Решение заданий на исследование функций с помощью производной
Решение заданий на исследование функций с помощью производной.
( Задания №14 базового уровня и задания №7 профильного уровня).
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6)
0
у = f(x)
–6
6
у
х
2
4
6
3
5
1
№1
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.
Ответ: 6.
Решение:
Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках
k = f ′(х) = 0.
В нашем случае – это точки экстремума.
Таких точек 6.
у = –5
–5
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6)
0
у = f(x)
–6
6
у
х
2
4
6
3
5
1
№2
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.
Ответ: 6.
Решение:
Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках
k = f ′(х) = 0.
В нашем случае – это точки экстремума.
Таких точек 6.
у = –5
–5
На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8)
На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8).
Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе №3
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
у = f ′(x)
+
+
Решение:
Функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.
Таких точек 7:
x= −3, x= −2, х= 3,
x=4, x=5, х= 6, х= 7.
Их сумма:
−3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20
7
5
3
-3
Ответ: 20.
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8)
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.
Решение:
На отрезке [–8; –4]
производная функции
отрицательна, значит, сама функция убывает, а
наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом
конце отрезка, то есть в точке –4.
Ответ: –4.
№4
–
у = f ′(x)
f(x)
На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11)
.
На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11).
Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
у
х
у = f ′(x)
0
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 или не существует. Таких точек
принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.
В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.
–
+
–
+
–
+
х1
х2
х3
х4
х5
max
max
Ответ: 2.
f(x)
–10
10
№5
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6)
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).
Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение:
Точки экстремума – это точки минимума и максимума.
Таких точек, принадлежащих промежутку (–8; 6), пять: -6; -4; -2; 2; 4.
Найдем сумму их абсцисс:
-6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.
Ответ: 6.
№6
у = f ′(x)
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8)
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6].
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует.
Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак или с «+» на «–», или с «–» на «+».
Ответ: 3.
№7
+
–
–
+
у = f ′(x)
Решение: На интервале (–4; 8) производная в точке х = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–»…
Решение:
На интервале (–4; 8) производная в точке
х = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+». Точка х=4 является точкой экстремума функции на заданном интервале.
№8
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).
.
Ответ: 4.
–
+
у = f ′(x)
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
