ТЕОРЕМЫ О ПОЧЛЕННОМ СЛОЖЕНИИ

Теоремы о почленном сложении
и умножении неравенств

Цели: изучить формулировки и доказательства теорем о почленном сложении и умножении неравенств; формировать умения применять данные теоремы при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1. Известно, что 10 < a < 16. Оцените значение выражения:

а) a;            б) –3а;            в) а – 16.

2. Известно, что 2,2 << 2,3. Оцените значение выражения:

а) 5;            б) –;            в) 3 +;            г) 3 –.

В а р и а н т  2

1. Известно, что 5 < m < 15. Оцените значение выражения:

а) т;            б) –2т;            в) т – 6.

2. Известно, что 2,6 << 2,7. Оцените значение выражения:

а) 2;            б) –;            в) 2 +;            г) 3 –.

В а р и а н т  3

1. Известно, что 15 < х < 20. Оцените значение выражения:

а) х;            б) ;            в) 3х + 10.

2. Известно, что 3,31 << 3,32. Оцените значение выражения:

а) 3;            б) –;            в) + 1,8;            г) 4,53 –.

В а р и а н т  4

1. Известно, что 6 < у < 9. Оцените значение выражения:

а) у + 5;            б) у;            в) у – 3.

2. Известно, что 4,12 <  < 4,13. Оцените значение выражения:

а) ;            б) –3;            в) + 0,5;            г) 2,7 –.

III. Объяснение нового материала.

1. Для мотивации изучения теорем о сложении и умножении числовых неравенств следует предложить учащимся для решения задачи практического характера.

З а д а ч а  1. Длина прямоугольника больше 12 см, а его ширина больше 3 см. Можно ли утверждать, что периметр этого прямоугольника больше 30 см?

Р е ш е н и е

Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника соответственно, тогда периметр равен 2a + 2b.

a> 12;       2a > 24;

b > 3;        2b > 6.

Доказать, что 2a + 2b > 30.

Учащиеся могут интуитивно сложить почленно неравенства и получить следующий результат:

2a + 2b > 24 + 6;

2a + 2b > 30.

Следует отметить, что так можно поступать, но необходимо провести доказательство, используя известные теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.

: 2a > 24;        2a + 2b > 24 + 2b.       (1).

       2b > 6;          2b + 24 > 6 + 24;   24 + 2b > 30.      (2).

Из неравенств (1)и (2) по теореме 2 следует, что 2a + 2b > 30.  

Далее просим учащихся сформулировать «открытое» ими утверждение в общем виде и записать его аналитическую модель:

Доказательство теоремы можно разобрать по учебнику, так как в нём повторяется ход рассуждений для решения задачи 1.

З а д а ч а  2. Длина прямоугольника больше 15 дм, а его ширина больше 6 дм. Можно ли утверждать, что его площадь больше 90 дм²?

Р е ш е н и е

Можно предложить учащимся провести доказательство утверждения самостоятельно по аналогии с предыдущей задачей.

Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника, тогда его площадь равна a · b.

a > 15;

b > 6.

Доказать, что ab > 90.

: a > 15;          b > 0, значит, a · b > 15 · b.           (1).

       b > 6; b · 15 > 6 · 15;       15b > 90.          (2).

Из неравенств (1) и (2) по теореме 2 следует, что ab > 90.  

Просим учащихся дать общую формулировку утверждения. Замечаем, что теорема о почленном умножении неравенств справедлива для положительных чисел. Если среди чисел есть отрицательные, то при почленном умножении неравенств может получиться неверное неравенство. Просим учащихся привести контрпримеры. На доску выносится запись:

Доказательство разбираем по учебнику.

2. Следствие из теоремы 6 также разбираем по учебнику.

IV. Формирование умений и навыков.

Обращаем внимание учащихся, что для почленного сложения или умножения неравенств удобнее их записывать друг под другом.

1. № 765, № 766.

2. № 767 (а); № 768.

Р е ш е н и е

№ 767.

а) а² > b², значит, а² – b² > 0; (a – b)(a + b) > 0.

a и b – положительные числа, значит, a + b > 0. Разделим обе части неравенства на a + b, получим a – b > 0, значит, a > b.

Имеем:

        а² > b²

        a  > b      

   а² · а > b² · b,  то есть а³ > b³.

№ 768.

б) a – b = а + (–1) · b

             4  <  b  < 5

            –5 < –b < –4

              3 <  а  < 4              

3 + (–5) < а + (–b) < 4 + (–4);

         –2 <   а – b   < 0.

г)

         4 < b < 5

          3 < а < 4         

3. № 776. Задание повышенной сложности на «прямое» применение теорем 5 и 6.;

Р е ш е н и е

Запишем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для всех пар чисел:

Так как а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то | abc | = abc, значит,

8abc ≤ (а + b)(b + c)(а + c), то есть (а + b)(b + c)(а + c) ≤ 8abc.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.

– Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств. Какие ограничения накладываются на числа?

– Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.

– Можно ли применить данные теоремы к более чем двум неравенствам указанного вида?

Домашнее задание.

1. № 767 (б), № 769.

2. Докажите, что если а > 5 и b > 6, то

а) 2a + b > 15;                            б) 12a >4b  80.

3. Докажите, что если а > 6 и b < –1, то

а) 3a – b > 16;                            б) b – 12а < –50.

4. № 776 (б)* (дополнительное задание).