Системы счисления

Системы счисления

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная.

Система счисления – это способ записи чисел по определенным правилам с помощью специальных знаков – цифр.







Знаки (символы), используемые в СС для обозначения чисел, называются цифрами.

Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, …, 9}

Числа:
523
1010011
CXL

Цифры:
0, 1, 2, 3,…
0,1
I, V, X, L, …

значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;

значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа;

Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит.

Основание системы счисления (N) - количество цифр (знаков), используемых для представления чисел

N=2

0, 1

N=4

0, 1, 2, 3

N=8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

N=16

10 11 12 13 14 15
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

В каких системах счисления записаны числа?
259310, 1101012, 2078, 5С16

Найти ошибки в записи чисел в различных С.С.

Какое минимальное основание должна иметь С.С., если в ней могут быть записаны числа

Правила перевода

Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток.
Частное опять разделить на 2. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2.
Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

57

56

28

28

14

14

7

6

3

2

100

96

12

8

335

320

20

16

Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

A,10

B,11

C,12

D,13

E,14

F 15

185 2
184 24 2
1 24 12 2
0 12 6 2
0 6 3 2
0 2 1
1

78 4
76 19 4
2 16 4 4
3 4 1
0

132 8
128 16 8
4 16 2
0

75 8
72 9 8
3 8 1
1

279 8
272 34 8
7 32 4
2

250 16
240 15
10

107 16
96 6
11

721 16
720 45 16
1 32 2
13

Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.

Запишите числа в развернутой форме:
259310, 1101012, 2078, 5С16

Запишите числа в свернутой форме:
1*24+1*23+0*22+1*21+0*20 =
7*102+3*101+1*100 =
3*81+3*80 =
14*161+5*160 =

3 2 1 0

Основание системы

Разряд цифры

Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы степеней двойки и найти ее десятичное значение.

4 3 2 1 0

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 1910

7 6 5 4 3 2 1 0

= 1·82 + 4·81 + 4·80 =
= 64 + 32 + 4 = 10010

= 7·161 + 10·160 =
= 112 + 10 = 12210

= 2·162 + 12·161 + 6·160 =
= 512 + 192 + 6 = 71010

2 1 0

= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453

1D416 = 1*162 + 13*161 + 4*160 =
= 256 + 208 + 4 = 46810

2 1 0

Переведите числа из одной системы счисления в другую.
718 → Х10 → Х2;
5Е16 → Х10 → Х8;
110102 → Х10 → Х16;
AF16 → Х10 → Х2

Для каждого из чисел: 12310, 45610 выполнить перевод: 102, 10  8, 10  16.
Для каждого из чисел: 1000112, 1010010112, 11100100012 выполнить перевод: 2  10, 2  8, 2  16.
Для чисел: 543218, 545258, 7778, 1AB16, A1B16, E2E416, E7E516 выполнить соответствующий перевод: 8  2, 16  2.

= 1·23 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2=
= 8 + 1 + 0,5 + 0,25 = 9,7510

= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3=
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,37510

Алгоритм перевода:

Последовательно умножать десятичную дробь и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода.
Полученные целые части произведений выразить цифрами алфавита новой системы счисления.
Записать дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.

105,2510 = 105 + 0,25 = 1101001,012

10510 = 11010012

Перевод дробной части числа из десятичной СС в другую позиционную СС выполняется последовательным умножением на основание системы, пока дробная часть не станет равна 0.

Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.
Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

18010  23104

33

0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112

0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1

34

34

1 5 68
+ 6 6 28

1

6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

08

0

4

37

4 5 68
– 2 7 78

(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1

78

1

5

A 5 B16
+ C 7 E16

1 6 D 916

10 5 11
+ 12 7 14

11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6

9

6

1

С В А16
+ A 5 916

10 В А16
+ 8 5 616

С 5 B16
– A 7 E16

1 D D16

12 5 11
– 10 7 14

(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1

1

10 В А16
– A 5 916