Системы счисления

Система исчисления Выполнила студентка группы 186-ДОУ Коноплёва Наташа

Основные понятия Система счисления — это совокупность правил записи чисел  посредством конечного набора символов (цифр). Системы счисления бывают: •непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от  ее позиции — положения в записи числа); •позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления Примеры: унарная, римская, древнерусская и др. Позиционные системы счисления Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых в этой системе. Вес разряда — отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному  эквиваленту той же цифры в нулевом разряде  pi = si,  где i — номер разряда, а s — основание системы счисления. Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий  перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части  имеют отрицательные номера:  Число:                        5 3 7 2 . 2 5 Номера разрядов:   3 2 1 0 . ­1 ­2

Перевод в десятичную систему счисления  По определению веса разряда pi = si,  где i — номер разряда, а s — основание системы счисления. Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде: x = ansn + an-1sn-1 + ... + a2s2 + a1s1 + a0s0 + a-1s-1 + ... Например, для системы счисления с основанием 4: 1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1  Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае: 1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1 =  = 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 = = 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5 Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:  пронумеровать разряды исходного числа;  записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;  выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

 Примеры:

Перевод из десятичной системы счисления Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную: 13024 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 = 114 Иначе это можно записать так: 114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024 Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно (1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры. В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:  Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.  Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке) Примеры:

Системы счисления с кратными основаниями При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.  Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=24) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.  Примеры: шестнадцатеричная -> двоичная A E 3 2 0011 1010 1110 двоичная -> шестнадцатеричная 1101 0111 0010 (00)10 1010 2 A 7 D

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=23) Примеры: восьмеричная -> двоичная     (0)10 2 3 011 5 2 101 010 двоичная -> восьмеричная 101 111 7 5 001 1 1 001 101 5

Арифметика Арифметические операции в позиционной системе с любым основанием производятся по одним и тем же правилам: сложение, вычитание и умножение «в столбик», а деление — «уголком». Рассмотрим пример выполнения действий сложения и вычитания в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Сложение Двоичная система: (перенос)   1 1   1 0 • 0 0   1     0 1 • 1 0 • 1 1 • 0 1       ) (номера разрядов 1 7 1 6 1 5 0 4 1 3 0 2 0 1 1 0 В нулевом разряде: 1 + 0 = 0 В первом разряде: 1 + 1 = 2. 2 переносится в старший (2-й) разряд, обращаясь в единицу переноса. В первом разряде остается 2 - 2 = 0. Во втором разряде: 0 + 1 + 1 (перенос) = 2; Переносим в старший разряд, В третьем разряде: 1 + 1 + 1 (перенос) = 3; В старший разряд переносим 2, здесь остается 3 - 2 = 1. Продолжая вычисления, получим: 100110112 + 10011102 = 111010012

Восьмеричная система • 3 4 4 4 4 0 3 • 2 4 7 2 •   6 3 1 1 •   1 5 6 10 (перено с)       (номера разрядо в) Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но в старший разряд переносим 8. Получаем: 342618 + 44358 = 407168

Шестнадцатеричная система: • 1 4 A 8 2 3 3 5 8 2   9 3 C 1   1 4 5 0 (перенос)       (номера разрядов) A39116 + 853416 = 128C516