Технологические карты уроков по геометрии для 7 класса( Л. С. Атанасян и др.)

Цель деятельности учителя

Создать условия для систематизации знаний о взаимном расположении точек и прямых, ознакомления учащихся со свойством прямой (через любые две точки можно провести прямую и притом только одну), рассмотрения приема практического проведения прямых на плоскости (провешивание)

Термины и понятия

Отрезок, прямая, точка, плоскость

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: владеют первоначальными сведениями об идеях и о методах математики как универсального языка науки и техники, о средствах моделирования явлений и процессов.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. М.: Просвещение, 2014^*.

•  Задания для фронтальной и самостоятельной работы.

•  Сведения из истории возникновения и развития науки геометрии

I этап. Вводная беседа

Цель деятельности

Совместная деятельность

Познакомить с предметом «геометрия»

(Ф/И)

Учитель рассказывает о науке «геометрия»; учащиеся слушают, задают уточняющие вопросы (см. Ресурсный материал)

II этап. Учебно-познавательная деятельность. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести основные понятия геометрии и основную символику

(Ф/И)

К доске для выполнения заданий вызывается по одному учащемуся, остальные работают в тетрадях. Учитель читает задание и по мере необходимости вводит новые понятия, символы, делает необходимые записи на доске.

1) Начертите прямую. Как ее можно обозначить? (Прямая а или АВ.)

Рис. 1

2) Отметьте точку С, не лежащую на данной прямой, и точки D, Е, K, лежащие на прямой.

Рис. 2

– В математике существуют специальные символы, позволяющие кратко записать какое-либо утверждение. Символы Î и Ï означают соответственно «принадлежит» и «не принадлежит» и называются символами принадлежности.

3) Используя символы принадлежности, запишите предложение «Точка D принадлежит прямой АВ, а точка С не принадлежит прямой а». (D Î АВ, С Ï а.)

4) Используя рисунок и символы Î и Ï, запишите, какие точки принадлежат прямой b, а какие – нет. (F, В, А, С Î b; K, Е, N Ï b.)

Рис. 3

– Сколько прямых можно провести через заданную точку А? (Через заданную точку А можно провести множество прямых.)

– Сколько прямых можно провести через две точки? (Одну прямую.)

– Через любые две точки можно провести прямую? (Да.)

– Итак, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Это утверждение назовем свойством прямой.

5) Начертите прямые XY и МK, пересекающиеся в точке О.

Рис. 4

– Для того чтобы кратко записать, что прямые ХY и МK пересекаются в точке О, используют символ Ç и записывают так: XYÇМK = О.

– Сколько общих точек может быть у двух прямых? (Две прямые могут иметь или одну общую точку, или ни одной общей точки.)

6) На прямой а отметьте последовательно точки А, В, С, D. Запишите все получившиеся отрезки. (Получились отрезки АВ, ВС, CD, AC, AD, BD.)

Рис. 5

III этап. Выполнение практических заданий

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить уровень
сформированности
практических навыков учащихся

(Ф/И)

1. Выполнение практических заданий № 2, 3 на с. 7 учебника.

2. Вопросы к учащимся:

– Могут ли прямые ОА и АВ быть различными, если точка О лежит на прямой АВ? (Прямые ОА и АВ не могут быть различными, так как обе они проходят через точки А и О, а через две точки проходит только одна прямая.)

– Даны две прямые а и b, пересекающиеся в точке С, и точка D, отличная от точки С и лежащая на прямой а. Может ли точка D лежать на прямой b? (Точка D не может лежать на прямой b, так как две прямые не могут иметь двух общих точек.)

3. Введение понятия отрезка (используется рис. 7 учебника).

4. Самостоятельное выполнение учащимися задания № 5.

5. Изложение материала п. 2 «Провешивание прямой на местности» в виде беседы (по рис. 8 и 9 учебника)

IV этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить уровень сформированности теоретических знаний и практических умений учащихся

(И)

Самостоятельная работа проводится в форме диктанта на листках и сдается на проверку учителю.

1. Начертите прямую и обозначьте ее буквой b.

1) Отметьте точку М, лежащую на прямой b.

2) Отметьте точку D, не лежащую на прямой b.

3) Используя символы Î и Ï, запишите предложение: «Точка М лежит на прямой b, а точка D не лежит
на ней».

2. Начертите прямые а и b, пересекающиеся в точке K. На прямой а отметьте точку С, отличную от точки K.

1) Являются ли прямые KС и а различными прямыми? Ответ обоснуйте.

2) Может ли прямая b проходить через точку С? Ответ обоснуйте.

3*. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте соответствующие рисунки.

4*. На плоскости даны три точки. Сколько прямых можно провести через эти точки так, чтобы на каждой прямой лежали хотя бы две из данных точек? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте рисунки

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что изучает предмет «геометрия»?

– Когда он появился?

– Зачем он нужен?

(И)

Домашнее задание: пункты 1, 2; ответить на вопросы 1–6 на с. 25 учебника; практические задания № 4, 6, 7

Цель деятельности учителя

Создать условия для актуализации знаний учащихся о том, что такое луч и угол, введения на наглядном уровне понятий внутренней и внешней областей неразвернутого угла, ознакомления с различными обозначениями лучей и углов

Термины и понятия

Отрезок, прямая, точка, плоскость, луч, угол, внутренняя область угла, внешняя область угла

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: владеют первоначальными сведениями об идеях и о методах математики как универсального языка науки и техники, о средствах моделирования явлений и процессов.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для фронтальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать
теоретические знания учащихся по предыдущей теме

(Ф/И)

1. Проверить правильность выполнения домашнего задания.

Для этого к доске вызвать двоих учащихся, которые представляют свои решения.

2. Сообщить итоги математического диктанта

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятия угла
и луча

(Ф/И)

1. Введение понятия луча (использовать рис. 11 учебника).

2. Обозначение луча (рис. 12 а и б).

3. Выполнение практических заданий:

1) Проведите прямую а.

а) Отметьте на ней точки А, В и С так, чтобы точка А лежала между точками В и С.

б) Назовите лучи, исходящие из точки А.

в) Отметьте на луче АВ точку D.

2) Укажите все лучи, изображенные на рисунке:

а) исходящие из точек М и D;

б) составляющие вместе с их общим началом одну прямую.

4. Самостоятельное выполнение практического задания № 8.

5. Объяснение темы «Угол».

1) На модели показывается, из каких элементов состоит данная фигура.

2) Дается определение угла.

3) Вводятся различные способы обозначения угла.

4) Вводятся понятия развернутого и неразвернутого угла (рис. 15 а и б)

III этап. Решение задач

Деятельность учителя

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения задач

(Ф/И)

1. Выполнение практических заданий № 9, 10 и 11 на доске и в тетрадях.

2. Выполнение заданий:

1) Начертить неразвернутый угол hk, заштриховать его внутреннюю область, провести луч l, исходящий
из вершины и проходящий внутри этого угла, то есть луч, разделяющий угол hkна два угла: hlиlk. (Работа
по рис. 16а.)

Учащиеся делают вывод, что если угол hk развернутый, то любой луч, исходящий из его вершины и не совпадающий с лучами h и k, также делит этот угол на два угла (рис. 16б).

2) Выполнить практическое задание № 14.

3) Устно решить задания № 15, 16 (по рис. 17) и задание № 17 (по рис. 18)

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какая геометрическая фигура называется углом?

– Из каких элементов он состоит?

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: изучить пункты 3, 4 из § 2; ответить на вопросы 4–6 на с. 25 учебника; выполнить практические задания № 12–13

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения одного из важнейших геометрических понятий – понятия равенства фигур, в частности равенства отрезков и углов; для обучения учащихся сравнению отрезков и углов, введения понятий середины отрезка и биссектрисы угла

Термины и понятия

Отрезок, прямая, точка, плоскость, луч, угол, биссектриса угла, середина отрезка

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: владеют первоначальными сведениями об идеях и о методах математики как универсального языка науки и техники, о средствах моделирования явлений и процессов.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация опорных знаний. Вводное повторение

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать теоретический материал

(Ф) Вопросы к учащимся:

1) Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.

2) Что такое планиметрия?

3) Как можно обозначить прямую?

4) Что называется отрезком?

5) Сколько общих точек могут иметь две прямые?

6) Сколько прямых можно провести через любые две точки плоскости?

7) Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

8) Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.

9) Какой угол называется развернутым?

10) Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку?
(Двенадцать углов.)

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие биссектрисы угла

(Ф) Введение понятия равенства фигур.

Вывод: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

1) Сравнение фигур.

– Задача сравнения фигур (их форм и размеров) является одной из основных в геометрии. На практике сравнить наложением две небольшие плоские фигуры вполне возможно, а вот два очень больших стекла, а тем более два земельных участка практически невозможно. Это приводит к выводу о необходимости определенных правил сравнения двух фигур, позволяющих сравнить некоторые их размеры и по результатам этого сравнения сделать вывод о равенстве или неравенстве данных фигур. (Можно предложить учащимся сравнить некоторые фигуры наложением кальки.)

2) Работа по рис. 20 учебника. Запись в тетрадях: ВK = DМ (равные отрезки); АС <АВ.

3) Введение понятия середины отрезка (рис. 21).

4) Решение задач № 19 и 20 (по рис. 25).

5) Работа по рис. 22 и 23 учебника.

6) Выполнение задания № 21 на доске и в тетрадях.

7) Введение понятия биссектрисы угла (рис. 24).

8) Решение задачи № 22 (устно)

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать
навыки решения задач

(Ф/И)

1. Самостоятельная работа в форме диктанта.

1) На луче h с началом в точке О отложите отрезки ОА и ОВ так, чтобы точка А лежала между точками О и В. Сравните отрезки ОА и ОВ и запишите результат сравнения.

2) Начертите неразвернутый угол АВС и проведите произвольный луч ВD, делящий этот угол на два угла. Сравните углы АВС и АВD, АВС и DВС и запишите результаты сравнения.

2. Решение задач.

№ 1.

На прямой а от точки А отложены два отрезка АВ и АС, причем АВ<АС< 1,99АВ. Сравните отрезки ВС и АВ
(рис. 1а).
АС < 1,99АВ, АС < АВ +0,99АВ, тогда ВС < 0,99АВ, следовательно, ВС <АВ; (рис. 1б) АВ – частьВС, поэтому ВС < АВ.

а)                          Рис. 1                          б)

№ 2.

ÐAOC = ÐBOD, ОМ и ON – биссектрисы углов АОВ и COD. Сравните углы MON и АОС.

(ÐAOB = ÐCOD, так как ÐAOC = ÐBOD, a ÐВОС – общая часть углов АОС и BOD. Так как ОМ и ON –
биссектрисы углов АОВ и COD(по усл.), следовательно,ÐАОМ = ÐМОВ = ÐCON = ÐNOD.

ÐAOC = ÐАОМ + ÐМОВ + ÐВОС, ÐMON = ÐМОВ + ÐВОС + ÐCONÞÐMON = ÐAOC.)

Рис. 2

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какие фигуры называются равными?

– Что такое биссектриса угла?

– Задайте три вопроса по теме

(И) Домашнее задание: изучить пункты 5 и 6 из § 3; ответить на вопросы 7–11
на с. 25; решить задачи № 18 и 23

Цель деятельности учителя

Создать условия для ознакомления учащихся с процедурой измерения отрезков, введения понятия длины отрезка и рассмотрения свойств длин отрезков, ознакомления с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков

Термины и понятия

Отрезок, прямая, точка, середина отрезка

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: владеют первоначальными сведениями об идеях и о методах математики как универсального языка науки и техники, о средствах моделирования явлений и процессов.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: имеют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для фронтальной и самостоятельной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Проверить правильность решения домашней работы. Для этого вызвать к доске троих учащихся

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Способствовать изучению новой темы, используя текст
учебника

(Ф/И)

Учащимся предлагается прочитать самостоятельно § 4 «Измерение отрезков» и ответить на вопросы,записанные на доске.

– Какие основные единицы измерения длины нам известны? А дополнительные? (Основные единицы измерения длины отрезка: мм, см, дм, м, км; дополнительные единицы измерения длины отрезка: световой год
(путь, который проходит свет в течение одного года), морская миля (1,852 км); старинные единицы измерения длины: аршин (0,7112 м), сажень (2,1336 м), косая сажень (2,48 м), маховая сажень (1,76 м), локоть
(0,45 м) и другие.)

– Как найти длину отрезка, если точка делит его на два отрезка, длины которых известны? (Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.)

– Какими инструментами пользуются для измерения расстояний? (Для измерения расстояний используются масштабная миллиметровая линейка, штангенциркуль, рулетка.)

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

(Ф/И) Учитель показывает оформление решения задачи на доске, объясняя, как из условия задачи выделить, что дано и что требуется найти или доказать.

1. Решить задачу № 32 (письменно; один ученик у доски, остальные – в тетрадях).

2. Решить задачи № 30, 31 (б) на доске и в тетрадях.

3. Выполнить задания и сделать необходимые краткие записи на доске и в тетрадях.

1) Дан луч h с началом в точке О; ВÎh, АÎh; точка В лежит между точками О и А.

а) Какой из отрезков: ОВ или ОА – имеет бо́льшую длину?

б) Найдите АВ, если ОА = 72 см, ОВ = 4,2 дм.

2) Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. С помощью масштабной линейки и циркуля отметьте на прямой а точку D, удаленную от точки А на расстояние 3 см. (Выяснить вместе с учащимися, что задача может иметь одно или два решения, а может и не иметь решений.)

4. Решить задачу № 29 учебника.

5. Выполнить задание.

Начертите отрезок СD, равный 5 см. С помощью масштабной линейки отметьте на прямой СD точку В, такую, что СВ = 2 см.

а) Сколько таких точек можно отметить на прямой СD?

б) Какова длина отрезка ВD? Рассмотрите все возможные случаи

(И)

№ 32.

Дано: А, В, СÏа, АВ = 12 см, ВС = 13,5 см.

Найти: АС.

Решение:

На прямой а отметим точки А, В, С.

Возможны случаи:

а) Точка В лежит между точками А и С, тогда
АС = АВ + ВС, АС = 12 см + 13,5 см = 25,5 см.

б) Точка А лежит между точками В и С, тогда
АС = СВ – АВ, АС = 13,5 см – 12 см = 1,5 см.

в) Точка С не может лежать между точками А и В, так как АВ<ВС.

а)                                                б)

Ответ: 25,5 см или 1,5 см

IV этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень сформированности теоретических знаний и практических навыков

(И) Решить задачи № 28, 27, 31, 34 из учебника.

Дополнительные задачи для тех, кто справился с работой.

№ 1.

Длина отрезка АВ равна 14 см. Найдите на прямой все такие точки D, для которых DA = 3DB.

Ответ: если DÎАВ, то AD = 10,5 см, DB = 3,5 см; если ВÎАD, то DB = 7 см, AD = 21 см.

№ 2.

Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем длина отрезка ВС больше длины отрезка АС в 3 раза, а длина АВ меньше длины ВС на 3,6 см. Найдите длину отрезка АС.

Ответ: АС = 3,6 см

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Как измерить отрезки и сравнить их?

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: изучить пункты 7, 8 из § 4; ответить на вопросы 12 и 13, с. 25; решить задачи № 24, 25, 28, 33, 36 (решение задачи приведено в учебнике)

Цели деятельности
учителя

Создать условия для обучения учащихся решению задач на нахождение длины части отрезка или всего отрезка; способствовать развитию логического мышления

Термины и понятия

Отрезок, прямая, точка, середина отрезка

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: имеют первоначальные сведения об идеях и о методах математики как универсального языка науки и техники, о средствах моделирования явлений и процессов.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Чертежи к задачам.

•  Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Проверить правильность выполнения домашнего задания

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать
навыки решения задач

(Ф/И)

1. Решить задачи по рисункам (устно;рисунки подготовлены на доске заранее).

а) Дано: ВС = 2,5 см.            б) Дано: AD = 42 см, ВС = 11 см.               в) Дано: АВ : АС = 4 : 5; АС = 12,5 дм.

    Найти: АС.                       Найти: АВ.                                       Найти: АВ.

              Рис. 1                                       Рис. 2                                                                         Рис. 3

Ответ: АС = 5 см.              Ответ: АВ = 20 см.                                   Ответ: АВ = 10 дм.

2. Решить задачи № 38, 40 (письменно).

№ 38.

Дано: О, А, В лежат на одной прямой, ОА = 12 см, ОВ = 9 см.

Найти: расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ.

Решение:

Пусть М – середина отрезка ОА, N – середина отрезка ОВ.

Возможны два случая:

а)                        Рис. 4                        б)

а) Если точка О лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NО = ВО : 2 = 4,5 см. Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ равно длине отрезка MN, a MN = МО + ON = 6 см + 4,5 см = 10,5 см.

б) Если точка О не лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NО = ВО : 2 = 4,5 см, MN = МО – ON =
= 6 см – 4,5 см = 1,5 см.

Ответ: а) 10,5 см; б) 1,5 см.

№ 40 (предложить учащимся решить самостоятельно, а затем проверить решение задачи).

Дано: АВ = 28 см; С, DÎАВ; М – середина AC; N – середина DB; MN = 16 см.

Найти: CD.

Рис. 5

Решение:

АВ = AM + MN + NB; АМ + NB = AB – MN = 28 см – 16 см = 12 см. М – середина АС, значит, АМ = MС;
N – середина BD, значит, BN = ND.

Так как АМ + NB = 12 см, АМ = МС, BN = ND, то MC + DN = 12 см. MN = МС + CD + DN = 16 см,
МС + DN = 12 см, значит, CD = MN – (MC + DN) = 16 см – 12 см = 4 см.

Ответ: 4 см

III этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень
сформированности знаний учащихся

(И) Работа выполняется на листочках и сдается на проверку учителю.

Вариант I

1. На отрезке АВ взяты точки С и D. Найдите длину отрезка CD, если АВ = 12 см, АС = 3 см, BD = 4 см.

2. На отрезке АВ длиной 36 см взята точка K. Найдите длину отрезков АK и ВK, если АK больше ВK на 4 см.

3. На прямой отмечены точки А, В, С так, что АВ = 27 м, АС = 11 м, ВС = 16 м. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Вариант II

1. На отрезке АВ взята точка С, а на отрезке СВ – точка D. Найдите длину отрезка BD, если АВ = 15 см,
CD = 7 см, АС = 6 см.

2. На отрезке АВ длиной 36 см взята точка K. Найдите длину отрезков АK и ВK, если АK больше ВK в 3 раза.

3. На прямой отмечены точки А, В, С так, что АВ = 7 м, АС = 21 м, ВС = 28 м. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу на уроке.

– Какие задания вызвали у вас наибольшие затруднения?

(И) Домашнее задание: решить задачи № 35, 37, 39

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятия градусной меры угла и рассмотрения свойств градусных мер углов, введения понятий острого, прямого и тупого углов, ознакомления учащихся с приборами для измерения углов на местности

Термины и понятия

Градус, минута, секунда, угол

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: выдвигают гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); коллективная (К)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной и фронтальной работы.

•  Вопросы для викторины

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Систематизировать
теоретические знания

(Ф/И)

1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.

2. Самостоятельная работа на 10 минут с взаимопроверкой.

Вариант I

1. На прямой b отмечены точки С, D и Е так, что СD = 6 см, DЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ?

Ответ: СЕ = 14 см или СЕ = 2 см.

2. Точка М – середина отрезка АВ; МВ = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ в миллиметрах.

Вариант II

1. На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

Ответ: ВС = 20 см или ВС = 4 см.

2. Точка Р – середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм

II этап. Изучение нового материала. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятия единиц измерения углов
(градус, минута,
секунда)

(Ф/К)

1. Понятия градуса, градусной меры угла, развернутого и прямого углов были введены еще в 5 классе.
Возможно, учащиеся знакомы также с острыми и тупыми углами. Поэтому можно предложить ученикам викторину, а в случае затруднения ответы на вопросы викторины порекомендовать найти в пункте 9 и записать их
в тетрадях.

Викторина:

1) Единица измерения углов. (Градус.)

2) Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле. (Градусная мера угла.)

3)  часть развернутого угла. (Градус.)

4)  часть градуса. (Минута.)

5)  часть минуты. (Секунда.)

6) Градусная мера развернутого угла. (180°.)

7) Градусная мера прямого угла. (90°.)

8) Градусная мера неразвернутого угла. (Меньше 180°.)

9) Угол, градусная мера которого меньше 90°. (Острый.)

10) Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°. (Тупой.)

После того, как проверены ответы на вопросы викторины, можно перейти к рассмотрению свойств:

•  Равные углы имеют равные градусные меры.

•  Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

•  Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов (рис. 34 учебника на с. 19).

2. Выполнение практических заданий № 41, 42, 43.

3. Решение задач № 45, 46 (устно).

4. Введение понятий прямого, острого и тупого углов с помощью рис. 35.

5. Решение задач № 51 (по рис. 38), 52 (по рис. 39) и 53 (устно)

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать
навыки решения задач

(Ф/И) Организует деятельность учащихся.

1. Решить задачи № 47 и 48. Решение записывается на доске и в тетрадях (объясняет учитель).

2. Решить задачи обучающего характера на доске и в тетрадях (учащиеся с помощью учителя делают на доске чертеж, записывают, что дано и что нужно найти, учатся оформлять решение задачи):

1) Луч ВD делит развернутый угол АВС на два угла, разность градусных мер которых равна 46°. Найдите образовавшиеся углы.

2) Луч СК делит прямой угол ВСМ на два угла, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите образовавшиеся углы.

3) Луч DО делит прямой угол АDВ на два угла, градусные меры которых относятся как 5 : 4. Найдите угол между лучом DО и биссектрисой угла АDВ

№ 47.

Дано:ÐАОВ.

а) ÐАОЕ = 44°, ÐЕОВ = 77°.

б) ÐАОЕ = 12°37¢, ÐЕОВ = 108°25¢.

Найти:ÐАОВ.

Рис. 1

Решение:

а) ÐАОВ = ÐАОЕ + ÐЕОВ(свойство измерения углов).

ÐАОВ = 44° + 77°

ÐАОВ = 121°

б) ÐАОВ = ÐАОЕ + ÐЕОВ

ÐАОВ = 12°37¢ + 108°25¢

ÐАОВ = 120°62¢ = 121°02¢, так как 60¢ = 1°.

Ответ: а) 121°; б) 121°02¢.

№ 48.

Дано:ÐАОВ = 78°,

ÐАОС меньше ÐВОС на 18°.

Найти:ÐСОВ.

Рис. 2

Решение:

Примем ÐАОС = х, следовательно, ÐСОВ = х + 18.

Так как ÐАОВ = ÐАОС + ÐСОВ, то:

78 = х + х + 18

78 = 2х + 18

2х = 60

ÐАОС = 30°, ÐСОВ = 48°.

Ответ: 48°

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Составьте четверостишие с использованием слов «угол», «биссектриса», «градус», «развернутый угол», «прямой угол»

(И) Домашнее задание: изучить пункты 9 и 10 (самостоятельно); ответить на вопросы 14–16 на с. 25–26; выполнить практическое задание № 44; решить задачи № 49, 50, 52

Цель деятельности
учителя

Создать условия для введения понятий смежных и вертикальных углов, рассмотрения их свойств, введения понятия перпендикулярных прямых и демонстрации применения этих понятий при решении задач

Термины и понятия

Угол, смежные углы, вертикальные углы, перпендикулярные прямые

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: выдвигают гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); парная (П)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Систематизировать
теоретические знания

(И) Самостоятельная тестовая работа с последующей самопроверкой (см. Ресурсный материал)

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятия смежных углов, вертикальных углов и перпендикулярных прямых

(Ф)

1. Ввести понятие смежных углов и ознакомить учащихся с их свойством: сумма смежных углов равна 180°.

2. Выполнить практическое задание № 55 (на доске и в тетрадях).

3. Решить задачи № 58, 59, 60, 63, 62 (по рис. 46 на с. 24) (устно).

4. Решить задачу № 61 (в, г) (письменно).

Решение записывает на доске учитель.

5. Понятие вертикальных углов можно ввести во время выполнения следующего задания:

– Начертите неразвернутый ÐАОВ и назовите лучи, являющиеся сторонами этого угла.

– Проведите луч ОС, являющийся продолжением луча ОА, и луч ОD, являющийся продолжением луча ОВ.

– Запишите в тетради: углы АОВ и СОD называются вертикальными.

6. Дать определение вертикальных углов (рис. 41 на с. 22).

7. Обоснование того факта, что вертикальные углы равны, вначале можно провести на конкретном примере, который фиксируется на доске и в тетрадях учащихся.

Доказательство:

ÐМОK + ÐDOM = 180°, так как ÐМОK и ÐDOM смежные и их сумма равна 180°, отсюда ÐМOK =
= 180° – ÐDOM.

ÐCOD + ÐDOM = 180°, так как ÐCOD и ÐDОM смежные и их сумма равна 180°, отсюда ÐCOD =
= 180° – ÐDOM.

Рис. 1

Получили, что ÐМОK = 180° – ÐDОM и ÐCOD = 180° – ÐDOM, значит, ÐMOK = ÐCOD, а это вертикальные углы. Итак, вертикальные углы равны.

8. Решить задачу № 65 (устно).

9. Решить задачу № 67 по рис. 47 на с. 25 (устно).

10. Ввести понятие перпендикулярных прямых (рис. 42 на с. 22).

11. Учащиеся самостоятельно, используя свойства вертикальных и смежных углов, должны обосновать тот факт, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то остальные углы также прямые.

12. Выполнить практическое задание № 57.

13. Провести беседу о построении прямых углов на местности (п. 13)

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Отработать основные понятия при решении задач

(Ф/И) Решить на доске и в тетрадях № 65 (а), 66 (а).

(П) Решить № 64 (а), 66 (б), представить решение на доске и обсудить

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу в парах и поставьте друг другу оценки.

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: изучить пункты 11–13 из § 6; ответить на вопросы 17–21
на с. 26; выполнить практическое задание № 56; решить задачи № 61 (а, б), 66 (в), 68; повторить весь изученный материал и подготовиться к контрольной работе, просмотрев по тетрадям решение задач

№

Вариант I

Вариант II

1

б

а

2

в

в

3

а

б

Цели деятельности
учителя

Создать условия для повторения понятия перпендикулярных прямых, рассмотрения свойства перпендикулярных прямых; совершенствовать у учащихся умение решать задачи

Термины и понятия

Угол, смежные углы, вертикальные углы, перпендикулярные прямые

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях как важнейших геометрических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные математические процессы и явления

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Чертежи к задачам.

•  Задания для парной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать
теоретические знания

(Ф/И)

1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.

2. Выполнение задания: на каком рисунке изображены смежные углы?

      а)                                                  б)

      в)                                                  г)

II этап. Решение задач по готовым чертежам

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать
навыки решения задач

(П) Выполнение заданий и взаимопроверка.

1. Дано:a – β = 30°.                                      3. Дано: ОЕ – биссектриса ÐCOD; ÐDOE = 32°.

Найти:a, β.                                       Найти:ÐBOC, ÐAOF.

                 Рис. 1                                                                                  Рис. 3

Ответ: a = 105°, β = 75°.                          Ответ: ÐBOC = 180° – ÐCOD = 116°; ÐAOF = ÐCOE = 32°.

2. Дано:ÐABD : ÐCBD = 1 : 5.                    4. Дано:ÐАОВ = (ÐВОС + ÐCOD + ÐDОА).

                                                                           Найти:ÐAOB, ÐBOC.

                 Рис. 2                                                                                  Рис. 4

Ответ: ÐABD = 30°, ÐCBD = 150°.        Ответ: ÐAOB = (360° – ÐAOB), ÐAOB = 40°, ÐBOC = 140°

III этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие перпендикулярных прямых

(Ф/И)

При изучении нового материала можно опираться на имеющиеся у учащихся знания по данной теме за курс математики 6 класса.

– Какие прямые называются перпендикулярными? (Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.)

– Запишите, используя математические символы: «Прямая АВ перпендикулярна прямой CD». Выполните соответствующий рисунок и укажите все углы.

– Пересекаются ли две прямые, перпендикулярные третьей? (Нет.)

Учащиеся могут вспомнить, что такие прямые параллельны.

– Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются – это свойство перпендикулярных прямых. Докажем это свойство (п. 12 учебника). (Доказывает учитель.)

П. 13 «Построение прямых углов на местности» можно порекомендовать прочитать дома

IV этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать
навыки решения задач по изученной теме

(П) После выполнения заданий представить решение задач на доске.

№ 1.

Два тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны.

Найдите величину тупых углов, если известно, что они равны.

Решение:

ÐAOB = ÐAOC. ВО^ОС, значит, ÐВОС = 90°.

Так как ÐAOB = ÐAOC, то 2ÐАОВ = 360° – 90° = 270°, ÐАОВ = 135°.

Рис. 5

№ 2.

Из вершины развернутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части.

Докажем, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развернутого угла.

Решение:

ÐAOB = ÐВОС = ÐCOD = 60°. OK – биссектриса ÐВОС, тогда ÐCOK = ÐВОK = 30°, следовательно,
ÐDОK = 60° + 30° = 90°, ÐAOK = 60° + 30° = 90°, то есть OK^ОА, OK^OD.

Рис. 6

№ 3.

Углы АОВ и DОС смежные, OМ – биссектриса ÐAOB, луч ON принадлежит внутренней области ÐВОС и перпендикулярен ОМ. Является ли ON биссектрисой ÐBOC? Почему?

Рис. 7

Решение:

ÐAOB и ÐВОС смежные, значит, ÐAOB = 180° – ÐBOC, а так как ОМ – биссектриса ÐАОВ, то ÐВОМ =
= ÐМОА = (180° – ÐВОС) = 90° – ÐВОС. Так как ON^ОМ, то ÐMON = 90°, a ÐВОМ = 90° – ÐBON.
Получили, что ÐВОМ = 90° – ÐВОС = 90° – ÐBON, откуда следует, что ÐВОС = ÐВОN, то есть ОNявляется биссектрисой ÐВОС

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу на уроке и работу своих
товарищей.

– Что нового узнали на уроке?

(И) Домашнее задание: решить задачи № 66, 68 и дополнительные задачи.

1. Один из смежных углов составляет 0,2 другого. Найдите эти смежные углы.

2. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 325°.
Найдите остальные углы

Цели деятельности учителя

Создать условия для повторения, закрепления материала главы I; совершенствовать навыки решения задач; подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе

Термины и понятия

Угол, смежные углы, вертикальные углы, перпендикулярные прямые, биссектриса угла, луч, отрезок

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Познавательные: проводят сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям.

Регулятивные: вносят необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета характера сделанных ошибок: осуществляют самоанализ и самоконтроль.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: осознают важность и необходимость изучения предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной работы.

•  Тест

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень сформированности теоретических знаний

(Ф/И)

Проверка домашнего задания. К доске вызываются двое учащихся.

№ 66.

а) Если Ð2 + Ð4 = 220°, так как Ð2, Ð4 – вертикальные, то Ð2 = Ð4 = 220° : 2 = 110°.

Ð1 = Ð3 = 70° (смежные с Ð2 и Ð4).

Рис. 1

Ответ: 70°, 110°, 70°, 110°.

б) Если 3 · (Ð1 + Ð3) = Ð2 + Ð4,                                       в) Если Ð2 – Ð1 = 30°. Примем Ð1 = х, следовательно:

так как Ð1 = Ð3 = х,                                                                        Ð2 = х + 30°

то Ð2 = Ð4 = 180° – х подставим в условие:                    х + х + 30° = 180°

3 · (х + х) = 180° – х + 180° – х                                            2х = 150°

6х = 360° – 2х                                                                       х = 75°

8х = 360°                                                                               Ð1 = 75°, Ð2 = 105°

х = 45°                                                                                   Ответ: 75°, 105°.

Ð1 = Ð3 = 45°, Ð2 = Ð4 = 135°

Ответ: 45°, 135°, 45°, 135°.

№ 68.

Дано: ADÇBEÇFC = O, ÐAOB = 50°, ÐFOE = 70°.

Найти:ÐАОС, ÐBOD, ÐCOE, ÐCOD.

Рис. 2

Решение:

1) ÐEOD = ÐAOB = 50°.

2) ÐFOD = ÐFOE + ÐEOD = 70° + 50° = 120°.

3) ÐCOD = 180° – ÐFOD = 180° – 120° = 60°.

4) ÐAOB = 50° + 70° = 120°; ÐCOE = 60° + 50° = 110°; ÐBOD = 70° + 60° = 130°, ÐCOD = 60°.

Ответ: 120°, 130°, 110°, 60°

II этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень сформированности знаний при решении простейших задач

(И) Работа рассчитана на 10–15 минут. Далее осуществляется взаимопроверка.

Вариант I

1. Смежные углы относятся как 1 : 2. Найдите эти смежные углы.

2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 21°. Найдите остальные углы.

3. Дано:a = 30°, β = 140°.

Найти:Ð1, Ð2, Ð3, Ð4.

Рис. 3

Вариант II

1. Один из смежных углов больше другого на 20°. Найдите эти смежные углы.

2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 102°. Найдите остальные углы.

3. Дано:a = 20°, β = 130°.

Найти:Ð1, Ð2, Ð3, Ð4.

Рис. 4

Решение:

Вариант I

1. Так как Ð1 : Ð2 = 1 : 2, то Ð1 = х, Ð2 = 2х. Но Ð1 + Ð2 = 180°,тогда х + 2х = 180°, х = 60, значит, Ð1 = 60°, Ð2 = 120°.

Рис. 5

2. Пусть Ð1 = 21°, тогда Ð3 = Ð1, как вертикальные, и Ð3 = 21°. Ð1 и Ð2 – смежные и Ð1 + Ð2 = 180°.

Тогда Ð2 = 180° – Ðl = 159°. Но Ð2 = Ð4, как вертикальные, значит, Ð4 = 159°.

Рис. 6

3. a = 30°, тогда Ð4 = 30°, так как Ð4 и угол с градусной мерой a – вертикальные. β = 140°, тогда Ð2 = 140°, так как Ð2 и угол с градусной мерой β – вертикальные.

Ð2 + Ð3 + Ð4 = 180°, тогда Ð3 = 180° – (Ð2 + Ð4) = 10°.

Ð3 и Ð1 – вертикальные, поэтому Ð3 = Ð1, Ð1 = 10°.

Вариант II

1. Ð2 на 20° больше Ð1, тогда Ð1 = х, Ð2 = х + 20°. Но Ð1 + Ð2 = 180°, тогда х + х + 20° = 180°, х = 80°, значит, Ð1 = 80°, Ð2 = 100°.

Рис. 7

2. Пусть Ð1 = 102°, тогда Ð3 = Ð1, как вертикальные, и Ð3 = 102°. Ð1 и Ð2 – смежные и Ð1 + Ð2 = 180°, тогда Ð2 = 180° – Ð1 = 78°. Но Ð2 = Ð4, как вертикальные, значит, Ð4 = 78°.

Рис. 8

3. a = 20°, тогда Ð4 = 20°, так как Ð4 и угол с градусной мерой a – вертикальные. β = 130°, тогда Ð2 = 130°, так как Ð2 и угол с градусной мерой β – вертикальные.

Ð2 + Ð3 + Ð4 = 180°, тогда Ð3 = 180° – (Ð2 + Ð4) = 30°.

Ð3 и Ð1 – вертикальные, поэтому Ð3 = Ð1, Ð1 = 30°

III этап. Тест

Цель деятельности

Тестовые задания

Повторить теоретический материал

(И)

1. Точка С лежит на луче АВ. Какая из точек А, В, С лежит между двумя другими?

а) А;                                                   в) С;

б) В или С;                                        г) В.

2. Отрезок ХМ пересекает прямую а. Отрезок XD пересекает прямую а. Пересекает ли прямую а отрезок МD?

а) Да;                                                 в) никогда не пересекает;

б) может не пересекать;                  г) нет правильного ответа.

3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, – прямой. Остальные углы…

а) острые и прямой;                         в) прямые;

б) тупые и прямой;                           г) нет правильного ответа.

4. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 180°. Эти углы…

а) смежные;                                      в) нет правильного ответа;

б) вертикальные;                              г) могут быть смежными, могут быть вертикальными.

5. Если точка В принадлежит отрезку АС, то...

а) АВ + ВС = АС;                              в) ВС + АС = АВ;

б) АВ + АС = ВС;                              г) нет правильного ответа.

6. Если луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, то...

a) ÐAOC = ÐBOC;                            в) ÐAOB + ÐBOC = ÐAOC;

б) ÐAOC + ÐBOC = ÐAOB;                        г) ÐAOC + ÐAOB = ÐBOC.

7. Если точка В – середина отрезка АС, то…

а) АВ + ВС = АС;                              в) АВ = 2АС;

б) АС = ВС;                                       г) АС = 2АВ.

8. Если луч ОС – биссектриса ÐAOB, то…

a) ÐAOB = ÐAOC + ÐBOC;                        в) ÐAOC = ÐBOC;

б) ÐAOC = ÐAOB;                           г) ÐAOB ≠ ÐBOC.

Ответы: 1 – б; 2 – г; 3 – в; 4 – г; 5 – а; 6 – б; 7 – г; 8 – в

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу на уроке.

– Какие понятия повторяли на уроке?

(И) Домашнее задание: решить задачи № 74, 75, 80, 82

Цель деятельности учителя

Создать условия для проверки знаний, умений навыков учащихся по теме «Измерение отрезков. Измерение углов. Смежные и вертикальные углы»

Термины и понятия

Угол, смежные углы, вертикальные углы, перпендикулярные прямые, биссектриса угла, луч, отрезок

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Познавательные: проводят сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям.

Регулятивные: вносят необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета характера сделанных ошибок; осуществляют самоанализ и контроль своей учебной деятельности.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: осознают необходимость и важность изучения предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для контрольной работы

I этап. Выполнение контрольной работы по вариантам

Цель деятельности

Задания для контрольной работы

Проверить уровень знаний и умений по изученной теме

(И)

Вариант I

1. Три точки В, С и D лежат на одной прямой. Известно, что ВD = 17 см, DС = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Сумма вертикальных углов МОЕ и DОС, образованных при пересечении прямых МС и DЕ, равна 204°. Найдите угол МОD.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78°, и проведите биссектрису смежного с ним угла.

Вариант II

1. Три точки М, N и K лежат на одной прямой. Известно, что MN = 15 см, NK = 18 см. Каким может быть расстояние МK?

2. Сумма вертикальных углов АОВ и СОD, образованных при пересечении прямых АD и ВС, равна 108°. Найдите угол ВОD.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132°, и проведите биссектрису одного из смежных с ним углов.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Лежат ли точки M, N и P на одной прямой, если MP = 12 см, MN = 5 см, PN = 8 см?

2. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 37°.

3. На рисунке АВ^СD, луч ОЕ – биссектриса угла АОD. Найдите угол СОЕ.

II этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что выполняли на уроке?

– Какие задания вызвали затруднения? Почему?

– Как оцениваете свою работу на уроке?

(И)

Домашнее задание: повторить § 1–6

Цели деятельности учителя

Создать условия для введения понятий треугольника и его элементов, периметра треугольника, для обучения оформлению и решению задач; способствовать развитию логического мышления учащихся

Термины и понятия

Треугольник, угол между двумя сторонами

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира; приобретают навыки геометрических построений

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной и фронтальной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Провести анализ ошибок контрольной работы

(Ф/И)

1. Сообщить результаты контрольной работы.

2. Прокомментировать основные ошибки.

3. Решить задачи, вызвавшие у учащихся наибольшие затруднения

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Повторить элементы треугольника

(Ф)

При изучении темы необходимо учесть, что учащиеся имеют представление о треугольнике, его сторонах, углах и вершинах.

Поэтому § 14 можно изучить в ходе выполнения следующих упражнений:

1. Начертите ∆ABC. Укажите:

а) его стороны, вершины, углы;

б) сторону, противолежащую ÐA, ÐВ, ÐС;

в) между какими сторонами заключены ÐA, ÐВ, ÐС;

г) углы, прилежащие стороне АВ, ВС, АС;

д) угол, противолежащий стороне АВ, ВС, АС;

е) периметр ∆АВС, если АВ = 5 см, ВС = 1 см, АС = 8 см;

ж) формулу для вычисления периметра ∆АВС.

2. Решение задачи № 91 с оформлением на доске и в тетрадях учащихся.

Дано:Р_АВС= 48 см, АС = 18 см, ВС – АВ = 4,6 см.

Найти:АВ и ВС.

Решение:

Примем длину стороны АВ в сантиметрах за х, тогда ВС = (х + 4,6) см;

48 = АВ + АС + ВС = х + х + 4,6 + 18, отсюда: 2х = 25,4; х = 12,7.

Значит, АВ = 12,7 см; ВС = 12,7 + 4,6 = 17,3 см.

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.

3. Сравнение треугольников.

– Как выяснить, равны ли ∆АВС и ∆MNK? (Нужно ∆АВС наложить на ∆MNK; если они совместятся полностью, то ∆АВС= ∆MNK.)

– Сравнение треугольников способом наложения – процесс не очень удобный. Нельзя ли каким-нибудь другим способом проверить, равны ли данные треугольники? (Нужно проверить, равны ли соответствующие элементы (стороны и углы) данных треугольников.)

Записать на доске и в тетрадях:

Если ∆ABC = ∆MNK, то АВ = MN, ВС = NK, АС = МK и ÐА = ÐM, ÐВ = ÐN, ÐC = ÐK

III этап. Закрепление изученной темы

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Научить решать задачи на применение изученного материала

(И)

1. Учащиеся самостоятельно выполняют практическое задание № 89 (б, в). Учитель проверяет выполнение этого задания и исправляет ошибки.

2. Решение задачи № 90 (самостоятельно).

3. Решение задач (самостоятельно).

1) Дано: AB = AC = BC, AD = DC.                                      2) Дано: ∆ABD = ∆CBD, ÐFAB = 160°.

Р_АВС = 36 см, Р_ADC = 40 см.                                     Найти:ÐBCD.

    Найти: стороны ∆ABC, ∆ADC.

                         Рис. 1                                                                                     Рис. 2

Ответ: АВ = АС = ВС = 12 см, AD = DC = 14 см.          Ответ: ÐBCD = 20°

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что повторили на уроке?

– Что нового для себя открыли?

(И) Домашнее задание: изучить п. 14 из § 1; ответить на вопросы 1 и 2 на с. 49; решить задачу № 156; выполнить практическое задание 89 (а)

Цель деятельности учителя

Создать условия для разъяснения смысла слов «теорема» и «доказательство теоремы», формулировки и доказательства первого признака равенства треугольников

Термины и понятия

Треугольник, угол между двумя сторонами, теорема, признак

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира; приобретают навыки геометрических построений

Познавательные: выдвигают гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной и фронтальной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать
знания учащихся
по теории

(Ф/И)

1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.

2. Повторение теории.

1) Повторить определение смежных углов и их свойство.

2) Повторить определение вертикальных углов и их свойство.

3) Вспомнить определение равных фигур, биссектрисы угла.

4) Вспомнить, какой угол называется острым, прямым, тупым.

5) Повторить определение треугольника, его элементов; определение периметра треугольника; определение равных треугольников

II этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Совершенствовать навыки решения задач
по готовым чертежам

(И)

1. Дано: ∆АРС = ∆FMB, ÐP = ÐM, FB = 17 см,               2. Дано: ∆ABC = ∆ADC, ÐABC = 70°,

ÐA = ÐF, PC = 23 см.                                                          AB = 10 см.

    Найти: AC, MB.                                                               Найти:ÐMDC, AD.

                               Рис. 1                                                                                 Рис. 2

3. Дано: АВ = ВС = AC, AD = CD, Р_АВС = 36 м, Р_АDС = 40 см.

    Найти: стороны ∆ABC, ∆ADC.

Рис. 3

III этап. Изучение новой темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

Вывести первый признак равенства треугольников

(Ф) Изучение темы осуществляется в форме беседы учителя с учащимися; теорему лучше доказать самому учителю.

– Какие условия должны выполняться для того, чтобы ∆АВС был равен ∆А₁В₁С₁? (АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁,
ВС = B₁С₁,ÐA= ÐА₁,ÐB = ÐB₁,ÐC = ÐC₁.)

– Нельзя ли уменьшить количество условий для доказательства равенства двух треугольников? (Учащиеся высказывают свои предположения.)

– Оказывается, не нужно проверять равенство всех сторон и углов одного треугольника сторонам и углам другого треугольника. Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого.
О том, какие именно элементы нужно сравнивать, нам расскажут признаки равенства треугольников.

Сегодня мы изучим первый признак равенства треугольников, который гласит:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это утверждение нам необходимо доказать. В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы.

– Какие теоремы нам уже известны? (Свойство смежных углов и свойство вертикальных углов.)

– Любая теорема состоит из условия и заключения. Условие – это уже известные факты, о которых говорится в теореме, а заключение – это то, что нужно получить, доказать.

– Выделите условие теоремы первого признака равенства треугольников. Выделите заключение.

Итак, докажем первый признак равенства треугольников:

Дано (условие): ∆ABC, ∆А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ÐA = ÐA₁.

Доказать (заключение): ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство: см. п. 15 учебника.

– Первый признак равенства треугольников удобнее называть признаком равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

IV этап. Решение задач

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Совершенствовать навыки в решении задач на изученную тему

(Ф/И)

1. Найти пары равных треугольников:

Рис. 4                                                                                            Рис. 5

Рис. 6                                                                                            Рис. 7

2. Решить задачи № 96 и 97 на доске и в тетрадях

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что нового узнали на уроке?

– Что такое теорема? Из чего она состоит?

(И) Домашнее задание: знать доказательство первого признака равенства треугольников (п. 15), решить задачи № 93, 94 и 95

Цель деятельности
учителя

Создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение первого признака равенства треугольников, закрепления умения доказывать теоремы

Термины и понятия

Треугольник, теорема, признак

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира; приобретают навыки геометрических построений

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки; устанавливают причинно-следственные связи, строят логическое рассуждение, делают умозаключения.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для фронтальной и самостоятельной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Закрепить умение доказывать теорему

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Вызвать к доске учащегося для доказательства первого признака равенства треугольников.

3. Решить задачи по готовым чертежам (устно).

4. Найти равные треугольники:

                      Рис. 1                                         Рис. 2                                  Рис. 3                                     Рис. 4

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Cовершенствовать навыки решения задач

(Ф/И)

1. Решить задачу № 98 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачи по готовым чертежам. Решение записать на доске и в тетрадях.

                            Рис. 5                                                     Рис. 6                                                   Рис. 7

III этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень
усвоения теоретических знаний и умения применять их при решении
задач

(И) Работа рассчитана на 10 минут. Решив ее, учащиеся сдают листки учителю.

Вариант I

Докажите равенство треугольников ADC и ABC, изображенных на рисунке, если AD = AB и Ð1 = Ð2. Найдите углы ADC и ACD, если ÐАВС = 108°, ÐАСВ = 32°.

Рис. 8

Вариант II

Докажите равенство треугольников АВС и ADC, изображенных на рисунке 53 учебника, если АВ = DC
и Ð4 = Ð3. Найдите углы АСВ и ADC, если ÐАВС = 102°, ÐВСА = 38°

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что повторили на уроке?

– Оцените свою работу на уроке

(И)Домашнее задание: решить № 97, 160 (а)

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника, доказательства теоремы о перпендикуляре, обучения построению медианы, биссектрисы и высоты
треугольника

Термины и понятия

Треугольник, медиана, биссектриса, высота, перпендикуляр

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира; приобретают навыки геометрических построений

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность
с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для фронтальной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить правильность выполнения
домашнего задания

(Ф/И)

1. Проверить правильность выполнения домашнего задания. Для этого к доске вызываются двое учеников,
которые демонстрируют выполнение заданий. Остальные учащиеся задают вопросы.

2. Проанализировать ошибки, допущенные в самостоятельной работе

II этап. Учебно-исследовательская деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятия
медианы, биссектрисы и высоты треугольника в ходе практической
деятельности

(Ф/И)

1. Выполнение практического задания (учитель это же задание выполняет на доске).

– Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на прямой (рис. 1).

Рис. 1

– Через точку А проведите прямую, перпендикулярную прямой а. Точку пересечения прямых обозначьте Н.

– Запишите в тетрадях: «Отрезок АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а, если: 1) АН^а;

2) АÏа, НÎа».

Теорема о перпендикуляре:Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.

Дано: а – прямая, точка АÏа.

Доказать: 1) из точки А к прямой а можно провести перпендикуляр;

                   2) из точки А к прямой а можно провести единственный перпендикуляр.

Доказательство: см. п. 16 учебника.

2. Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника.

На доске и в тетрадях рисунок (рис. 2) и запись: AM – медиана ∆АВС, если МÎВС, ВМ = МС.

Рис. 2

– Начертите ∆MNK, постройте его медианы. (На доске это же задание выполняет один из учащихся по указанию учителя.)

На доске и в тетрадях рисунок (рис. 3) и запись: MB, KA, NC – медианы ∆MNK. MBÇKAÇNC = О.

Рис. 3

3. Определение:Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

На доске и в тетрадях рисунок (рис. 4) и запись: BL – биссектриса ∆АВС, если LÎАС, ÐABL = ÐCBL.

Рис. 4

– Начертите ∆DEF,постройте его биссектрисы. (На доске это же задание выполняет один из учащихся по указанию учителя.)

На доске и в тетрадях рисунок (рис. 5) и запись: DN, EK, FM – биссектрисы ∆DEF. DNÇЕKÇЕМ = О.

Рис. 5

4.Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

На доске и в тетрадях рисунок (рис. 6) и запись: ВН – высота ∆АВС, если ВН^АС, НÎАС.

Рис. 6

– Начертите остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники и постройте их высоты.

Рис. 7                                                  Рис. 8                                                  Рис. 9

(К доске вызвать трех учеников, первый из них строит высоты для остроугольного треугольника, второй – для прямоугольного, третий – для тупоугольного.)

III этап. Решение задач на закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки построения медиан, биссектрис и высот

(П) Выполнить в парах
№ 101, 102, 103.

(Ф/И) Выполнить на доске
и в тетрадях № 105 и 106

№ 105.

Дано: А, С по одну сторону от а, АВ^а, CD^a, AB = CD, ÐADB = 44°.

Доказать:ÐABD = ÐCDB.

Найти:ÐАВС.

Рис. 10

Доказательство:

1) В DABD и DCDBBD – общая, AB = CD (по усл.). ÐВ = ÐD = 90° (так как

АВ^а, CD^a). Таким образом, DABD = DCDB (по двум сторонам и углу между ними).

2) Из п. 1 следует, что ÐСВD = ÐADB = 44°, тогда ÐАВС = ÐABD – ÐCBD,

ÐАВС = 90° – 44° = 46°.

№ 106.

Дано: DАВС, AD – медиана, AD = DЕ, ÐAСD = 56°, ÐABD = 40°.

Доказать:DABD = DЕCD.

Найти:ÐАСЕ.

Рис. 11

Доказательство:

1) Рассмотрим DABD и DЕCD. BD = DC (по усл.), AD = DE (по усл.), Ð1 = Ð2 – вертикальные, DABD = DЕCD (по двум сторонам и углу между ними), тогда ÐABD = ÐЕCD (по определению равных треугольников), ÐЕCD = 40°.

2) ÐАСЕ = ÐAСD + ÐЕCD = 56° + 40° = 96°

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какими свойствами обладают медианы, биссектрисы и высоты треугольника?

– Составьте синквейн к уроку

(И)Домашнее задание: изучить пункты 16 и 17; ответить на вопросы 5–9 на
с. 50; решить № 100

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника, рас-смотрения свойств равнобедренного треугольника и демонстрации их применения на практике

Термины и понятия

Равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, боковые стороны, основание, углы при основании

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение; понимают и используют математические средства наглядности.

Регулятивные: осознают и принимают цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить правильность выполнения
домашнего задания

(Ф/И)

1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.

2. Теоретический опрос учащихся.

3. Самостоятельное решение тестовых заданий с последующей самопроверкой:

1) Дано: АО – медиана ∆АВС, АО = ОK, АВ = 6,3 см, ВС = 6,5 см, АС = 6,7 см.

    Найти: СK.

Рис. 1

а) 6,4 см;           б) 6,7 см;           в) 6,5 см;           г) 6,3 см.

2) Дано: ОН и ON – высоты ∆МОK и ∆EOF, OH = ON, EN = 7,8 см, ОЕ = 8,6 см, НМ = 6,3 см.

    Найти: МK.

Рис. 2

а) 13,9 см;           б) 14,1 см;           в) 14,9 см;           г) 16,4 см.

3) В треугольниках ABC и KРМ проведены биссектрисы ВО и РЕ, причем ∆АВО = ∆KРЕ. Найдите отрезок ЕМ, если АС = 9 см, а ЕМ больше KЕ на 3,8 см.

а) 6,4 см;           б) 5,4 см;           в) 2,6 см;           г) 4,8 см.

Ответы: 1 – г; 2 – б; 3 – а

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятия равнобедренного и равносто-роннего треугольников, дать представления
о свойствах равнобедренного треугольника

(Ф/И)

1.Понятия равнобедренного и равностороннего треугольников.

Определение: Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.

На доске и в тетрадях учащихся – рисунок и запись: ∆АВС – равнобедренный, так как АВ = ВС; АВ, ВС – боковые стороны равнобедренного ∆АВС; АС – основание равнобедренного ∆АВС; ÐA, ÐC – углы при основании равнобедренного ∆ABC; ÐB – угол при вершине равнобедренного ∆АВС.

Рис. 3

Определение:Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

2. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Теорема:В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: ∆АВС, АВ = ВС.

Доказать:ÐA = ÐC.

Рис. 4

Доказательство:

Проведем биссектрису из вершины В к основанию АС.(Далее можно предложить учащимся продолжить доказательство самостоятельно, заслушать варианты, обсудить и записать в кратком виде ход доказательства.)

(Г) 3. Свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Можно предложить учащимся вывести это свойство самостоятельно, поставив перед ними проблему: «Как известно, биссектриса треугольника делит его угол пополам. Но в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, обладает еще одним очень важным свойством. В чем заключается это свойство?» Работа проводится в группах по 3–4 человека с последующим обсуждением этого свойства с доказательством. При обсуждении важно затронуть вопросы:

– Каждая ли биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой?

– Является ли высота равнобедренного треугольника его биссектрисой и медианой? Если да, то какая из трех?

III этап. Творческое задание

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Способствовать исследованию свойств медиан и высот равнобедренного треугольника в ходе выполнения заданий творческого характера

(И)

Вариант I

Исследуйте медианы равнобедренного треугольника и перечислите все их особенности и свойства.

Вариант II

Исследуйте высоты равнобедренного треугольника и перечислите все их особенности и свойства.

Далее проходит обсуждение свойств медианы и высоты равнобедренного треугольника

IV этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать
навыки решения задач на применение изученных фактов

(Ф/И)

1. Решить задачи № 108 и 112 на доске и в тетрадях.

2. Решить № 116 (устно).

3. Решить задачу (устно).

В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна 180º. Найдите углы этого треугольника, если известно, что:

а) один из них равен 105º;

б) один из них равен 38º (рассмотреть два случая)

№ 108.

Дано:DАВС, АВ = АС, Р_АВС = 40 см, DВСD, DB = DC = BC, P_ВCD = 45 см.

Найти:ав и ВС.

Рис. 5

Решение:

1) Р_АВС = АВ + ВС + АС = ВС + 2АВ (так как DАВС равнобедренный),

40 = ВС + 2АВ.

2) P_ВCD = DB + ВС + CD = 3ВС (так как DDВС равносторонний),

45 = 3ВС, тогда ВС = 15 см.

40 = 15 + 2АВ.

2АВ = 25, тогда АВ = 12,5 см.

Ответ: 12,5 см; ВС = 15 см.

№ 112.

Дано: АВ = ВС, Ð1 = 130°.

Найти:Ð2.

Рис. 6

Решение:

1) Ð1 и ÐАСВ – смежные, значит, Ð1 + ÐАСВ = 180°,
тогда ÐАСВ = 180° – 130° = 50°.

2) Так как DАВС – равнобедренный, АВ = ВС (по усл.),
то ÐВАС = ÐАСВ = 50°.

3) Так как Ð2 = ÐВАС, как вертикальные, Ð2 = 50°.

Ответ: 50°

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что узнали об углах равнобедренного треугольника? Равностороннего треугольника?

– Перечислите свойства равнобедренного и равностороннего треугольников.

– Задайте три вопроса по теме урока

(И) Домашнее задание: изучить п. 18 с доказательством теоремы
об углах при основании равнобедренного треугольника; ответить

на вопросы 10–12 на с. 50; решить задачи № 104, 107 и 117

Цели деятельности учителя

Создать условия для закрепления теоретических знаний по изучаемой теме; совершенствовать навыки доказательства теорем, решения задач

Термины и понятия

Равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, боковые стороны, основание, углы при основании

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; устанавливают причинно-следственные связи, строят логическое рассуждение, умозаключение; понимают и используют математические средства наглядности.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебные задачи.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Задания для самостоятельной работы.

•  Чертежи к задачам

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень
сформированности
теоретических знаний

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Один учащийся на доске готовит доказательство теоремы о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника.

3. Второй учащийся решает на доске задачу № 117 (по рис. 67).

4. Устно по готовым чертежам на доске учащиеся решают задачи.

– Найдите ÐDВА.

Рис. 1                                                  Рис. 2                                                      Рис. 3

5. Теоретический тест (с последующей самопроверкой). (Ответы учащиеся записывают на двух листках, один из них сдают на проверку учителю, по другому проверяют правильность своих ответов. Ответы к тесту учитель записывает на доске после того, как учащиеся сдали работы.)

1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:

а) всегда верно;                    б) может быть верно;                       в) всегда неверно.

2) Если треугольник равносторонний, то:

а) он равнобедренный;

б) все его углы равны;

в) любая его высота является биссектрисой и медианой.

3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?

а) В любом;                           б) в равнобедренном;                       в) в равностороннем.

4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:

а) всегда верно;                    б) может быть верно;                       в) всегда неверно.

5) Если треугольник равнобедренный, то:

а) он равносторонний;

б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;

в) ответы а) и б) неверны.

6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?

а) В любом;                           б) в равнобедренном;                       в) в равностороннем.

Ответы: 1 – б; 2 – а, б, в; 3 – б; 4 – а; 5 – в; 6 – в

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать
навыки решения задач

(Ф/И)

1. Решение задач по готовым чертежам. Найти угол DВА.

                     Рис. 4                                     Рис. 5                                    Рис. 6                                    Рис. 7

Рис. 8

2. Решение № 119 и 120 (а) на доске и в тетрадях.

3. Самостоятельная работа на 10 минут.

1) Периметр равнобедренного треугольника 48 см, боковая сторона – 15 см. Найти основание треугольника.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 37 см. Основание меньше боковой стороны на 5 см. Найдите стороны этого треугольника

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу на уроке.

– Закончите фразы:

•  Я научился…

•  У меня получилось…

•  Я смог…

•  Я попробую…

(И) Домашнее задание: решить № 114, 118, 120 (б)

Цели деятельности
учителя

Создать условия для повторения и закрепления изученного ранее материала, изучения второго признака равенства треугольников и выработки навыков использования первого и второго признаков равенства треугольников при решении задач; способствовать развитию логического мышления учащихся

Термины и понятия

Треугольник, прилежащие углы

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют работать с геометрическим текстом (анализировать его, извлекать необходимую информацию)

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Регулятивные: понимают сущность алгоритмических предписаний и умеют действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность
с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

•  Чертежи к задачам.

•  Задания для фронтальной и индивидуальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навык решения задач по готовым чертежам с целью повторения первого признака равенства треугольников

(Ф/И)

1. Проверка домашнего задания.

2. Решение задач (устно).

1) На рис. 1 DЕ = DK, Ð1 =Ð2. Найдите ЕС,ÐDСK и ÐDKС, если KС = 1,8 дм; ÐDСЕ = 45º,ÐDЕС =115º.

Рис. 1

2) ОВ = ОС, АО = DО; ÐАСВ = 42º, ÐDСF = 68º. Найдите ÐАВС.

Рис. 2

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Организовать выполнение практической работы с целью подготовки к восприятию новой
темы

(Ф/И)

Практическая работа.

Начертите DMNK – такой, что ∆MNK = ∆ABC, если известно, что АВ = 4 см, ÐA = 54°, ÐВ = 46°.

Построение:

1) отложить отрезок MN = 4 см, так как ∆MNK = ∆АВС, а значит, MN = AB;

2) построить ÐNMP = 54°;

3) построить ÐMNE = 46° по ту же сторону от прямой MN, что и ÐNMP;

4) МРÇNE = K, ∆MNK – искомый.

(Идет обсуждение практического задания. Учитель задает вопросы, учащиеся отвечают на них.)

– Будут ли равны ∆АВС и ∆MNK, если АВ = MN, ÐA = ÐM, ÐB = ÐN? (Да, ∆ABC = ∆MNK.)

– Докажите равенство треугольников ABC и MNK.

Дано: ∆ABC, ∆MNK, AB = MN, ÐA = ÐM, ÐB = ÐN.

Доказать: ∆ABC = ∆MNK.

Доказательство:

Наложим ∆ABC на ∆MNK так, чтобы АВ совместилось с MN, а вершины С и K лежали по одну сторону от MN. Так как по условию задачи АВ = MN, то вершина А совместится с вершиной М, а вершина В – с вершиной N. Луч АС совместится с лучом МK, так как ÐA = ÐМ, а луч ВС совместится с лучом NK, так как ÐB = ÐN.
Точка пересечения лучей АС и ВС совместится с точкой пересечения лучей МK и NK, то есть точка С совместится с точкой K. Получили, что треугольники ABC и MNK полностью совместились, а это значит,
что ∆ABC = ∆MNK.

– Итак, мы только что доказали второй признак равенства треугольников. Сформулируйте его и дайте ему название.

Определение: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

– Второй признак равенства треугольников можно назвать признаком равенства треугольников по стороне
и прилежащим к ней углам

III этап. Решение задач на закрепление изученного материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения задач по изученной теме

(Ф/И)

1. Решить задачи по готовым чертежам (устно).

Рис. 3                                                   Рис. 4                                                   Рис. 5

Рис. 6                                                                           Рис. 7

1) На рис. 3 Ð1 = Ð2 и Ð3 = Ð4. Докажите, что ∆АВС = ∆АDС.

2) На рис. 4 АС = СВ, ÐА = ÐВ. Докажите, что ∆ВСD = ∆АСЕ.

3) На рис. 5 АD – биссектриса угла ВАС, Ð1 = Ð2. Докажите, что ∆АВD = ∆АСD.

4) На рис. 6 ВО = ОС, Ð1 = Ð2. Укажите равные треугольники на этом рисунке.

5) На рис. 7 Ð1 = Ð2, ÐСАВ = ÐDВА. Укажите равные треугольники на этом рисунке.

2. Решить задачу № 121 (самостоятельно).

3. Решить задачу № 126 (по рис. 74 учебника на с. 40).

4. Решить задачу № 127 (записать решение этой более сложной задачи на доске и в тетрадях).

№ 127.

Дано:DАВС, DА₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, ÐВ = ÐВ₁; DÎAB, D₁ÎA₁B₁, ÐACD = ÐA₁C₁D₁.

Доказать:DBCD = DB₁C₁D₁.

Доказательство:

1) Рассмотрим DАВС и DА₁В₁С₁: АВ = А₁В₁ (по усл.), ВС = В₁С₁ (по усл.), ÐВ = ÐВ₁ (по усл.), DАВС = DА₁В₁С₁
(по двум сторонам и углу между ними), тогда AC = А₁С₁, ÐА = ÐА₁, ÐС = ÐС₁ (по определению равных треугольников).