1. Углы и

-  определения

-  угол между

-  пересечение

-  свойства

-  признаки

-  теорема

2.Геометрические З . Треугольник

-  определение,

-  признаки

-  признаки

-

-  медиана

-  биссектриса

-

-  средняя

-  серединный

-  площадь

-  вписанная

-  описанная

-  теоремы

-  прямоугольный

-

-  значения

-

-  признаки

-  равнобедренный

-  правильный

-  некоторые

4.   Параллелограмм

-       определение,

-       признаки - периметр,

-       квадрат,

-       ромб, его

-       прямоугольник,

5.   Трапеция . .

-       определение,

-       теорема о

-       свойства

-       площадь

-       равнобедренная

-       свойства

6.   Окружность...

-       отрезки в

-       длина

-       дуга - прямая и - круг .

-       площадь

-       утлы в

-       общие

7.   Многоугольники

-       определение,

-       теорема о

-       вписанная

-       описанная

-       правильный

-       формулы

-       соотношения окружности

Углом называется геометрическая фигура, образованная лучами, выходящими из одной точки (вершины).

Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой угла.

м

ла

7— hm,

Z ВАС,

АМ-биссектриса ц ВАМ=

Z САМ

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Градус- величина (градусная мера) угла,

1

равного          части развернутого угла.

180

/- ВАС-развёрнутый

ZBAC=1800

РаДиан-величина угла, градусная мера 180 О которого равна

Центральный угол в 1 радиан стягивает дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Центральный угол, стягивающий дугу длины

а а, равен ос радиан, отсюда а П.

дл. АВ

Дл.Ст]Э ос радиан

Угол, равный половине развернутого, называется прямым (90⁰).

Угол меньше прямого называется острым. Угол больше прямого, но меньше развернутого называется тупым.

BAD 90⁰ —прямой

САВ< 90⁰ -острый

н90 ZBAH< ^отупой

в

Смежные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Сумма смежных углов равна 180⁰

Угол, смежный с прямым, - прямой.

Z ВАС и 7—

Z ВАС + Z CAD=180⁰

Вертикальные углы

Два угла называются вертикаиьными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

в                 н

Z ВАС, Z НМ)-вертикальные

Z ВАН, Z ТС-вертикальные

Z ВАС- Z НО

Уагюм между двумя пересекающимися прямыми называется меньший из вертикальных углов, образовавшихся при пересечении ( 0 < сх < 90⁰ ). Прямые, образующие прямой угол, называются перпендикулярными.

Две прямые на плоскости называются параилельнылш, если они не пересекаются.

Два отрезка на плоскоссти называются парсилепными, если они лежат на параллельных прямых.

-9

в

При пересечении двух прямых третьей (секущей) образуются пары углов:

(1;2), (3;4), (5;6), (7;8) накрест лежащие,

(1$), (5;3), (4;6), (7;2) соответственные,

(1;3), (2;4), (5;8), (7;6) односторонние

с

апс

Накрест лежащие углы равны

( Z      2; Z      4; Z       6; Z7=z 8)

Соответственные углы равны

( Z3=z 5; Z              8;             ц 7; Z4=z 6)

Сумма односторонних углов равна 180 ⁰ .

- z 6+Z 7=180⁰).

а

Признаки параллельности прямых Если две различные прямые параилельны третьей, то они параллельны между собой (транзитивность параиельности).

Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180 ⁰, то прямые параллельны.

Сумма углов треугольника равна 180 ⁰

т И АС ,

Z 1+Z B+Z 2=180⁰

                             Z      А, Z2=z С,

                                                     ZA+ZB +                 180⁰ .

Если на одной из двух прямых отложены несколько равных отрезков и через их концы проведены параллельные прямые , пересекающие вторуко прямую, то и на ней отложатся равные отрезки. с,

Деление отрезка на равные части

В

                     С. СЮЗ                    =С4С5_

-произвольные равные отрез-

=М3М4 =М4В

« Расширенная » теорема Фаиеса: Если на одной из двух прямых отложены несколько отрезков и через их концы проведены параллель ные прямые, пересекающие вторую прямую, то на ней отложатся отрезки пропорциональные данным.

а

Clll C21l C311 C4+AlA2: А2Аз:А3А4

-BlB2 :  вз : вз В4

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая , проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Г.М. Т. , равноудаленных от двух данных точек , есть серединный перпендикуляр отрезка , соединяющего эти точки ( на нем лежат центры окружностей , проходящих через данные две точКИ).

с

Г.М. Т.- равноудаленных от сторон данного угла ( меньшего , чем развернутый ), есть биссектриса угла ( на ней лежат центры окружностей , касающихся сторон угла ).

Z АОС = Z ВОС ( Х ОС ) р(Х,ОА)-расстояние от точки прямой

Г.М. Т., равноудаленных от двух параллельных прямых, есть паршиельная ИМ прямая, проходящая через середину отрезка их общего перпендикуляра (на ней лежат центры окружностей, касающихся данных прямых ).

Г.М.Т, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть две взаимно перпендикулярные прямые, на которых лежат биссектрисы вертикальных углов, образовавшихся при пересечении данных прямых ( на них лежат центры окружностей, касающихся данных прямых ).

п

т

или Хе п )

Г.М,Т.,удаленных на данное расстояние от точки, есть окружность с центром в данной точке.

х

Г.М.Т., удаленных на данное расстояние от прямой , есть две параиельные ей прямые

х

Ь а        р(У,а )=m с

Множество вершин прямоугольных треугольников с данной гипотенузой есть окружность , построенная на гипотенузе как на диаметре (исключая концы гипотенузы).

                       х          ZAXB =90 ⁰

Неравенство треугольника

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

с

      в              а

ZBAM=ZB +ZC

а — Ь < с < а + Ь , где а, Ь, с длины сторон треугольника, причем а > Ь.

Определение: Внешним углом треугольника называется угол смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника разен сумме двух внутренних , не смежных с ним углов.

а² + b² > с2

2

а² + b² <C2

а остроугольный

а прямоугольный

тупоугольный

По двум сторонам и углу между ними (С У С )

По стороне и двум прилежа- щим к ней углам ( У СУ)

По трем сторонам ( С С С )

с

6,

с,

                  Ь АВС             ВТ

с

6,

Д АВС =дА1

Если               АВ

                         ВС           Ф,

АС =АIС1, то

д АВС

Соответствующие элементы равных треугольников равны.

                                 Признаки        подобия треугольников

По двум углам ( УУ )

По двуым пропорциональнм сторонам и углу между ними сп У сп

По трем пропорциональным сторонам ( Сп Сп Сп )

в,

с,

Если        о = д, то

д АВС -дА1 В.

АС             вс Если вст zcl , то д АВС -дАВIС1

ь,

с,

              АС          вс         АС

Если

то дАВС дАIВIС1

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник , подобный дан-

НОМУ.

Соответсвующие линейные элементы подобных треугольников пропорциональны сходственным сторонам.

Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны.

ПлощаДи подобных треугольников относятся как кзаДраты схоДстзенных сторон.

в

РС) АС            АВС PBQ

АВ АС ВС

РВ PQ Во

-кооффициент подобия

с

S(ABC)

S(PBQ)

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треуголь ников.

                 мл: мл вм:      =см: МС]

с

2 а                       4

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке- центре вписанной в треугольник окружности.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

в

с

АС Агв АВ

ВЫСОТА

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия параиельна третьей стороне и равна её половине.

 — АВ

Серединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая ее пополам.

Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке-центре описанной около треугольника окружности

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника совпадает с точкой пересечения высот треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

PL, PQ, QC - средние линии АВС

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

1

—chc

2

1                                                                1

       — ab sin С — — ас sin В — bc sin А

2                                                                2

—с) - формула Герона

1

Р — (а + Ь + с)- полупериметр

2

S=rp

r — радиус вписанной окружности

R — радиус описанной окружности abc

4R

Х—— 2R² sin А sin В sin С

в

                                         в                             с

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

-и-

Свойства прямоугольного треугольника

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника , равна половине гипотенузы.

Только в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на стороне треугольника (совпадает с серединой гипотенузы).

Площадь прямоугольного треугольника

                     1                  1

                      — ab;                    ch;

                            2                        2

h- высота, проведенная к гипотенузе

в

а

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

sin а

а ос —                   ,

с

в

а

cos ос      ; tg ос      • ctg ос —

а

sin р sin (90⁰- ос)                 cos ос

а

cos р — cos (90⁰- ос)           sin ос

с

tgp tg (90 ⁰- ос)        —ctg ос а

а

ctg р ctg (90⁰- ос)         = tg ос

в

Катет прямоугольного треуГОЛЬНшш, лежащий против угла 30 ⁰ , равен половине гипотенузы.

 АВ

  в                    с

—АС

2

                                           27           57                  77 57 47 Зг 5т 77 1117

(рад) 0 6               4       з       2       з        4        6      п         6        4        з        2        з        4              е 27

ас )

О ЗО 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 зоо 315 330 360

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

с

1 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла , есть

среднее пропорционшљное( ши среднее геометрическое ) между отрезками,на которые Делится гипотенуза этой высотой.

      Ь             h               а

ст

Высота прямоугольного треугольника есть

с

среднее пропорциональное между проекци — ями катетов на гипотенузу.

2.Катет прямоугольного треугольника есть

сс -BCl.ClA или Со-

         h² —al bl         или h

в

среднее пропорционсиьное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заютюченным между катетом и высотой, проведенной из

ВС² = ВС] „АВ или           -

вершины прямого угла.

а = тс или а —

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотену-

АС² АСС АВ или АС —

АССАВ

зой и проекцией этого катета на гипотенузу.

²

Признаки прямоугольных треугольников.

• Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

о Если медиана треугольника равна половине соответствующей ей стороне , то треугольник является прямоугольным.

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонние, равнобедренные, равносторонние; а также по углам: остроугольные, тупоугольные, прямоугольные.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

Все эти свойства равнобедренного треугольника обратимы и могут быть использованы для получения признаков равнобедренного треугольника.

• lLf—

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Правильным (равносторонним) называется треугольник, все стороны которого равны.

Некоторые соотношения площадей треугольников

Признаки параллелограмма,

Если в      две противоположные стороны равны и параллельны , то это параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны , то это параллелограмм.

Если в четырехугольнике Диагонали, пересекаясь, Делятся пополам, то это параллелограмм.

Квадрат

КваДратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

КваДратом называется ромб с прямыми углами.

КваДрат — правильный четырехугольник.

КваДрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Признаки ромба

•           Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.

•           Если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе угла, то это ромб.

•           Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Признаки прямоугольника

•           Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. о Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник. • Если в четырехугольнике три угла прямые, то это прямоугольник.

Свойства прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.

Около прямоугольника можно описать окружность.

Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Площадь прямоугольника

а

     Ь                                                     АС BD d

2

1

        S =ab                     — — d² sin

2

5. ТРАПЕЦИЯ

Трапецией называется четырехугольник, две не па аллельны.

стороны которого параллельны, а две другие

Элементы трапеции

ВС и АГ) - верхнее и нижнее основания,

АВ и CD - боковые стороны,

АС и BD — диагонали,

MN — средняя линия,

Высота трапеции ВВ] — расстояние между прямыми оснований.

       в             с          в        с

Теорема о четырех точках трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений 60ковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда , когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

ВС + + СГ)

Свойства треугольников в трапеции

д ВОС -aDOA

    во       СО

   OD       ОА

S АОВ S

            в        а        с

D

Площадь трапеции

S = h.MN= —h (ВС + О) =   х

х sin Z (АС, В»

MN — средняя линия трапеции.

— высота

ВС и AD — основания

АС и BD - диагонали трапеции

Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей

2аЬ

Равнобедренная трапеция

Равнобокой (равнобедренной) называется трапеция с равными боковыми сторонами.

Свойства равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны

Углы при одном основании равнобедренной — трапеции равны.

Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность; она совпадает с окружностью, описанной около любого треуголышка с вершинами в вершинах трапеции. Её центр лежит на серединном перпендикуляре к основаниям трапеции.

Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне.

            в                с

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии.

                          с     

- 20-

6. ОКРУЖНОСТЬ

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки (центра окружности)

Отрезки в окружности

Для любой точки М окружности с центром О выполняется равенство : ОМ R (отрезок ОМ- радиус окружности).

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, прходящая через центр окружности, называется Диаметром окружности Р).

D=2R

Длина окружности

C=2TR

Дуга окружности

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками, называется дугой.

Две любые точки М и окружности определяют на ней две дуги : MkN и МЛ. Любую из этих дуг стягивает хорда MN.

Равные дуги стягиваются равными хордами.

Длина дуги

АСВ Ra, где ос -величина угла АОВ в радианах;

тр

ACB=R  , где р- величина угла АОВ в 180 градусах.

К

м

Диаметр, перпенДикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополаим, то он ей перпендикулярен

м

Если две хорды АВ и CD имеют общую точку, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды.

с в

АМ МВ = СМ МБ

D

—21-

Прямая, имеюшая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности; Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Если расстояние ОМ от центра окружности до прямой больше раДиуса —прямая не имеет с окружностью общих точек; равно раДиусу —прямая касается окружности; меньше радиуса — окружность высекает на прямой хорду длиной 2• R² — ОМ²

         OM>R         OM=R        

Если окружность касается сторон данного угла:

центр окружности лежит на биссектрисе угла, а отрезки касательных равны между собой.

Свойство хорд, секущей и касательных

Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то кваДрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю чпсть.

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны.

х

=OA2-R2

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Для всех точек круга выполняется неравенство: 0NSR

Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, называется сектором круга. Любые два радиуса задают два сектора.

Часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой, называется сегментом. Любая хорда делит круг на два сегмента.

Сегмент, задаваемый диаметром, называется полукругом.

Площадь круга

2

     S =7tR                   —RC

                       4           2

С - длина окружности

D 2R —диаметр

С 27tR

Площадь сектора

1           2 тр ^о

2           1800

S —R²a

2

( ос - радиан равно

180

сектор

сектор

Площадь сегмента

²

S —R(oc - sin ос ),

- радианная мера дуги

АтВ или АпВ (соответственно для сегментов АтВ или

п

Мсегм АтВ) Чсект АтВ) — S(AOB)

АпВ) =Ясект АпВ) +

+ S(AOB)

Углы в окружности

Центрсиьным углом в окружности называется угол между двумя её радиусами.

Центральный угол измеряется дугой, на которуко он опирается.

Z АОВ в

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным уаиом.

Вписанный угол измеряется половиной дуги,

на которую он опирается.

Вписнный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

м

вс

1

       ПАС Z ВРС = — вмс ,             Z ВАС 90⁰

2

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду , либо равны, либо их сумма 180⁰

Z ВРС - Z ВАС

Z ВАС + ОТС =180⁰

т

-25-

Угол между касательными измеряется полуразностью образованных им дуг.

в

(vAmC- иАпС)

Угол между хордой и касательной измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

в

с

Z АВС - ы ВтС

2

Угол между двумя хорДаии АЕ и CD измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается.

п

с

Z АВС- —(vAmC +vEnD)

Угол между двумя секущими измеряется полуразностью заключенных между ними дуг:

 в

ZABC — - — (иАтС -vDnE)

Угол между касательной и секущей измеряется полуразностью отсекаемых дуг, прилежащих к касательной.

в

Z АВС = — (vAmC -vAnD)

— 24 —

Общие касательные двух окружностей

Если одна окружность лежит вне другой, то у них четыре общие касательные( две внешние и две внутренние )

Две внутренние касательные

Если одна окружность касается другой снаружи, то у них три общие касательные (одна внутренняя и две внешние)

одна внутренняя касательная

Если одна окружность касается другой изнутри, то то у них одна общая касательная

одна общая касательная

Если окружности пересекаются, то у них две общие касательные(две внешние касательные, внутренних касательных нет)

Две внешние касательные

Если одна окружность лежит внутри другой то общих касательных нет.

общих касательных нет

-25-

7. МНОГОУГОЛЬНИКИ.

Многоугольник- это простая замкнутая лома-

Многоугольник-часть плоскости, ограниченная простой замкнутой линией.

Звенья ломаной-стороны, вершины ломанойвершины многоугольника.

Многоугольник с п сторонами называется п-угольником

Периметр многоугольника- сумма длин всех сторон

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую его сторону

Углы (внутренние) выпуклого многоугольника -это углы, образованные соседними сторонами Число углов многоугольника равно числу сторон и числу вершин.

Сумма внутренних углов выпукиого многоуголышка равна (п— 2)180 ⁰ или (п — 2) л

D

АВСГ)Е - пятиугольник

AB+BC+CD+DE

АВСТЗ

               выпуклый                      невыпуклый

ZA, ЕВ, ZC, О, ZE-углы многоугольника

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех её сторон.

Её центр должен принадлежать всем биссектрисам внутренних внутренних углов этого многоугольника.

Её радиусом является перпендикуляр, опущенный из центра на любую из сторон многоуугольника. Радиус можно вычислить по формуле — , где S - площадь, р — полупериметр многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

с

В выпукиый четырехугольник можно вписать окружность, тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

АВ + CD ВС +AD

Описанная окружность

Правильным МНОГОУГОЛЬНИКОМ называется выпуњтый МНОГОУГОЛЬНИК, у которого все углы равны и все стороны равны.

Сумма всех углов такого п- угольника равна ( п- 2 ) 180⁰ , причем все его углы

равны, поэтому      осп =      1800

-23-