х,  если закон ее распределения задан таблицей: 20 0,4 2 0,3 10 0,1 15 0,2 xi pi а) 12,85;             б) 13,70;       в) 12,60;         г) 14, 60;              д) 13,9. 13. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля  дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,  составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –  отрицательный. Чему не  равен выборочный парный  коэффициент корреляции: а) 0,4;               б) 0,5;            в) – 0,6;          г) – 0,7;        д) – 0,8. 14. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля  дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,  составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –  положительный. Чему не равен выборочный парный  коэффициент корреляции: а) 0,8;               б) 0,6;            в) 0,4;          г) – 0,4;        д) – 0,8. 15.  Формулировка теоремы: частота суммы двух несовместных событий равна … Ответ: Сумме этих событий  16.   Формулировка   теоремы:   вероятность   суммы   двух несовместных событий равна… * P A B (  )  * P A ) (  P B ( ) ( Ответ: Сумме вероятностей этих событий  17. Какое положение изображено на схеме: P A B   ) ) P A (  P B ( ), AB  9      H 1   H n    . . .    . . .   H 4 A   H n A   H 1 A   H 2 A   H 2    . . .    A   H 3 A   H 3    . . .   H 4   Ответ: Произведения события  A  с гипотезами  (событиями  iH ) 18. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что  сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани  хотя бы одной из костей появится «шестёрка» Ответ: 5/36. 19. Для сигнализации об аварии установлены два независимо  работающие сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,8, а второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один  сигнализатор.  Ответ: 0,26. 20. Какая группа событий заключена в следующем положении: n i i H     1 Ответ: полная Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений. 1. Случайная величина вырождена, если имеет: 1) нулевую дисперсию; 2) нулевое математическое ожидание; 2. Коэффициент корреляции равен 1, если случайные величины: 1) независимы; 2) зависимы; 3) линейно зависимы; 4) линейно независимы. 3. Дисперсия является: 1) центральным моментом второго порядка; 2) начальным моментом второго порядка; 3) центральным моментом первого порядка; 4) начальным моментом первого порядка. 4. Плотность   распределения   двумерной   случайной   величины распадается в произведение в случае … 1) стохастической зависимости компонентов случайного вектора; 2) стохастической независимости компонентов случайного вектора. 5. Математическое ожидание является: 10 1) центральным моментом второго порядка; 2) начальным моментом второго порядка; 3) центральным моментом первого порядка; 4) начальным моментом первого порядка; 6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины: 1) есть величина безразмерная; 2) имеет ту же размерность, что и случайная величина; 7. Условное   математическое   ожидание   случайной   величины   при условии А вычисляется по формуле:  1) xF AM  )  xdF ) /( Ax 2)  /( /( A ) M  ;      ( dxAx / ) ; 8. Математическое ожидание случайной величины: 1) безразмерно;  2) имеет те же размерность, что и случайная величина. 9. Матрица ковариации двумерного случайного вектора (где r –  коэффициент корреляции) имеет вид:  1)      2 1  1 2 r r  1 2  2 2    ; 2)     r  1 2 2  1 r    ; 3)      2 r 1  1 2  1 2  2 r 2    . 10. Случайная величина имеет плотность распределения         ( xf )        3 4 2 x   2     х при        0 9 x при 6­        2    2         при 0     4 х  4 х Ее математическое ожидание есть: 1) 4; 2) 3; 3) 1. 11. Случайная величина имеет функцию распределения         xF ( )     1         0  x 4 e при             х 0      при х 0 Ее дисперсия есть: 1 . 1 ; 1)16 4 2)  12. Плотность распределения случайной величины есть: при при при при     х 1­    0         1  х 0  х 1  1 х ) ( xf                        0  x     1 ­1 x            0 Ее дисперсия есть: 1 ; 1 ; 1)  3 4 2)  3)  1 . 6 11 13.Случайная величина имеет плотность распределения         ( xf )          sin        0        x при при     х 0           0 при     х  2  0  х  2  Ее математическое ожидание есть: 1) 2; 2) 1. 14. Найти математическое ожидание случайной величины Х,  если закон ее распределения задан таблицей: xi pi 3 0,3 4 0,1 5 0,2 6 0,4 а) 3,85;         б) 3,70;        в) 4,40;         г) 4,66;        д) 4,95. 15. Найти математическое ожидание случайной величины Х,  если закон ее распределения задан таблицей: xi pi 5 0,3 6 0,1 7 0,2 8 0,4 а) 6,85;            б) 6,60;        в) 6,70;      г) 6, 66;        д) 6,95. 16. Установите соответствие между понятием и графиком  1. Случайный вектор на плоскости 2. Случайный вектор в трехмерном пространстве     (X,Y)         y  Y         R2              0                            X                 x  z       Z           (X,Y,Z)         R3            0                              R2         Y  y         А. Ответ: 1 – А, 2 – Б   X  x              Б. 17. На схеме представлена графическая интерпретация функции  …   X