Решение текстовых задач

9.2.3.9
применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии к решению задач;

Учащийся
знает формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
применяет формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии к решению задач.

Актуализация знаний

6. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b1 = 2, q = 0,25, равна 8.

5. Сумма геометрической прогрессии, в которой b1 = 36, q = –0,5, равна 24

1. В арифметической прогрессии, заданной формулой an = 7 – 4n, десятый член равен -33.

2. В арифметической прогрессии где 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 = 7 и 𝑎 5 𝑎𝑎 𝑎 5 5 𝑎 5 = 1, сумма первых семнадцати членов равна -188.

4. Если в геометрической прогрессии b 3 b b 3 3 b 3 = 8, b 5 b b 5 5 b 5 = 2, тогда b 1 b b 1 1 b 1 = 32, q=± 1 2 1 1 2 2 1 2 .

3. Последовательность 5; 1 2 1 1 2 2 1 2 ; 1 20 1 1 20 20 1 20 ; 1 200 1 1 200 200 1 200 ;… это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Актуализация знаний

?

Решите задачу:

1. В правильный треугольник со стороной равной а посредством соединения середины сторон вписан треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т.д. Найдите сумму периметров треугольников и площадей треугольников.

𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 = 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 =𝑎𝑎, 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐵 2 𝐵𝐵 𝐵 2 2 𝐵 2 , 𝐵 2 𝐵𝐵 𝐵 2 2 𝐵 2 𝐶 2 𝐶𝐶 𝐶 2 2 𝐶 2 , 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐶 2 𝐶𝐶 𝐶 2 2 𝐶 2 - средние линии, то их

длины равны 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 . 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 𝐵 3 𝐵𝐵 𝐵 3 3 𝐵 3 = 𝐵 3 𝐵𝐵 𝐵 3 3 𝐵 3 𝐶 3 𝐶𝐶 𝐶 3 3 𝐶 3 = 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 𝐶 3 𝐶𝐶 𝐶 3 3 𝐶 3 = 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙ 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4

Таким образом последовательность длин сторон

Последовательность периметров будет получаться путем утроения, т. е. 3𝑎𝑎, 3𝑎 2 3𝑎𝑎 3𝑎 2 2 3𝑎 2 , 3𝑎 4 3𝑎𝑎 3𝑎 4 4 3𝑎 4 , 3𝑎 8 3𝑎𝑎 3𝑎 8 8 3𝑎 8 ,…, 3𝑎 2 𝑛−1 3𝑎𝑎 3𝑎 2 𝑛−1 2 𝑛−1 2 2 𝑛−1 𝑛𝑛−1 2 𝑛−1 3𝑎 2 𝑛−1 , … Знаменатель этой прогрессии q= 1 2 1 1 2 2 1 2 , а сумма периметров

вычисляем по формуле для суммы бесконечно убывающей: Р= 3𝑎 1− 1 2 3𝑎𝑎 3𝑎 1− 1 2 1− 1 2 1 1 2 2 1 2 3𝑎 1− 1 2 =6𝑎𝑎 . Площади полученных треугольников также образуют бесконечно убывающую прогрессию 𝑆 1 𝑆𝑆 𝑆 1 1 𝑆 1 , 𝑆 2 𝑆𝑆 𝑆 2 2 𝑆 2 , 𝑆 3 𝑆𝑆 𝑆 3 3 𝑆 3 , …, 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 , … поскольку 𝑆 1 𝑆𝑆 𝑆 1 1 𝑆 1 = 𝑎 2 3 4 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 3 3 3 3 𝑎 2 3 4 4 𝑎 2 3 4 , 𝑆 2 𝑆𝑆 𝑆 2 2 𝑆 2 = ( 𝑎 2 ) 2 3 4 ( 𝑎 2 ) 2 ( 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 ) ( 𝑎 2 ) 2 2 ( 𝑎 2 ) 2 3 3 3 3 ( 𝑎 2 ) 2 3 4 4 ( 𝑎 2 ) 2 3 4 = 1 4 1 1 4 4 1 4 ∙ 𝑎 2 3 4 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 3 3 3 3 𝑎 2 3 4 4 𝑎 2 3 4 , 𝑆 3 𝑆𝑆 𝑆 3 3 𝑆 3 = ( 𝑎 4 ) 2 3 4 ( 𝑎 4 ) 2 ( 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 ) ( 𝑎 4 ) 2 2 ( 𝑎 4 ) 2 3 3 3 3 ( 𝑎 4 ) 2 3 4 4 ( 𝑎 4 ) 2 3 4 = 1 16 1 1 16 16 1 16 ∙ 𝑎 2 3 4 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 3 3 3 3 𝑎 2 3 4 4 𝑎 2 3 4 и т.д. Знаменатель 𝑞𝑞= 1 4 1 1 4 4 1 4 , 𝑆𝑆= 𝑎 2 3 4 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 3 3 3 3 𝑎 2 3 4 4 𝑎 2 3 4 : 1− 1 4 1− 1 4 1 1 4 4 1 4 1− 1 4 = 𝑎 2 3 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 3 3 3 3 𝑎 2 3 3 3 𝑎 2 3 3 .

вписанных треугольников образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию 𝑎𝑎, 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 , 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 , 𝑎 8 𝑎𝑎 𝑎 8 8 𝑎 8 ,…, 𝑎 2 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 2 𝑛−1 2 𝑛−1 2 2 𝑛−1 𝑛𝑛−1 2 𝑛−1 𝑎 2 𝑛−1 , …

1. Найдите сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, второй член которой, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член образует в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью, равной 1 3 1 1 3 3 1 3

2. Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии в полтора раза меньше первого члена. Найдите отношение десятого члена к седьмому.

Решите задачи:

3. На куб со стороной а поставили куб со стороной 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 , на него куб со стороной 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 , затем куб со стороной 𝑎 8 𝑎𝑎 𝑎 8 8 𝑎 8 и т.д. (рис ). Найти высоту получившейся фигуры.

2. При каком значении a сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии 2𝑎𝑎+𝑎𝑎 2 2 2 2 +𝑎𝑎+… равна 8

1. В правильный треугольник со стороной равной а, вписана окружность; в нее вписан правильный треугольник; в этот треугольник опять вписана окружность и т.д. Найдите сумму: а)периметров треугольников; б)площадей треугольников; в) длин окружностей.

1. Найдите сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма их обратных величин равна 13 27 13 13 27 27 13 27

2. Найдите бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, у которой каждый член был бы в 10 раз больше суммы всех следующих за ним