Разработка урока

План урока

1.Класс: 8                

2.Тема: Разложение квадратного трехчлена на множители                 

3.Тип урока: Урок освоения новых знаний и умений

4.Цель урока: научить обучающих разложить квадратный трехчлен на простые множители.

5.Планируемые результаты:

Личностные: выработать умение осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию учебной деятельности.

Предметные: сформировать умение раскладывать квадратный трехчлен на множители; научиться применять изученный способ разложения на множители на практике.

6.Ключевые слова: квадратный трехчлен, теорема Виета, разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

7.Базовые понятия, единые для школьного образования: множество, алгоритм, величина, деление, знак, закон, модель, задача, элемент, высказывание, формула, закон.

8.На уроке предусмотрено использование следующих видов деятельности:«Практическая работа», «Самостоятельная работа».

Блочно-модульное описание урока

Этап 1/БЛОК 1. Освоение нового материала

1.1 Осуществление учебных действий по освоению нового материала

Объясните ученикам приведённый материал и примените его к задачам. (Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/7f42ec80 )

Как мы уже знаем, умение решать квадратные уравнения — крайне полезный навык. Ранее мы научились решать не только сами квадратные уравнения, но и текстовые задачи, которые к ним сводятся. Оказывается, что и это далеко не всё: с помощью нашей замечательной формулы корней квадратного уравнения можно ещё и раскладывать на множители многочлены второй степени. В стандартном виде эти многочлены записываются как ax² + bx + c, где a = 0,– именно к такому виду мы обычно приводим левую часть квадратного уравнения, чтобы его решить. Если все коэффициенты такого многочлена не равны нулю, то он называется квадратным трёхчленом.

Сразу возникает вопрос: а что вообще значит «разложить на множители многочлен»?

Представить в виде произведения? Является ли разложением на множители такое преобразование:

x² – 81 = 1 · (–x2 – 81)?

Или такое:

x² – 81 = xx – 81x?

Вспомним программу 7-го класса. «Разложить на множители многочлен» — значит представить его в виде произведения некоторых многочленов ненулевой степени. Теперь понятно, что оба примера выше не являются разложениями на множители: единица, как и любое не равное нулю число, — это многочлен нулевой степени. А x = 81x вообще не многочлен.

Контрольный вопрос. Укажите, какое из равенств соответствует разложению на множители квадратного трёхчлена.

1. 2x2 + 4x + 2 = 2(–x2 + 2x + 1)

2. 2x2 – 6x + 1 = 2x (x – 3) + 1

3. x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

4. x2 + 4x + 2 = xx + 4 + 2x

Задумаемся, а зачем вообще нужно раскладывать что-то на множители? Пока мы не так

много работали с алгебраическими выражениями, так что вспомним числа. Для чего нужно уметь раскладывать их на множители? Много для чего: искать НОД и НОК, сокращать дроби, выносить общие множители. Всё это нам пригодится и когда речь пойдёт об алгебраических выражениях.

Обратимся же к проблеме, которую мы собираемся решить: мы хотим научиться

раскладывать на множители многочлен

ax2 + bx + c.

Мы уже умеем делать это в случаях, когда b = 0 или c = 0. Например,

x2 – 81 = (x – 9)(x + 9),

3x2 + 12x = 3x (x + 4).

Теперь пришло время разобраться со случаем, когда все коэффициенты ненулевые, то есть научиться раскладывать на множители квадратные трёхчлены. Что делать, например, с таким выражением:

x2 – 4x + 3?

Один из способов, о котором мы уже говорили ранее, – выделение полного квадрата. Действительно,

x2 – 4x + 3 = x2 – 4x + 4 – 1 = (x – 2) 2 – 12 = (x – 2 – 1)(x – 2 + 1) =

= (x – 3)(x – 1).

Заметим, что мы, по сути, почти решили квадратное уравнение x2 – 4x + 3 = 0. Собственно до появления формулы корней мы так уравнения и решали: выделяли полный квадрат раскладывали на множители, после чего приравнивали множители к нулю и находили корни. Теперь этот способ уже не так актуален: мы знаем формулу, с помощью которой корни находятся быстрее и легче. Как вы помните, мы вывели эту формулу с помощью выделения полного квадрата, а сейчас, наоборот, эта формула поможет нам с разложением на множители.

Выше мы с помощью выделения полного квадрата разложили на множители трёхчлен x2 – 4x + 3:

x2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1).

Можно заметить, что правая часть этого равенства имеет вид (x – x1)(x – x2), где x1 = 3

и x2 = 1 – это корни уравнения  x2 – 4x + 3 = 0. Оказывается, это верно для любого квадратного трёхчлена. Запишем это утверждение в общем виде.

Рассмотрим квадратный трёхчлен

ax2 + bx + c.

Пусть квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня: x1 и x2 (вообще говоря уравнение может и не иметь двух корней, об этих случаях мы поговорим позже). Тогда верно равенство

ax2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 ).

Желающие убедиться в том, что это равенство действительно выполняется, могут прочитать

доказательство в рамочке, а со всеми остальными перейдём к примерам.

Докажем, что ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2 ). Для этого воспользуемся идеей выделения полного квадрата:

ax2 + bx + c = ax2 + bax + ca = ax2 + 2b2ax + b24a2 – b24a2 + ca =

= ax + b2a2 – b2 – 4ac4a2 = ax + b2a + b2 – 4ac2ax + b2a – b2 – 4ac2

ax – b – b2 – 4ac2 = ax – b + b2 – 4ac2 = a (x – x1)(x – x2), что и требовалось доказать

Теперь задача разложения на множители квадратного трёхчлена решается в два счёта: нужно только найти корни квадратного уравнения и подставить их в формулу.

Правда, есть важная оговорка. Если вы помните, все рассуждения мы проводили только для случая, когда у уравнения найдётся два корня. А что делать, если корень будет только один

или их не будет вовсе?

Оказывается, случай одного корня ничем не отличается от уже разобранного: можно просто считать, что корней два, но они совпадают. Убедимся на примере, что такой подход приведёт нас к правильному ответу.

Замечание. В случае, когда в разложении многочлена встречаются повторяющиеся множители, обычно их записывают в виде степени:

(x + 3)(x + 3) = (x + 3)2 .

Впрочем, в этом примере можно было и сразу увидеть полный квадрат суммы.

А что же делать, если квадратное уравнение не имеет корней? Увы, в этом случае разложить

соответствующий ему квадратный трёхчлен на множители невозможно. Это можно доказать

(желающие могут увидеть доказательство в рамочке), а можно просто запомнить.

Докажем от противного, что если у уравнения ax2 + bx + c = 0 нет корней,

то многочлен ax2 + bx + c на множители не раскладывается. Пусть это не так и мы смогли

разложить многочлен на множители:

ax2 + bx + c = (dx + e)(fx + g),

где d = 0 и f = 0 . Тогда уравнение ax2 + bx + c = 0 можно переписать в виде:

(dx + e)(fx + g) = 0,

откуда несложно найти его корни: x = –ed и x = –gf. Но по предположению исходное уравнение не должно иметь корней. Противоречие.

Итак, если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то разложитьсоответствующий квадратный трёхчлен на множители можно, а если отрицателен, то нельзя.

Контрольный вопрос. Какие из этих квадратных трёхчленов можно разложить на множители?

1. 2x2 + 4x – 3

2. 2x2 – 6x + 31

3. x2 + 7x + 12

4. x2 + 4x + 4

И маленький совет напоследок. Разобранный нами метод связан с вычислениями, поэтому нередко при решении задач возникают арифметические ошибки. Чтобы обнаружить такую ошибку, старайтесь мысленно раскрывать скобки после того, как нашли искомое разложение. Так, например, если получилось, что

x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 5),

Можно легко заметить, что допущена ошибка, ведь при раскрытии скобок произведение чисел 1 и 5 даст свободный член 5, а вовсе не 4. Кстати, эта идея сильно поможет вам на одном из следующих уроков. Но пока – вперёд, к примерам на закрепление пройденного!(Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/7f42ec80 )

Этап 2 /БЛОК 2. Применение изученного материала

1. Применение знаний, в том числе в новых ситуациях.

Предложите ученикам самостоятельно решить задачи, помогите им, если возникнут трудности.(Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/7f42ec80 )

№208, стр. 73. №202 (ж,з,и) разложить на множители.

2. Развитие функциональной грамотности.

Предложите ученикам самостоятельно решить задачи на развитие функциональной грамотности, помогите им, если возникнут трудности.(Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/7f42ec80 )

Этап 3 /БЛОК 3. Подведение итогов, домашнее задание

1. Рефлексия.

Обсуждаем итоги урока, выставляем оценки в журнал.

1.Что на уроке больше всего понравилось (запомнилось)?

2.Что было трудным?

3.Что так и осталось непонятным?

2. Домашнее задание.

Предложите ученикам выполнить домашнее задание. (Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/7f42ec80 )

Скачано с www.znanio.ru