Теоремы
о почленном сложении
и умножении неравенств
Цели: изучить формулировки и доказательства теорем о почленном сложении и умножении неравенств; формировать умения применять данные теоремы при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Известно, что 10 < a < 16. Оцените значение выражения:
а) a; б) –3а; в) а – 16.
2. Известно, что 2,2 << 2,3. Оцените значение выражения:
а) 5; б) –; в) 3 +; г) 3 –.
В а р и а н т 2
1. Известно, что 5 < m < 15. Оцените значение выражения:
а) т; б) –2т; в) т – 6.
2. Известно, что 2,6 << 2,7. Оцените значение выражения:
а) 2; б) –; в) 2 +; г) 3 –.
В а р и а н т 3
1. Известно, что 15 < х < 20. Оцените значение выражения:
а) х; б) ; в) 3х + 10.
2. Известно, что 3,31 << 3,32. Оцените значение выражения:
а) 3; б) –; в) + 1,8; г) 4,53 –.
В а р и а н т 4
1. Известно, что 6 < у < 9. Оцените значение выражения:
а) у + 5; б) у; в) у – 3.
2. Известно, что 4,12 < < 4,13. Оцените значение выражения:
а) ; б) –3; в) + 0,5; г) 2,7 –.
III. Объяснение нового материала.
1. Для мотивации изучения теорем о сложении и умножении числовых неравенств следует предложить учащимся для решения задачи практического характера.
З а д а ч а 1. Длина прямоугольника больше 12 см, а его ширина больше 3 см. Можно ли утверждать, что периметр этого прямоугольника больше 30 см?
Р е ш е н и е
Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника соответственно, тогда периметр равен 2a + 2b.
a> 12; 2a > 24;
b > 3; 2b > 6.
Доказать, что 2a + 2b > 30.
Учащиеся могут интуитивно сложить почленно неравенства и получить следующий результат:
2a + 2b > 24 + 6;
2a + 2b > 30.
Следует отметить, что так можно поступать, но необходимо провести доказательство, используя известные теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.
: 2a > 24; 2a + 2b > 24 + 2b. (1).
2b > 6; 2b + 24 > 6 + 24; 24 + 2b > 30. (2).
Из неравенств (1)и (2) по теореме 2 следует, что 2a + 2b > 30.
Далее просим учащихся сформулировать «открытое» ими утверждение в общем виде и записать его аналитическую модель:
Если a < b и c < d, то a + c < b + d. |
Теорема 5. |
Доказательство теоремы можно разобрать по учебнику, так как в нём повторяется ход рассуждений для решения задачи 1.
З а д а ч а 2. Длина прямоугольника больше 15 дм, а его ширина больше 6 дм. Можно ли утверждать, что его площадь больше 90 дм2?
Р е ш е н и е
Можно предложить учащимся провести доказательство утверждения самостоятельно по аналогии с предыдущей задачей.
Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника, тогда его площадь равна a · b.
a > 15;
b > 6.
Доказать, что ab > 90.
: a > 15; b > 0, значит, a · b > 15 · b. (1).
b > 6; b · 15 > 6 · 15; 15b > 90. (2).
Из неравенств (1) и (2) по теореме 2 следует, что ab > 90.
Просим учащихся дать общую формулировку утверждения. Замечаем, что теорема о почленном умножении неравенств справедлива для положительных чисел. Если среди чисел есть отрицательные, то при почленном умножении неравенств может получиться неверное неравенство. Просим учащихся привести контрпримеры. На доску выносится запись:
Если
a < b и c < d, где a, b,
c, d – |
Теорема 6. |
Доказательство разбираем по учебнику.
2. Следствие из теоремы 6 также разбираем по учебнику.
IV. Формирование умений и навыков.
Обращаем внимание учащихся, что для почленного сложения или умножения неравенств удобнее их записывать друг под другом.
1. № 765, № 766.
2. № 767 (а); № 768.
Р е ш е н и е
№ 767.
а) а2 > b2, значит, а2 – b2 > 0; (a – b)(a + b) > 0.
a и b – положительные числа, значит, a + b > 0. Разделим обе части неравенства на a + b, получим a – b > 0, значит, a > b.
Имеем:
а2 > b2
a > b
а2 · а > b2 · b, то есть а3 > b3.
№ 768.
а) 3 < a < 4 4 < b < 5 7 < a + b < 9 |
в) 3 < a < 4 4 < b < 5 12 < ab < 20 |
б) a – b = а + (–1) · b
4 < b < 5
–5 < –b < –4
3 < а < 4
3 + (–5) < а + (–b) < 4 + (–4);
–2 < а – b < 0.
г)
4 < b < 5
3 < а < 4
3. № 776. Задание повышенной сложности на «прямое» применение теорем 5 и 6.;
Р е ш е н и е
Запишем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для всех пар чисел:
2≤ а + b 2≤ b + c 2≤ а + c |
|
2∙ 2∙ 2≤ (а + b)(b + c)(а + c); 8≤ (а + b)(b + c)(а + c); |
|
|
8 ∙ | abc | ≤ (а + b)(b + c)(а + c). |
Так как а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то | abc | = abc, значит,
8abc ≤ (а + b)(b + c)(а + c), то есть (а + b)(b + c)(а + c) ≤ 8abc.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.
– Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств. Какие ограничения накладываются на числа?
– Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.
– Можно ли применить данные теоремы к более чем двум неравенствам указанного вида?
Домашнее задание.
1. № 767 (б), № 769.
2. Докажите, что если а > 5 и b > 6, то
а) 2a + b > 15; б) 12a >4b 80.
3. Докажите, что если а > 6 и b < –1, то
а) 3a – b > 16; б) b – 12а < –50.
4. № 776 (б)* (дополнительное задание).
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.