Разработка факультативного занятия геометрии в 9 классе "Свойства некоторых видов шестиугольника""

Автономная Некоммерческая Организация «Павловская гимназия»

Разработка факультативного занятия

геометрии 9 класса

на тему:

«Свойства некоторых видов шестиугольников»

                                                                      Учитель математики  

АНО «Павловская гимназия»

                                                      Затиева О.В.

2026 г.

Оглавление

1.     Введение…………………………………………………………………….2

2.     Глава 1. Равноугольные шестиугольники………………………………...3

3.     Глава 2. Полуправильные шестиугольники………………………………6

4.     Глава 3. Равносторонние шестиугольники……………………………….9

5.     Заключение………………………………………………………………..10

6.     Список литературы……………………………………………………….11

Введение

Свойства правильных многоугольников, в частности шестиугольников, хорошо изучены. Но существуют и другие виды шестиугольников, например равносторонние, равноугольные и полуправильные. Эти фигуры не так хорошо исследованы.

Во многих задачах бывает полезно перейти к обобщению. Например, если какое-то свойство есть у правильного шестиугольника, сохранится ли оно у равноугольного или равностороннего?

Цель: вывод свойств равноугольных, равносторонних и полуправильных шестиугольников.

Задачи:

Для равноугольных шестиугольников:

         - найти величину углов

- найти способ построения

- вывести свойство сторон

- вывести свойство биссектрис

Для полуправильных шестиугольников:

         - найти способ построения

         - вывести свойство диагоналей

         - вывести свойство описанных шестиугольников

Для равносторонних шестиугольников:

         - найти способ построения

Глава 1.

Равноугольные шестиугольники

Равноугольный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все углы равны.

1.     Градусная мера угла.

По формуле   градусная мера равноугольного шестиугольника - .

2.     Построение.

Чтобы решить задачу построения равноугольного шестиугольника, заметим 2 особенности равноугольного шестиугольника.

1) Если продолжить стороны шестиугольника, образуются 2 равносторонних треугольника.

Доказательство:  

∠QPO=180- ∠OPL=180-120=60

Аналогично ∠QOP=60. Следовательно, ∠POQ=60.

Аналогично для всех углов, образованных продолжениями сторон шестиугольника. Следовательно, △QRS и △ABC – правильные.

2) Противоположные стороны равноугольного шестиугольника параллельны.

Доказательство:

Пусть ∠MLK=x.

Рассмотрим четырехугольник MLKN. ∠LMN=360-120-120-x=120-x.

∠OML=120-(120-x)=x.

∠OML=∠MLK. Углы накрест лежащие при прямых OM, LK и секущей LM. Следовательно, OM׀׀LK.

Аналогично для всех остальных сторон.

Таким образом, равноугольный шестиугольник образуется при пересечении двух правильных треугольников, стороны которого попарно параллельны.

3.     Свойство сторон.

Сумма двух соседних сторон равноугольного шестиугольника равна сумме двух противолежащих им сторон.

Доказательство:

Из пункта 1 следует, что △QPO, △COM, △MRN и т. д. – правильные. Тогда OP=QP, MN=RN, LS=SK.

Рассмотрим △QRS. Он равносторонний из п. 1.

QS=SR.

QP+PL+LS=SK+KN+NR.

LS=SK, следовательно QP+PL= KN+NR.

OP=QP и MN=RN, следовательно, PL+OP=KN+MN.

Аналогично для остальных сторон.

4.     Свойство биссектрис.

Биссектриса равноугольного шестиугольника параллельна двум его сторонам.

Доказательство:

LT – биссектриса. Значит, ∠PLT=∠TLK=60.

KL‖OM, следовательно, ∠TLK=∠OTL=60.

∠UOT=120-x.

Достроим KO. KO∩LT=U. Пусть ∠OKN=x. OP‖KN, следовательно ∠POK=∠OKN.

Рассмотрим △OUT.

∠OUT=180-(120-x)-60=180-180+x=x.

∠POK=∠OUT - углы накрест лежащие при прямых LT и PO и секущей OU. Следовательно, PO‖LT. PO‖NK, значит, NK׀׀LT.

Глава 2.

Полуправильные шестиугольники

Полуправильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все углы равны и стороны равны через одну.

1.     Построение.

Начертим правильный треугольник с помощью циркуля и линейки. Из центра окружности, описанной около этого треугольника, построим еще одну окружность так, чтобы она пересекала каждую сторону в двух точках. Окружность отсекает от каждой стороны одинаковые отрезки. Соединив точки пересечения окружности с треугольником, получим полуправильный шестиугольник.

Таким образом, из способа построения следует, что полуправильный шестиугольник – всегда вписанный.

По определению, полуправильный шестиугольник – это частный случай равноугольного, (а именно такой шестиугольник, продолжения сторон которого образуют два правильных треугольника с совпадающими центрами). Следовательно, все свойства равноугольного шестиугольника распространяются и на полуправильный.

2.     Свойство диагоналей

Диагонали полуправильного шестиугольника равны.

Доказательство:

1) для меньших диагоналей:

LO=NQ=MP, LM=ON=PQ, ∠M=∠L=…∠P по определению полуправильного шестиугольника. Следовательно, все треугольники, образованные двумя сторонами шестиугольника и меньшей диагональю равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Таким образом, меньшие диагонали равны.

Следствие: меньшие диагонали через одну образуют равные правильные треугольники.

2) Для больших диагоналей:

LO=NQ=MP, LM=ON=PQ, ∠M=∠L=…∠P по определению полуправильного шестиугольника.

Рассмотрим четырехугольники MLQP, PONQ, MNOL. Они равны по трем сторонам и двум углам между ними. Следовательно, LQ=PO=MN.

Следствие 1: MLQP, PONQ, MNOL – одинаковые равнобедренные трапеции, и LONQ, MNQP, MLOP – одинаковые равнобедренные трапеции. Они равны по равенству всех их элементов, и являются равнобедренными трапециями, т. к. это четырехугольники с двумя равными сторонами и двумя равными, прилежащими к ним, углами.

Следствие 2: треугольник, образованный пересечением больших диагоналей правильный.

Доказательство:

∠LOP=∠QLN=180-120=60 (из следствия 1)

Рассмотрим △LOR. ∠LRO=180-60-60=60.

∠LRO=∠TRS=60 как вертикальные.

Аналогично ∠RTS=∠RST=60.

Следовательно, △RTS – правильный.

3.     Свойство описанных шестиугольников

Если в полуправильный шестиугольник можно вписать в окружность, то он правильный.

Доказательство:

Если в многоугольник можно вписать окружность, то центр этой окружности будет находиться на пересечении биссектрис многоугольника.

Рассмотрим △FEJ. ∠EFJ=∠FEJ, следовательно, △FEJ - равнобедренный.

JF – высота △FEJ, проведенная к основанию (т. к. это радиус, проведенный к точке касания окружности прямой EF). Тогда это еще и биссектриса и медиана. Следовательно, FG=GE.

Аналогично FK=KA.

FG= FK, т. к. это касательные, проведенные к окружности из одной точки F. Следовательно, FG=GE=FK=KA. Значит, FG+GE=FK+KA, т. е. EF=FA.

И, т. к. все углы равны, стороны равны через одну, и одновременно соседние стороны равны, шестиугольник правильный.

Глава 3.

Равносторонние шестиугольники

Равносторонний шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны.

         Способ построения.

1) физический.

Разделить проволоку на 6 равных частей и согнуть шестиугольник.

2) графический.

Построить квадрат и на двух противоположных сторонах достроить равносторонние треугольники.

Попытки найти интересные свойства равностороннего шестиугольника не увенчались успехом.

Вывод: равносторонность шестиугольника без равноугольности не является основой для новых свойств шестиугольника.

Заключение

Все случаи обобщения свойств правильного шестиугольника я классифицировала на 3 группы: равноугольные, равносторонние и полуправильные шестиугольники.

У равноугольных шестиугольников сохраняется равенство углов, параллельность противоположных сторон, параллельность биссектрис сторонам, равенство противолежащих пар сторон и образование правильных треугольников при продолжении сторон.

Кроме того, у полуправильных шестиугольников сохранилось равенство меньших и больших диагоналей.

У равносторонних шестиугольников, кроме равенства сторон, найти особых свойств не получилось.

В дальнейшем можно еще больше обобщить исследование и изучить свойства других равносторонних, равноугольных и полуправильных многоугольников; изучить зависимость свойств многоугольника от четности количества его сторон.

Список литературы:

- А.Г. Мерзляк «Геометрия 9 класс»

- Д. Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения»

- Р. К. Гордин «Это должен знать каждый матшкольник»

- Д.Э. Шноль, А.И. Сгибнев, Н.М. Нетрусова «Система открытых задач по геометрии»

Скачано с www.znanio.ru