РЕЙТЕР КИРИЛЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

к.ф.н., доцент, ЗДН АЕ, член-кор. Академии Естествознания

«ТЕРМОДИНАМИКА, ТЕПЛОПЕРЕДАЧА И ГИДРАВЛИКА»

УЧЕБНИК

для программы подготовки специалистов среднего звена по специальностям: 

20.02.04 Пожарная безопасность

20.02.02 Защита в чрезвычайных ситуациях

 

Раздел 1. Гидравлика

Тема 1.1. Основы гидростатики

Тема 1.2. Основы гидродинамики

Тема 1.3. Движение реальных жидкостей

Тема 1.4. Истечение жидкостей

Тема 1.5. Трубопроводы

Раздел 2. Термодинамика

Тема 2.1. Основы термодинамики

Тема 2.2. Законы термодинамики

Тема 2.3. Идеальные газы

Тема 2.4. Термодинамические процессы и циклы

Тема 2.5. Термодинамика потоков

Тема 2.6. Термодинамический анализ теплотехнических устройств

Раздел 3. Теплопередача

Тема 3.1. Теплопроводность

Тема 3.2. Конвективный теплообмен Тема 3.3. Процессы теплопередачи

 

Раздел 1. Гидравлика

 

Тема 1.1. Основы гидростатики

 

1.1.1. Общие сведения и краткая история развития 

 

Гидравликой называется прикладная наука, в которой изучаются законы движения и равновесия жидкости и даются способы приложения этих законов к решению конкретных технических задач.

Гидравлика – одна из самых древних наук в мире. Результаты археологических исследований показывают, что еще за 5000 лет до н.э. в Китае и других странах Древнего мира уже существовали оросительные каналы и были известны простейшие устройства для подъема воды. В Риме сохранились остатки древнего водопровода, построенного за шесть веков до начала нашей эры.

Гидравлика (греч. «хюдор» - вода и «аулос» - труба, канал, струя) – прикладная наука, изучающая законы равновесия и движения жидкости и разрабатывающая на основе теории и эксперимента способы применения этих законов к решению различных задач инженерной практики. Гидравлика – очень древняя наука. За несколько тысяч лет до нашей эры в Индии, Китае, в Египте, странах Ближнего и Среднего востока уже строились различные гидротехнические сооружения: каналы, платины, водяные колеса. Первым научным трудом в области гидравлики считается написанный примерно за 250 лет до н.э. трактат Архимеда «О плавающих телах», в котором величайший ученый древности сформулировал закон о давлении жидкости на погруженное в нее тело. Особое развитие гидравлика получила в средние века. В XV веке Леонардо да Винчи написал труд «О движении и измерении воды в тесных сооружениях», опубликованный через 307 лет после его смерти в 1826 году. В 1586 году голландский ученый Симон Стевин опубликовал работу «Начало гидростатики». В XVI – XVII веках Г. Галилей, Э. Таричелли, Б. Паскаль и И. Ньютон проводили исследования, позволившие разработать основы гидромеханики. В 1755 – 1756 годах выходят в свет работы Л.П. Эйлера, где впервые приводится полная система дифференциальных уравнений равновесия и движения идеальной ж. Основоположниками гидравлики как самостоятельной науки являются члены Петербургской академии наук М.В. Ломоносова, Д.И. Бернулли, Л.П. Эйлер. В 1738 году была опубликована работа Д. Бернулли «Гидравлика или записки о силах движения жидкости», в которой установлена зависимость между давлением и скоростью в элементарной струйке идеальной жидкости. Представляют интерес такие работы Шизе, Вентури, Вейсбаха, Дарси, Базена и Рейнольдса. Труды этих ученых посвящены главным образом изучению турбулентности потоков и установлению общих законов сопротивления движению вязких жидкостей, а также исследованию движения жидкости в трубах, каналах и на водосливах. Большое внимание уделено в них также разработке теории размерности и подобия и постановке лабораторных экспериментов.

В 1791 году вышла в свет первое русское руководство по гидравлике А. Колмакова «Карманная книжка для вычисления количества воды, вытекающей через трубы, отверстие или по желобам, также и силы, какой они ударяют, стремясь с данной скоростью».

Большой вклад в развитие гидравлики принесли советские ученые: А.Н. Колмогоров (теория турбулентности), Н.Н Павловский (теория фильтрации, равномерное и неравномерное движение жидкости), И.Н. Куколевский (теория машиностроительной гидравлики), С.А. Христианович (неустановившиеся движения жидкости) и многое другие.

 

1.1.2. Основные физические свойства жидкостей и газов

 

Все вещества в природе имеют молекулярное строение. По характеру межмолекулярных связей жидкости занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами. Свойства жидкостей при высоких температурах и низких давлениях ближе к свойствам газов, а при низких температурах и высоких давлениях – к свойствам твердых тел.

Гипотеза сплошности. Жидкость в целом рассматривают как сплошную среду, непрерывно заполняющую пространство, т.е. принимают, что в жидкости нет пустот или разрывов, что все характеристики жидкости являются непрерывными функциями, имеющими непрерывные частные производные по всем своим аргументам. 

Рассмотрим следующие свойства и понятия:

•      плотность

•      удельный вес

•      удельный объем

•      сжимаемость (модуль упругости, скорость звука)

•      температурное расширение

•      вязкость (закон Ньютона, вискозиметр, текучесть)

•      сопротивление растяжению

•      поверхностное натяжение (капиллярность)

•      растворимость газов в жидкостях (закон Генри, кавитация)

•      понятие об идеальной жидкости

Замечание о системах единиц

Исторически сложилось так, что одновременно используются 3 системы единиц.

Международная система единиц измерения СИ (система интернациональная) – рекомендована к применению, однако учебники, инструкции и приборы не всегда ей соответствуют. СИ (метр, килограмм массы, секунда)

Физическая СГС (сантиметр, грамм, секунда)

Техническая МКГСС (метр, килограмм силы, секунда)

1. Плотность – масса единицы объема  

 Плотность характеризует распределение массы жидкости m по объему V .  В произвольной точке A жидкости плотность _A  Vlim_{0 }^_V^m , 

где m – масса, заключенная в объеме V , стягиваемом в точку A. 

Плотность однородной жидкости равна отношению массы m жидкости к ее объему m    ^кг

V : V . Единица измерения _ м₃ . 

Все жидкости кроме воды характеризуются уменьшением плотности при увеличении температуры. Плотность воды максимальна при 4С ^_воды1000 кг/м³   и уменьшается как с уменьшением, так и с увеличением температуры. В этом проявляется одно из аномальных свойств воды. В гидравлических расчетах можно принимать плотность воды неизменной 1000 кг/м³.

 

G        mg V V

2.  Удельный вес – вес единицы объема.                g     Запомнить: g   

 

Единица измерения в системе СИ ^ н/м³ . ^_воды 9810 н/м³. 

В гидравлических расчетах можно принимать g=9.81 м/c². 

Точная константа для перевода единиц измерения 9,80665. 

3.  Удельный объем – объем единицы массы  ^V  ¹  

m 

По определению величина обратная плотности; единица измерения м³/кг.

 

4. Сжимаемость – способность жидкости изменять объем при изменении давления.  

 

 

Рис. 1.1. Объемное сжатие

 

Характеризуется коэффициентом объемного сжатия _p , Па^-1, представляющим относительное изменение объема жидкости V при изменении давления p на единицу (при постоянной температуре).

dV

                 ^_p     . Знак «минус» в формуле указывает, что при увеличении давления

V dp

объем жидкости уменьшается. 

 

Величина обратная коэффициенту объемного сжатия – модуль (объемной) упругости

1

жидкости (не следует называть «жесткость», как в физике). E      .  ^E_воды2,110³

_p

МПа,  ^E_стали  2,110⁵ МПа.

Сжимаемость воды весьма незначительна. При увеличении давления на 100 кПа (примерно 1 кг/см²) объем воды уменьшится на 1 / 20 000. В гидравлических расчетах можно считать воду несжимаемой средой. Однако это справедливо лишь при небольших давлениях. Так, если бы вода в Мировом океане была абсолютно несжимаема, то уровень воды поднялся бы на 30 метров. Учитывать сжимаемость надо в гидравлических следящих приводах и в теории гидроудара. 

 В безграничной однородной жидкости или в объеме, ограниченном абсолютно жест-

E

кими стенками, скорость распространения звука c  .  



Для воды при 10С  c=1425 м/с.

 

5.                    Температурное расширение – свойство жидкостей изменять объем при изменении температуры.

Характеризуется  коэффициентом температурного расширения ^_t , С ^–1, представляющим относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на 1С (при постоянном давлении).

dV (знак «плюс», т.к. при увеличении температуры объем увеличивается).

^_{t } V dt

Величина ^_t для воды меняется в зависимости от температуры. Из сказанного ранее следует, что для воды при 0С  ^t =0. Удельный объем воды при различных температурах и давлениях могут быть посчитаны по специальным формулам и приводится в таблицах (см. Ривкин, Александров) 

 

6.                    Вязкость – это свойство жидкости оказывать сопротивление относительному сдвигу ее слоев.  

Вязкость проявляется в том, что при относительном перемещении слоев жидкости на поверхности их соприкосновения возникают силы сопротивления сдвигу, называемые силами внутреннего трения или силами вязкости.

 

Рис. 1.2. График движения жидкости вдоль стенки

 

Рассмотрим движение жидкости вдоль стенки. Слой жидкости, непосредственно прилегающий к стенке, прилипает к ней. Существует разность скоростей между соседними слоями и возникает взаимное скольжение слоев, которое приводит к возникновению силы du

внутреннего трения.Сила трения T  F . Касательное напряжение сдвига есть dy

сила, отнесенная к площади действия. По закону Ньютона для вязкого трения касательное напряжение  du

 , ЗАКОН НЬЮТОНА (закон внутреннего трения Ньютона) dy du

где  – градиент скорости в направлении, перпендикулярном движущимся слоям dy жидкости.

Напомним: напряжение это сила, приходящаяся на единицу площади, следовательно силу вязкого трения T между слоями жидкости площадью F можно найти: du

T F  F       

dy

(Коэффициент пропорциональности   есть динамический коэффициент вязкости жидкости (иногда называют абсолютной вязкостью в отличие от кинематического коэффициента вязкости, который отнесен к плотности). Знак в формуле выбирают в зависимости от направления оси и знака градиента скорости так, чтобы касательное напряжение было положительным (ибо отрицательным оно быть не может – всегда тормозит слой с большей скоростью).

Единица измерения динамического коэффициента вязкости в системе СИ  ^ Пас.

Единица «пуаз» (в память французского ученого Пуазейля, обозначается П) в 10 раз меньше, т.е. 1 Пас =10 П.

                                                                      н          кг м         кг                г

 Для справки: Пас  м2 с  с2м2 с  _{м с} ,  П ^ _смс .

В гидравлических расчетах кроме динамической вязкости широко используют кинематический коэффициент вязкости (обозначается буквой – «ню», греч.), равную отношению динамической вязкости  к плотности жидкости   



                                                                     



м2

Единица измерения кинематической вязкости в системе СИ     . с

Единица «стокс» (в память английского ученого Стокса, обозначается Ст) равна см²/с, следовательно 1 м²/с=10⁴ Ст. В справочниках используется «сантистокс», 100 сСт=1 Ст.

С повышением температуры кинематическая вязкость газов увеличивается, а вязкость капельных жидкостей уменьшается.

 

 

Рис 1.3. Иллюстрация увеличения кинематическая вязкости газов и уменьшения вязкость капельных жидкостей при увеличении температуры.

 

 

Для воды и воздуха , Ст	С	температура,	Вода	воздух
		0 С	0,0179	0,133
		20 С	0,0101	0,151

 

Поэтому с целью уменьшения потерь при транспортировке вязкие жидкости, например мазут, нагревают, а воздуховоды и газопроводы охлаждают.

0,0178

Для воды вязкость (до 60 С)   ^10,0337t 0,000221t2  (Киселев, стр. 13)

Измерение вязкости производят с помощью приборов различных типов и конструкций, называемых вискозиметрами. 

Вискозиметр Энглера. Термостат с сосудом объемом 200 см³ с отверстием в дне диаметром 3 мм. Вязкость измеряется в градусах Энглера (обозначается Е). Градусом Энглера называется отношение времени истечения 200 см³ исследуемой жидкости к времени истечения  такого же объема дистиллированной воды (примерно 50с) при температуре 20С. Для перехода от вязкости жидкости, выраженной в градусах Энглера, к кинематическому коэффициенту вязкости можно пользоваться эмпирической формулой Фогеля

       0,0731^oE 0^,_o^0631_, см²/с .                                           

                                                E 

 

С свойством вязкости связано свойство текучести.  

Текучесть – способность существенно изменять форму под действием слабых внешних воздействий, в частности под действием силы тяжести. 

Текучесть свойственна жидкостям и газам в которых частицы легкоподвижны и нет касательных напряжений между слоями в состоянии покоя. Численно текучесть – величина обратная вязкости.

 

7.                    Сопротивление растяжению жидкости не сопротивляются растягивающим напряжениям. При снижении давления до давления насыщенных паров жидкости при данной температуре в жидкости образуются пустоты, заполненные паром. Нарушается целостность жидкости. Если давление повысить, то пустоты исчезнут, пар снова перейдет в жидкость.

 

8.                    Поверхностное натяжение жидкости под действием внутренних сил стремится уменьшить свою поверхность, если ей в этом не препятствуют какие-либо силы. Коэффициент поверхностного натяжения («сигма», греч.) численно равен работе, которую нужно затратить для увеличения поверхности жидкости на единицу площади. Другое определение: коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе поверхностного натяжения, действующей на единицу длины контура, ограничивающего поверхность.

Для воды =0,074 н/м.

Из-за поверхностного натяжения давление в капле воды радиуса r больше давления в

2

окружающей среде на величину p   . На ту же величину больше давление в пузырьке r

воздуха в толще жидкости.

Капиллярность – способность жидкости подниматься или опускаться под действием сил поверхностного натяжения в трубках малого диаметра. 

Жидкость может смачивать поверхность твердого тела (вода – стекло) или не смачивать (ртуть–стекло).

Внутренний диаметр трубок пьезометров не должен быть меньше 5 мм, чтобы не было искажения показаний.

            

 

9.      Адгезия – способность молекул жидкости прилипать к поверхности твердого тела. 

 

10.  Растворимость газов в жидкостях подчиняется закону Генри ^Vг  k ^p , при-

                                                                                                                                                                         Vж         po

чем k  f (t^o) . Растворенный в воде при нормальных условиях воздух составляет 2% по объему. Коэффициент растворимости воды k=0,016 при Н.У. (101 кПа, 15С), для масла k=0,08.

Кавитация – процесс образования паро-воздушных пузырьков в области пониженного давления и их захлопывание в области повышенного давления.

 

Газ как сжимаемая жидкость

В газах расстояния между молекулами больше, а межмолекулярные силы меньше, чем в жидкостях и твердых телах, поэтому газы отличаются от жидкостей и твердых тел обладают большей сжимаемостью.

Плотность газов существенно зависит от температуры и давления и может быть определена с использованием закона Менделеева – Клапейрона  

pv RT , где  p – абсолютное давление; v – удельный объем газа; R

=287,1 Дж/кгК– универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура К p

(С+273,15). Учитывая, что 1/_v имеем:       . RT

Жидкость и основные понятия гидравлики

Жидкость – тело, обладающее свойством текучести, т.е. способное сколь угодно сильно изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил. В отличие от газа весьма мало изменяет свою плотность при изменении давления. 

 

Жидкая частица – выбранный для рассмотрения бесконечно малый объем жидкости, сохраняющий все ее свойства.

Жидкая частица – часть жидкости, малая по сравнению с объемом рассматриваемой жидкости, и в то же время объем частицы велик по сравнению с объемом молекулы жидкости.

Обычно в жидкости выделяют для рассмотрения прямоугольный параллелепипед («кубик») с ребрами dx,dy,dz , ориентированными по координатным осям.

Тогда объем жидкой частицы («элементарный объем»)

                                                                                                    dV  dx dy dz ,                  масса                частицы

 dm dV dx dy dz .

Эти очевидные соотношения в дальнейшем будут неоднократно использоваться без пояснений.

 

 

Идеальная жидкость – это воображаемая жидкость абсолютно несжимаемая и невязкая.

Невязкая – при движении не возникает касательных напряжений.

Реальная жидкость( «вязкая жидкость») – жидкость действительная, обладающая всеми характерными для нее физическими свойствами (обычно противопоставляется термину «идеальная жидкость»).

Капельная жидкость – образует капли, так как на поверхности раздела жидкости и газа действуют силы поверхностного натяжения.

В гидравлике рассматриваются только капельные жидкости, т.е. обладающие свойством текучести, но в отличие от газа крайне мало изменяющие свою плотность при изменении давления.

 

1.1.3. Силы, действующие на жидкость

 

К покоящейся жидкости не могут быть приложены сосредоточенные силы, а только распределенные по объему(массовые) или по поверхности (поверхностные).

 

1. Массовые силы:

Плотность распределения массовой силы есть сила, отнесенная к массе.

Сила тяжести – обусловлена Земным притяжением На элементарную массу dm действует сила dG.

dG

Плотность распределения силы          g (ускорение dm

свободного падения). 

Сила инерции – обусловлена движением с ускорением a0. dP_ин  dma .

Плотность распределения силы инерции dPин  a

dm

                                                                               (ускорение).

Направление скорости безразлично.

Центробежная сила – обусловлена движением с ускорением при вращении. (фактически сила инерции)

2

                                                                                                                   2               u

                                                                                    dP_цб dm r dm  , где – угловая скорость

r

вращения; r – радиус, на котором находится масса dm ; u – линейная скорость.

                                                                                  Плотность      распределения     центробежной      силы

dPцб 2 r (ускорение) dm

 

Поверхностные силы 

Силы, действующие на каждый элемент поверхностей, ограничивающих жидкость, и на каждый элемент поверхностей, проведенных произвольно внутри жидкости, называют поверхностными.

Сила dR, действующая на площадку площадью F , представляется как сумма силы нормального напряжения Pи силы касательного напряжения T .

 

Плотность распределения поверхностной силы есть сила, отнесенная к площади действия.

P F T F

Плотность распределения нормальных сил p    называют нормальным напряжением

(давлением). Плотность распределения касательных сил     называют касательным

напряжением.

 Массовые и поверхностные силы могут быть внешними и внутренними.

Внешние силы действуют на рассматриваемую массу и поверхность жидкости извне и приложены соответственно к каждой частице жидкости, составляющей массу, и к каждому элементу поверхности, ограничивающей жидкость. Внутренние силы представляют собой взаимодействие частиц жидкости. Они являются парными, их сумма в данном объеме жидкости всегда равна нулю.

 

Гидростатика – раздел гидравлики, изучающий законы равновесия жидкостей в состоянии покоя.

Абсолютный покой – все частицы жидкости неподвижны относительно Земли (в общем случае – относительно неинерциальной системы отсчета)

Относительный покой – частицы жидкости неподвижны по отношению к резервуару, который движется с ускорением относительно Земли.

 

P

               Нормальное напряжение – плотность распределения нормальных сил p   .

F

Это нормальное усилие отнесенное к величине этой площади.

P

p  lim

F0 F

Нормальное напряжение – вектор.

Свойства нормального напряжения

1.                    Нормальное напряжение действует по внутренней нормали к пощади действия (является сжимающим напряжением).

Доказательство. Покажем, что сила P действует по внутренней нормали к площадке F . Доказательство от противного. а) Если бы сила была направлена не по нормали, то ее можно было бы разложить на нормальную и касательную составляющие. Из-за текучести жидкости касательная составляющая привела бы жидкость в движение, т.е. в этом случае равновесие жидкости было бы невозможно. Значит сила направлена по нормали. б) Так как жидкость не сопротивляется растягивающим напряжениям, то сила P может быть только сжимающей.

2.                    В покоящейся жидкости значение (модуль) нормального напряжения не зависит от ориентации площадки.  

             Доказательство. 

z                                            Выделим в покоящейся жидкости элементарную частицу в форме тетраэдра с ребрами x , _y , z, выбранными вдоль координатных осей. Площадь основания xy , высота z, объем (одна треть

                                                                                                            площади        основания        на        высоту)

1 V     x y z .

6

 

Отбросим окружающую тетраэдр жидкость и для сохранения равновесия приложим к каждой грани тетраэдра поверхностные силы ^P_x , P_y , ^Pz по направлениям осей и ^Pn

, действующую на наклонную грань по направлению нормали к ней n . Кроме поверхностных на жидкость, заключенную в тетраэдре, действует массовая сила, проекции плотности распределения которой на оси координат обозначим X , Y , Z .

Массовая сила равна произведению массы на плотность распределения силы. В направлении оси x действует массовая сила V X .

 Уравнение равновесия жидкости, заключенной в тетраэдре (сумма сил равна нулю), в проекции на ось x :

^P_x  V X  ^P_n cos(n,x) , здесь (n, x) –угол между нормалью к наклонной грани и осью координат. 

Разделим обе части уравнения на площадь грани, перпендикулярной оси x :

P_x V X  P_n cos(n,x)

F_x             F_x                  F_x

 Упростим, учитывая что ^F_x ^F_n cos(n.x) yz

^Px  ^xX  ^Pn . Стягиваем тетраэдр в точку, второе слагаемое обращается в 0,

F_x              3           F_n

имеем:  ^p_x  ^pn . Проекции уравнения равновесия на другие оси приведут к выводам: py  pn и pz  pn .

Следовательно ^p_x  ^p_y  ^p_z  ^p_n . Таким образом доказано, что величина нормального напряжения в любой точке покоящейся жидкости не зависит от направления действия.

                       p2                      p1 Это позволяет характеризовать напряженное состояние по-коящейся жидкости в каждой точке скалярной величиной,

представляющей значение нормального напряжения в этой

12 точке и называемой гидростатическое давление (в даль-

нейшем слово «гидростатическое» опускается). 

 

 

Давление может быть неодинаковым в разных точках покоящейся жидкости:

p  f (x, y,z) . 

Единицы измерения давления:

_p_ ^н₂ =Па (Паскаль)  1 кПа=10³Па;  1 МПа=10⁶ Па;  1 бар=10⁵ Па м

1^кГс _1ат=9.8110⁴Па 

2

см

Единицы столба жидкости (мм рт.ст; м вод.ст.)

 

1.1.4. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера^[1]

 

Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое относительно неинерциальной системы координат x, y, z . Выделим в этой жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx,dy,dz , параллельными соответствующим осям координат. Объем параллелепипеда

dV  dxdydz , масса dmdV dxdydz .

Отбросим жидкость, окружающую параллелепипед, и заменим действие отброшенной жидкости силами. Это будут сжимающие поверхностные силы давления.

Кроме них на жидкость действуют массовые силы, проекции плотности распределения которых на оси координат X,Y,Z .

 

^{Массовая сила в направлении оси} x составит X dm Xdxdydz

Пусть давление в центре выделенного объема равно p . Давление непрерывная функ-

p x p dx x 2

ция координат, градиент давления в направлении оси x составит    (ограничимся первой

производной). Тогда давление на левой грани p          , давление на правой грани

p dx

p     . Составим уравнение равновесия жидкости, заключенной в параллелепипед

x 2

(сумма сил равна 0). В проекции на ось x получим

                                                            p dx                 p dx           0

                       X dxdydzp     dydzp   dydz

                                                            x 2                   x 2 

Раскроем скобки и разделим на массу dmdxdydz . Тогда, с учетом проекций на другие

оси, имеем:
1 p X     0 x  1    p Y     0               y        1    p        Z     0               z       	(*) Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера.

Основное уравнение гидростатики

Умножим дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера на dx, dy, dz соответственно и сложим (по размерности имеем: Х – сила, действующая на единичную массу, dx– путь, результат умножения – работа)

                                                                      1p          p         p     

XdxYdyZdz xdxydy z dz0

_

Давление p зависит от координат, т.е. p  f (x, y, z) . 

                                                                                                                                                p          p          p

Полный дифференциал давления (из математики): dp  dx dy dz.

                                                                                                                                                x          y          z

Имеем:  dp(XdxYdyZdz)  – уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде.

 

Воспользуемся полученным уравнением для частного случая, когда из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести. На элементарную массу dm действует сила веса G  dm g в направлении, противоположном оси z. Потенциал массовых сил (отношение сил к массе) в проекциях на оси координат: X 0, Y 0, Z _g .

Подставляем в объединенное уравнение Эйлера dp gdz или dz ^dp 0

g

После интегрирования получаем основное уравнение гидростатики. Для всех точек покоящейся жидкости сумма геометрического и пьезометрического напоров есть величина p

постоянная z     const H_г – гидростатический напор.

g

 

1.1.5. Давление абсолютное, избыточное и вакуумметрическое

 

 На поверхности Земли действует атмосферное давление. Все тела находятся под действием давления столба воздуха. На поверхность жидкости в открытом сосуде всегда действует атмосферное давление, в закрытом сосуде давление может быть, как больше атмосферного (избыточное давление) так и меньше атмосферного (вакуумметрическое давление).

 

Точка А – абсолютное давление выше атмосферного, избыточное характеризует превышение абсолютного давления над атмосферным, иногда называется манометрическим. 

Точка В – абсолютное давление равно атмосферному. Избыточное равно нулю.

Точка С – абсолютное давление меньше атмосферного (вакуум). Вакуумметрическое давление характеризует на сколько абсолютное давление меньше атмосферного. (избыточное давление отсутствует, формально оно отрицательно).

Определения.

Давление абсолютное – характеризует интенсивность напряженного состояния жидкости, отсчитывается от абсолютного нуля давления. (редко : фактическое, реальное).

Давление атмосферное – давление воздуха на поверхности Земли. Принимается равным 1 кг/см² – техническая атмосфера (98,0665 кПа, 735,559 мм рт. ст.). Редко используется физическая атмосфера = 760 мм рт.ст.

Давление избыточное (манометрическое) – превышение над атмосферным.

pизб  p pат . 

Давление вакуумметрическое (вакуум) – недостаток до атмосферного. pвак  pат  p. 

 

 

Формула для определения гидростатического давления в точке 

_С С На рисунке изображен сосуд с жидкостью в состоянии покоя. 

Давление на свободной поверхности ^p0 равно атмосферному давлению. ^p0  ^p_ат . 

Точка А выбрана на глубине h , а точка В на свободной поверхности. Положение точек от плоскости сравнения z и ^z0. Давление в точке А равно p , а в точке В равно давлению на свободной поверхности ^p0.

 

 

 

Запишем основное уравнение гидростатики для выбранных точек p p⁰ или

               z         z₀

                        g              g

p  ^p0 g(^z0  z).

Заметим, что ^z0  z  h – глубина погружения точки А. 

Окончательно формула для определения гидростатического давления в точке p  p0 gh.

здесь ^p0– абсолютное или избыточное давление на поверхности жидкости; 

p – соответственно абсолютное или избыточное давление в точке на глубине h жид-

кости плотности в поле силы тяжести. Слагаемое _gh называют весовым давлением, т.к. это вес столба жидкости единичной площади высотой h плотностью . Повторим:

если ^p0 взять абсолютное, то и p (результат) будет абсолютное. Если избыточное, то и результат избыточное. Так если в частном случае на поверхности жидкости давление равно атмосферному, то это значит, что избыточное давление на поверхности равно нулю.  Тогда избыточное давление в точке на глубине p  gh.

 

Геометрическое истолкование основного уравнения гидростатики

В сосудах находится жидкость, для определенности вода, в состоянии покоя. 

Рассмотрим три случая: давление на поверхности равно, больше и меньше атмосферного.

 

Сосуд с жидкостью под атмосферным давлением

 

Сосуд с жидкостью под давлением больше атмосферного

 

Сосуд с жидкостью под давлением меньше атмосферного

 

 

В первом случае сосуд открыт, во втором и третьем случаях сосуды закрыты.

Точка А везде выбрана на некоторой глубине h от поверхности воды, точка В на свободной поверхности. Положение точек А и В относительно плоскости сравнения 0-0 z и ^z0 . На высоте точки А установлены водяные манометры – запаянные трубки из которых удален воздух (на рисунках слева). Вода в них поднимается на высоту, определяемую абсоp

лютным давлением  . Эта высота плюс высота положения точки А составляют гидростаg

тический напор ^H_г , который постоянен для всех точек покоящейся жидкости (основное p p⁰  ^H_г . Геометрическое место полученных выуравнение гидростатики) z   ^z0 

                                                                      g           g

сот есть плоскость гидростатического напора С-С. 

На высоте точки А установлены также пьезометры – трубки с открытым верхним концом, так что на жидкости в них действует атмосферное давление (на рисунках справа). Вода

в них поднимается на высоту ^pизб относительно точки А (если давление в точке А меньше ρg

pвак

атмосферного, то уровень воды будет ниже на величину        ). Эта высота называется ρg

пьезометрической высотой. Вместе с высотой положения она составляет пьезометрический напор.  Геометрическое место полученных высот есть плоскость пьезометрического напора D-D, которая всегда расположена ниже плоскости гидростатического напора на высоту pат . ρg

Основное уравнение гидростатики может быть записано для абсолютного и для избыточного давлений. В обоих случаях геометрическая высота точек, отсчитанная от плоскости сравнения, называется «геометрический напор».

Рассматриваем абсолютные давления. Тогда второе слагаемое – высота, определяемая абсолютным давлением, условно назовем «абсолютный напор». Оба слагаемые дают гидростатический напор.

Рассматриваем избыточные давления. Тогда второе слагаемое – «пьезометрическая высота». В случае вакуума это «вакуумметрическая высота». Вместе с геометрическим напором образуют «пьезометрический напор». 

 

Определения

Плоскость сравнения – горизонтальная плоскость для сравнения высот положения точек жидкости. Положение выбирается исходя из удобства измерений. Обязательное  требование – горизонтальность.

Геометрический напор – высота точки от плоскости сравнения.

Пьезометрический напор – высота подъема воды в пьезометре. Определяется избыточным давлением.

Геометрический смысл основного уравнения гидростатики:

для любой точки покоящейся жидкости :

•      сумма геометрического напора и напора, соответствующего абсолютному давлению в этой точке, есть величина постоянная, равная гидростатическому напору;

•      сумма геометрического напора и пьезометрической высоты есть величина постоянная, равная пьезометрическому напору.

 

Энергетическое истолкование основного уравнения гидростатики p

Основное уравнение гидростатики z    const. Слагаемые уравнения отнесены g

к весу единицы объема жидкости, т.е. поделены на g . Поэтому их называют «удельными», т.е. отнесенными к единице (в данном случае к единице веса).

Чтобы перейти к величинам, отнесенным к элементарной частице жидкости, достаточно умножить на ее вес dm g : p dmg z  dmg   const

g

 

Первое слагаемое есть сила веса частицы умноженная на высоту ее положения, т. е.

работа, необходимая для поднятия частицы на указанную высоту. Это потенциальная энергия положения.

Второе слагаемое после очевидных сокращений dV p есть работа, необходимая для

«создания» частицы, т.е. высвобождения занимаемого ею объема dV при сопротивлении силы, обусловленной давлением жидкости. Второе слагаемое –  «потенциальная энергия давления». 

(Подробно поясним это важное замечание: пусть объем частицы изменился от нуля до dV . Для этого граница частицы площадью dydz должна пройти против сил давления, равных произведению давления на ее площадь  pdydz путь dx; совершенная работа есть произведение силы на путь pdydzdx  pdV . Эту работу иногда называют «работа вытеснения»)

Сумма двух слагаемых есть полная потенциальная энергия частицы.

Переходя вновь к удельным величинам имеем:

Удельная потенциальная энергия положения и удельная потенциальная энергия давления составляют полную удельную потенциальную энергию, называемую гидростатический напор.

 

1.1.6. Закон Паскаля^[2]   Сначала приведем полную формулировку закона. 

Внешнее давление, производимое на пограничную поверхность жидкости, находящейся в равновесии в замкнутом сосуде, передается во внутрь жидкости одинаково всем ее частицам.

Другая формулировка (более общая)

Изменение давления в любой точке покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений.

 Применим основное уравнение гидростатики к двум точкам покоящейся жидкости z1  p¹  ^z2  ^p2 . Изменим давление в первой точке на p1, не нарушая равнове-

                          g           g

сия жидкости. Тогда во второй точке давление должно измениться на некоторое значение ^p₂. Из основного уравнения гидростатики следует, что 

z1  p1  p1  z2  p2  p2  или  p1  p2,  ч. т .д.

                                 g                    g

 

Потенциал массовых сил

 

Уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде dp  (Xdx Ydy  Zdz)

Равенство имеет смысл лишь в том случае, если правая его часть также есть полный дифференциал какой-то функции. Обозначим эту функцию через U U(x, y,z). Тогда

                                                                                           U        U        U

полный дифференциал ее будет dU         dx       dy       dz.

                                                                                            x         y         z

Примем dp  dU .

                                                             U           U             u

               Тогда имеем X  , Y   ,  Z   .

                                                              x             dy              z

Функцию U U(x, y,z) называют потенциальной функцией, а силы, для которых эта функция существует, – силами, имеющими потенциал.

 

Отсюда вывод: Жидкость может находится в равновесии только под действием массовых сил, имеющих потенциал, так как только такие силы удовлетворяют уравнениям равновесия Эйлера.

 

Поверхности равного давления

 

Поверхностью равного давления называют такую выделенную в жидкости поверхность, гидростатическое давление во всех точках которой одно и то же. Очевидно, что для такой поверхности dp  0 и p  const. Учитывая dp  dU получим dU 0 и U const.  Поверхности равного давления и равного потенциала совпадают.

Для жидкости, находящейся в покое под действием силы тяжести уравнение поверхностей равного давления z С (или h C ).

 

1.1.7. Относительное равновесие

 

Относительный покой (равновесие жидкости в движущемся сосуде)

При равновесии в движущемся сосуде жидкость движется вместе с сосудом как единое целое, т.е. находится в состоянии относительного покоя.

 

Сосуд, движущийся горизонтально и прямолинейно с постоянным ускорением

Рассмотрим равновесие жидкости, находящейся в сосуде, перемещающемся горизонтально с постоянным положительным ускорением a .

 

В том случае из массовых сил действуют сила тяжести G  dmg и сила инерции P_ин  dma , направление которой противоположно направлению ускорения.

Проекция плотности распределения силы тяжести Z  g , а силы инерции X a

.

Применим  уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде dp  (Xdx Ydy  Zdz)    dp   adx  g dz

После интегрирования p  a x g z C

При x  y  z  0 имеем C  p0, окончательно p  p0  ax  gz.

Уравнение поверхностей равного давления из условия ax  gz  C получим a      a

z    x C. Для свободной поверхности z    x . Тангенс угла наклона поверхностей g g

a

равного давления tg  (не зависит от ). g

Как распределено давление по глубине ? Обозначим h – глубину точки, отсчитанную a

по вертикали от свободной поверхности. Тогда z   x h . Подставим в выражение для

g

давления p  p0 ax  gz p0 ^_ax  ga_g x  gh__  p0  gh . Распределение

давления по глубине подчиняется гидростатическому закону.

 

Сосуд, движущийся вертикально с постоянным ускорением

В этом случае положительные значения ускорения a соответствуют ускорению, направленному вверх (по оси z), а отрицательные –когда ускорение направлено вниз.

Уравнение поверхностей равного давления z C.

Давление p  p0  (g  a)h .

 

Цилиндрический сосуд, равномерно вращающийся относительно вертикальной оси

 

Рассмотрим цилиндрический сосуд, заполненный до некоторого уровня жидкостью плотностью  и приведенный во вращение с постоянной угловой скоростью   относительно вертикальной оси. Через некоторое время после начала вращения сосуда жидкость под действием сил трения будет вращаться с той же скоростью, что и сосуд.

^x На элементарную массу dm, расположенную от оси на расстоянии r , действуют силы веса

G  dmg и центробежная сила инерции, направ-

2 . ленная вдоль радиуса и равная ^dP_цб  dm r  Ее проекции на оси координат (из подобия треугольников)

x                              2

                                                                                            dP_цбx  dP_цб  dm x ,

r

y                              2

                                                                                            dP_цбy  dP_цб  dm y 

r

 

Проекции вектора плотности распределения массовых сил при этом:

•      от силы тяжести X 0, Y 0, Z  g

•      от центробежной силы инерции X _²x , Y ^2y , Z 0.

Применим  уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде dp  (Xdx Ydy  Zdz)    dp  (²xdx ²ydy  g dz)

Для нахождения формы поверхностей равного давления произведем интегрирование при условии dp  0.

2 ^ (x²  y²)  gz  C или, поскольку x²  y²  r²,   2

                     2 2                                                          2

            r  gz  C , окончательно  z  r2 C¹

                     2                                              2g

Из полученной формулы ясно, что поверхности равного давления представляют собой семейство конгруэнтных параболоидов вращения с вертикальной осью. Свободная поверхность – частный случай поверхности равного давления, во всех точках которой давление равно внешнему давлению ^p0. Координаты вершины параболоида x 0, y  0, r  0,

z  z0. С1  z0.

2

 2

              Уравнение свободной поверхности ^z_св  ^z0  r

2g

Закон распределения давлений. Используем ранее полученное дифференциальное

                                                                                                        2                2

уравнение равновесия жидкости dp  ( xdx  ydy  g dz) . После интегрирования имеем:

p  ^_²2_r²  gz__^C₂. Из условий на вершине параболоида r  0, z  ^z₀ ,

p  ^p0 найдем C2  p0  gz0, после подстановки

2 2

 r

                p  p0   gz0  z

2

 

Установим, как распределяется давление по вертикали. Для этого подставим в полу-

2 2  r

ченное уравнение выражение из уравнения  свободной поверхности  ^z_св  ^z0. 2g

p  p0  g(z_св  z0)  g(z0  z)  p0  g(z_св  z)  p0  gh, где  h  ^z _св  z  – глубина погружения точки под свободной поверхностью.

Таким образом, в жидкости, покоящейся в равномерно вращающемся сосуде, давление по вертикали распределяется по гидростатическому закону.

 

1.1.8. Приборы для измерения давления

 

Гидростатическое давление – модуль сжимающего напряжения, возникающего в покоящейся жидкости. 

Свойства: 

1) направлено всегда по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует;  2) в любой точке жидкости по всем направлениям одинаково.

 

Приборы для измерения давления

 

Классификация:

По характеру измеряемой величины:

•      Барометры – для измерения атмосферного давления ^p_ат .

•      Манометры – для измерения избыточного давления 

•      (разницы между абсолютным и атмосферным давлением, т.е. ^p_изб  p  ^p_ат ).

•      Вакуумметры – для измерения вакуумметрического давления (разницы между атмосферным давлением и абсолютным, т.е. pвак  pат  p).

•      Дифференциальные манометры – для измерения разности давлений.  Микроманометры – для измерения малых давлений и малых перепадов давления.

 

По принципу действия различают приборы  жидкостные, пружинные,  поршневые, электрические,  комбинированные и др.

 

По классу точности образцовые, контрольные и рабочие. 

Класс точности численно равен отношению допустимой абсолютной ошибки измерения прибора  к верхнему пределу измерения pмакс в процентах K   pмакс 100 .

            

К = 0.25 ;  0.4 ;  0.6 – образцовые и контрольные; К = 1.0 ; 1.5 ;  2.4 ; 4.0 – рабочие.

 

К жидкостным приборам для измерения давления относятся пьезометры, манометры, вакуумметры, дифференциальные манометры.

 

Пьезометры применяются для измерения избыточного и вакуумметрического давления. 

 

Верхний конец пьезометра (стеклянной трубки) сообщается с атмосферой. Избыточное давление определяется по формуле p_изб  ^gh_р , где ^h_р - высота поднятия жидкости над изме-

ряемой точкой.

 

 

 

U – образный манометр представляет собой U – образную стеклянную трубку, заполненную рабочей жидкостью. Обычно в качестве рабочих жидкостей используют воду, спирт, ртуть, тетрабромэтан, бромистый этилен, бромистый этил. (глицерин, ЛР№4)

 

Давление на плоскости 0-0, называемой плоскостью сравнения, обозначим ^p_* слева: p_*  p_Аабс  gh справа: p*  pат  ртghрт 

Избыточное давление в сосуде 

pАизб  pAабс  pат  ^ртghрт gh^. 

Здесь   – плотность жидкости в сосуде, заполняющей

левое колено диффманометра. Если это воздух, плот-

 ность которого в 800 раз меньше плотности воды, то ею можно пренебречь. Тогда ^p_Aизб  ^_рт^gh_рт. 

Замечание. Использование ртути запрещено не только в учебных учреждениях, но и на производстве.

 

Дифференциальные манометры применяются для измерения разности давлений в двух точках покоящейся и движущейся жидкости. 

слева p_*  p2 gh2 ^_ртgh_рт справа p_*  p1g(h_рт h2  z1 z2)

 p1  p2  gh_рт^_рт ^gz1  z2.

 

Разность одинакова для абсолютных и избыточных давлений. 

 

Микроманометры с наклонной трубкой и наклонной шкалой позволяют измерять с большей точностью малые давления газов. Избыточное давление на поверхности жидкости в чашке равно

p_изб  ^_жglsin,

где ^_ж - плотность жидкости;

       - угол наклона трубки к горизонту.

 

 

Основными преимуществами жидкостные приборов является простота устройства и высокая точность измерений.

Принцип действия пружинных приборов основан на упругой деформации упругого элемента (трубчатой пружины, мембраны или сильфона) под действием давления. Деформация элемента пропорциональна величине измеряемого давления.

 

 

Пружинный манометр:

а – с трубчатой пружиной; б – с мембраной

 

Из металлических приборов наиболее распространенным на практике является пружинный манометр (см. рис.), принцип действия которого следующий.

Под действием давления жидкости полая пружина 1 частично распрямляется и посредством зубчатого механизма 2 приводит в движение стрелку 3, перемещающуюся относительно шкалы 4. Принцип действия пружинного манометра основан на уравновешивании силы давления жидкости упругой силой пружины. Пружинный манометр показывает избыточное давление.

Основной деталью прибора является согнутая по дуге окружности полая трубка, имеющая в сечении овальную форму (трубка Бурдона). Один из концов трубки запаян. Под действием давления свободный конец трубки поворачивается на некоторый угол, пропорциональный измеряемому давлению. При этом с помощью поводка поворачивается зубчатый сектор, который поворачивает шестеренку, с осью которой жестко связана стрелка.

Недопустимо подавать на манометры с упругим элементом давление больше максимально допустимого по паспорту прибора (и меньше – вакуум). Остаточная деформация упругого элемента неустранима, прибор испорчен.

 

В грузопоршневых приборах величина давления определяется по весу грузов, помещаемых на рабочей площадке поршня, под которым создано измеряемое давление.

 

 

Грузопоршневой манометр

 

Установка для поверки пружинных манометров по образцовому пружинному манометру вместо цилиндра 3 содержит устройство для присоединения образцового прибора. При поверке любого прибора сравнивают показания поверяемого прибора с показаниями образцового.

Приемным элементом электрических приборов, преобразующим величину деформации упругого элемента, пропорциональную давлению, в тот или иной электрический сигнал, является датчик давления. 

 

Используются датчики: 

•           индуктивные (дифференциальный трансформатор с подвижн. сердечником),

•           емкостные, 

•           пьезоэлектрические,   полупроводниковые 

•           датчики сопротивления. 

 

Важно для использования в системах управления и защиты – выходной сигнал электрический. 

Точность механических и электрических манометров достигает  0,1 % максимального значения шкалы.

 

1.1.9. Эпюры гидростатического давления

 

Эпюра гидростатического давления – графическое изображение закона распределения нормального гидростатического напряжения по поверхности. Давление можно рассматривать абсолютное, избыточное и весовое (только за счет жидкости). Если давление на поверхности жидкости совпадает с атмосферным давлением, то избыточное и весовое давления совпадают. Эпюры могут быть построены для всех перечисленных давлений, однако на практике строят обычно эпюры избыточного давления, принимая во внимание, что с другой стороны стенки также действует атмосферное давление. 

Эпюру всегда следует строить со стороны жидкости, помня о направлении действия нормальных напряжений в покоящейся жидкости (по внутренней нормали). 

На свободной поверхности имеем  p_абс  p0, p_изб  0 . На глубине h 

p_абс  p0  gh, ^p_изб  gh

 

 

 

 

1.1.10. Сила гидростатического давления жидкости на плоские поверхности

 

1.  Поверхность горизонтальна

Все точки горизонтальной площадки находятся на одинаковой глубине и испытывают одинаковое давление со стороны покоящейся жидкости.  Если свободная поверхность  жидкости открыта в атмосферу ( ^p0  ^p_ат), то сила избыточного давления на площадку площади F определяется по формуле ^P_изб  ghF , т.е. численно равна весу жидкости, заключенной в вертикальной призме с основанием F и высотой h . 

 

Сила ^P_изб направлена со стороны жидкости перпендикулярно стенке. Линия действия силы пересекает площадку F в центре тяжести, так как давление распределено по площадке равномерно. При равенстве ^p0, плотностей , площадей оснований F и глубин h независимо от формы сосуда сила давления на горизонтальное дно будет одной и той же. Так в расширяющихся кверху сосудах сила давления на дно меньше веса жидкости, в цилиндрических – они одинаковы, а в сужающихся кверху – сила давления больше веса заключенной в сосуд жидкости. Это явление, парадоксальное с точки зрения житейских представлений, носит название «гидростатический парадокс». (Б. Паскаль).

 

2.  Поверхность наклонна

Рассмотрим плоскую фигуру площадью F (часть наклонной стенки). На рисунке эта фигура условно развернута. Выделим элементарную площадку dF ,расположенную на глубине h , на которую действует элементарная        сила dP  pdF  p0  ghdF со стороны жидкости по нормали к площадке. Сила, действующая на всю площадь F , направлена также по

нормали.

 

P  dP  p0 ghdF

                                                                                                                                     F           F

Очевидно h  ysin, причем sinвеличина постоянная, выносится за знак интеграла.

Известно, что интеграл  ydF  S0_x  y_cF есть статический момент плоской фиF

гуры относительно оси 0x и равен произведению координаты центра тяжести плоской фигуры на ее площадь. 

P ^ ^p0dF ^ ghdF  ^p0 dF gsin^ydF  ^p0F gsin^y_cF

                          F                F                         F                          F

Воспользуемся соотношениями ^y_c sin ^h_c и p_c  p0  gh_c :

P  ^p0  ^gh_c F  ^p_cF .

Сила, действующая на плоскую стенку со стороны жидкости, равна произведению давления в центре тяжести на площадь. Центр давления – точка приложения равнодействующей силы давления жидкости на плоскую поверхность (точка d ).

Для нахождения координаты ^y_d воспользуемся теоремой Вариньона^[3] рассматривая момент сил относительно оси 0x (на рисунке точка 0).   

y_dP  ydP  Отсюда находим ^y_d : F

2

 ydP          y(p0 gh)dF  p⁰  ydF gsin^ y dF ^y_d  F           F            F         F        

                                   P                   P                                   P

Известно, что момент инерции плоской фигуры относительно оси 0x 

J0_x ^  y dF

                                       2        выразим через момент инерции плоской фигуры относительно оси,

F

2 приходящей через центр тяжести (параллельный перенос оси) ^J0_x  ^J_c  ^y_cF . Окончательно:

2

_{yd } p0y_cF gsin(J_c  y_c F) _.

(p0 gh_c)F

Если стенка вертикальная, то формула упрощается, т.к. y_с  h_c, sin1:

2

p

hd  0hcF g(Jc hc F) .

(p0gh_c)F

Если на поверхности жидкости избыточное давление равно нулю ( ^p0  0 ), то формула упрощается

2

yd  gsinJc gsin yc F  Jc  yc

                                               gsin y_cF                y_cF

J^c 

Окончательно координата центра давления ^y_d  ^y_c 

y_cF

Величину ^Jc  0 называют эксцентриситетом.  Напомним: J_c – момент инерции y_cF

плоской фигуры относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

 

 

Моменты инерции плоских фигур относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести (для справки)

	Круг		d – диаметр	4 d Jc  64
ник	Прямоуголь-		h – высота b– ширина	3 bh Jc  12
	Квадрат		a – сторона	4 a Jc  12

 

1.1.11. Сила гидростатического давления жидкости на криволинейные стенки

 

 Рассмотрим некоторую ограниченную часть твердой цилиндрической поверхности AB, которую назовем цилиндрической стенкой. Образующая стенки параллельна оси 0y

.

Пусть рассматриваемая стенка находится под односторонним воздействием покоящейся жидкости. 

Выделим элементарную площадку dF , ее проекции на координатные плоскости dFx0y и dFz0y .

Нормально к площадке со стороны жидкости действует сила dP, ее проекции на  оси dPx и dPz .   

Элементарная сила равна произведению давления на площадь dP  pdF  p0  ghdF

Проекция элементарной силы на ось x , учитывая, что ^dF_z0_y  dFcos dP_x  dPcos p0 ghdFcos p0 ghdF_z0_y

Проекция элементарной силы на ось z, учитывая, что  ^dF_x0_y  dFsin dPz  dPsin p0 ghdFsin p0 ghdF_x0_y Интегрированием найдем проекции силы, действующей на всю площадь стенки F .

На ось x :

P_x  dP_x  p0 ghdF_z0y  p⁰  dF_z0y g hdF_z0_y

                            F             Fz0y                                                      Fz0y                               Fz0y

Учтем выражение для статического момента плоской фигуры F_z0_y относительно оси

0y

S0y  hdF_z0y  h_cF_z0_y^, 

Fz0y где ^h_c – глубина погружения центра тяжести проекции ^F_z0_y .

P_x  p0F_z0y gh_cF_z0y  (p0 gh_c)F_z0_y

На ось z:

P_z  dP_z  p0 ghdF_x0y  p⁰  dF_x0y g hdF_x0_y

                            F             Fx0y                                                      Fx0y                                Fx0y

Заметим, что h^dF_x0_y  ^dV_тд – объем призмы высотой h , опирающейся на площадку dF и ограниченной сверху свободной поверхностью жидкости. 

h^dF_x0_y ^V_тд – объем «тела давления».

Fx0y

Определение. Тело давления – призма, ограниченная снизу криволинейной поверхностью, с боков вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие поверхности, сверху поверхностью жидкости (или ее продолжением).

Pz  p0Fx0y gVтд  p0Fx0y Gтд . 

Здесь ^G_тд – вес жидкости в объеме тела давления.

Окончательно:

P_x  (p0 gh_c)F_z0_y Pz  p0Fx0y Gтд

                                                                                                                                                   2        2

Р  P_x  P_z

P^z

tg

P_x

 

 

 

Если давление на свободной поверхности равно атмосферному, то избыточное давление ^p0  0 и формулы упрощаются:  ^P_x  ^gh_c^F_z0_y и ^P_z ^G_тд

Линия действия ^P_x проходит через центр давления (точка d ) площади проекции ^F_z0_y , а линия действия силы ^P_z проходит через центр тяжести тела давления. 

Если тело давления и жидкость находятся с одной стороны поверхности (жидкость заполняет тело давления), то сила ^P_z направлена вниз.

Если тело давления и жидкость находятся с разных сторон поверхности (жидкость не заполняет тело давления), то сила ^P_z направлена вверх (выталкивающая сила).

 

1.1.12. Закон Архимеда

 

Формулировка. Сила давления покоящейся жидкости на тело, погруженное в нее, равна весу вытесненной телом жидкости, направлена вверх и приложена в центре тяжести вытесненного объема.

Доказательство проведем, используя вывод для силы давления на криволинейную стенку.

Рассмотрим тело, погруженное в жидкость. Условно разделим тело на верхнюю и нижнюю половины сечением AC . Сила давления на верхнюю половину направлена вниз и равна весу жидкости в теле давления ABCFE .

Рв GABCFE 

Сила давления жидкости на нижнюю половину направлена вверх и равна весу жидкости в теле давления ADCFE . 

Рн GADCFE 

 

PA  Pн  Pв GABCD 

Сила Архимеда направлена вверх и равна весу жидкости в объеме ABCD , ч.т.д.

 

 Давление жидкости на стенки трубопровода и резервуара

 

В заключение раздела гидростатики рассмотрим напряжения, возникающие в стенке круглого трубопровода, находящегося под давлением жидкости.  

Рассмотрим отрезок трубы длиной b. Сила давления жидкости на стенку трубопровода есть произведение давления p на площадь действия bd : ^P_ж  pbd .

Эта сила уравновешивается нормальными растягивающими напряжениями в стенке трубопровода , действующими на площади 2b :    P_ст  2b После очевидных преобразований получаем: pd

                

2

Эта формула, связывающая нормальные напряжения в стенках трубопровода с давлением внутри него, называется «котельной формулой». Из нее, зная допустимое напряжение на разрыв материала стенки [_р], можно найти минимальную толщину стенки

pD

^_мин  .  При проектировании нужно учесть еще коэффициент запаса. 2[p]

Выше рассматривались напряжения в стенках, направленные перпендикулярно оси трубопровода.  Рассмотрим напряжения, направленные параллельно оси трубопровода.

2

d

              Давление вдоль оси действует на площадь  , а напряжение в стенке распределено

4

pd

по площади d. Приравняв, получим ^_l    . Значение напряжения в стенке, направ-

4

ленное вдоль оси в 2 раза меньше, чем напряжение, направленное поперек оси. Именно поэтому сосиски при варке рвутся вдоль, а не поперек.

 

Тема 1.2. Основы гидродинамики

 

1.2.1. Общие сведения и краткая история развития 

 

Кинематика жидкости – раздел гидромеханики, в котором изучают виды и характеристики движения жидкости, но не рассматривают силы, под действием которых это движение происходит.

 

Модель жидкости – совокупность жидких частиц, заполняющих объем без пустот и разрывов.

Жидкая частица – часть жидкости, малая по сравнению с объемом жидкости, но достаточно большая, чтобы пренебречь молекулярной структурой.

Полюс жидкой частицы – центр тяжести. Движение рассматривается отдельно как движение полюса, вращение вокруг полюса и деформация частицы.

 

Методы описания движения жидкости

 

1. Метод Лагранжа^[4] – рассматривается движение каждой частицы жидкости.

 

В начальный момент времени каждая частица имеет координаты x0, y0, z0. 

При движении частицы ее координаты зависят от времени: x  x(x0, y0,z0,t)



           y  y(x0, y0,z0,t) z  z(x0, y0,z0,t) ^_

Здесь x0, y0, z0,t – параметры Лагранжа.

            

                                                                                                                          x            y            z

                Проекции скорости  частицы u  на оси   ^u_x   ;   ^u_y   ;   ^u_z  .

                                                                                                                          t            t            t

 

^a_x  u_x  t22x ;   ay  _u_ty  _²_t2y ;  

Проекции ускорения  на оси 

t

2

               uz       z

az  t  t2 .

Метод Лагранжа используется редко, только при решении специальных задач.

 

2. Метод Эйлера (метод описания движения жидкости)

Метод Эйлера изучает поля векторных или скалярных величин, оставляя в стороне вопрос о движении каждой частицы. 

Движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторой неподвижной области, выбранной в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами x, y,z находится частица жидкости, имеющая скорость u . Эту скорость называют мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей.

Скалярное поле – область пространства, каждой точке которой поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины. Векторное поле – область пространства, каждой точке которой поставлено в соответствие значение некоторой векторной величины.  В общем случае оно может изменяться по времени и по координатам: 

u  u_xi u_y j u_zk ;

u_x u_x(x, y,z,t)



u_y u_y(x, y,z,t)



u_z u_z(x, y,z,t) 

Переменные x, y,z,t называют переменными Эйлера.

 

Ускорение жидкой частицы в проекциях на оси координат dux _, duy _, duz _.

                  dt         dt         dt

Из математики полный дифференциал функции нескольких переменных dux  ux dt  ux dx ux dy ux dz.

                                  t          x          y          z

Замечание. В общем случае dx,dy,dz произвольны, однако будем полагать, что это проекции элементарного перемещения ds жидкой частицы на оси координат, тогда dx dy dz

  u_x,          u_y,          u_z . dt dt      dt

 

Полная производная скорости по времени (полное ускорение) в проекции на ось x и аналогично на другие оси:

du_x  ux  uxx ux  uyx uy  uzx uz  dt     t



                du_y      u_y      u_y           u_y           u_y      

  u_x  u_y  u_z  dt t x y z 

du_z  uz  uz ux  uz uy  uz uz  dt t        x      y     z      

 

Здесь в каждой строке:

•      первое слагаемое ^ux – локальная производная (локальное ускорение)  t

u

•      т_{рехчленная сумма}     ^x u_x  u^x u_y  u^x u_z – конвективная производная (конвек-

                                                                   x          y           z

тивное ускорение), поскольку оно определяет ускорение частицы при изменении ее положения в поле скоростей (конвекции) .

Полную производную иногда называют субстанциальной ( от слова «субстанция») производной. 

Если движение установившееся, т.е. не зависит от времени, то локальные производные равны нулю:

ux  uy  uz  0

                  t       t       t

Если движение плоское, т.е. скорости на зависят от z и установившееся, то

dudtx uxx ux uyx uy 



dudty uxy u_x uyy uy 

 

Если движение одномерное, то имеем ускорение жидкой частицы (по обозначению u  u_x ): du   u

 u . dt x

Метод Эйлера описывает движение жидкости через поле скоростей и поэтому ускорения жидкой частицы в нем выражаются специальной «субстанциальной» производной, а не как в технической механике.

 

1.2.2. Основные понятия кинематики

 

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к ней.

 

Для плоского движения  dy

на линии тока           tg dx

из соотношения проекций ско-

uy

                                                                                                                        рости   tg

ux

 

 

Уравнение линии тока 

                                                                       dx               dy

                      на плоскости:                                       

                                                                u_x(x, y,t)      u_y(x, y,t)

                                                                                                       dx                   dy                   dz

                     для трехмерного движения                                                                   .

                                                                                            u_x(x, y, z,t)      u_y(x, y, z,t)      u_z(x, y, z,t)

Через произвольную точку потока может проходить лишь одна линия тока => Линии тока не пересекаются. (исключение – особые точки потока).

Траектория частицы – геометрическое место последовательных положений элементарной жидкой частицы в пространстве.

Траектория частицы это характеристика потока по методу Лагранжа, а линия тока – характеристика потока по методу Эйлера. В установившемся движении совпадают.

Трубка тока – поверхность, образованная системой линий тока, проходящих через точки малого замкнутого контура. 

 

Пояснение: если в сечении потока провести малый не пересекающий себя контур и через каждую точку его провести линию тока, то полученная поверхность называется трубка тока.  Если контур ограничивает бесконечно малую площадку, то получится элементарная трубка тока.

 

Элементарная струйка – жидкость, заключенная в элементарной трубке тока.

Свойства элементарной струйки 1. При установившемся движении ее форма не меняется.

2.    Является непроницаемой для жидкости

3.    Скорость в пределах сечения можно считать постоянной

 

Поток жидкости – совокупность элементарных струек, движущихся через площадь больших (конечных) размеров (с разными скоростями).

Бывают безнапорные, напорные потоки и гидравлические струи.

 

Характеристики потока

1.                    Живое сечение потока – сечение, во всех точка которого линии тока, пересекающие его нормальны к нему. Площадь живого сечения потока есть сумма площадей живых сечений составляющих его элементарных струек F  dF .

F

2.                    Смоченный периметр – длина линии, по которой живое сечение потока соприкасается с твердыми поверхностями, ограничивающими поток. Обозначается  («хи», греч.)

 

3.                    Гидравлический радиус – отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру. Обозначается ^R_г .

Примеры потоков.

Напорный трубопровод круглого поперечного сечения (внутренний  радиус трубы r ):

•    площадь живого сечения F ^r2  смоченный периметр  2r

F r2      r        d  гидравлический радиус ^R_г  ^ 2_r ^ 2  ( обратить внимание:  ^R_г ^ 4 )

Открытое русло шириной b и глубиной h :

 

•    площадь живого сечения F  bh  смоченный периметр  b 2h

                                                                                       F       bh

•    гидравлический радиус ^R_г                

 b  2h

•    для широкого потока при b  h имеем ^R_г  h.

 

4. Расход жидкости в потоке – объемное количество жидкости, протекающее через живое сечение потока в единицу времени.

 

Расход через живое сечение элементарной струйки dQ udF . 

Пояснение: скорость в пределах живого сечения элементарной струйки можно считать одинаковой u , площадь сечения dF . За время dt сечение струйки переместится на ds  udt . Прошедший через сечение объем dV  dsdF . Объемный расход dV dsdF ds

dQ    dF  udF dt dt st

Чтобы найти расход по всему потоку интегрируем по площади потока Q  udF. F

Единицы измерения объемного расхода Q м3с

                                                                                                                                                                        3                   3

                также используются лс,     м3ч,    см3с . Очевидно 1л 1дм  103 см .

                                                                                                                                                    с         с               с

В гидравлике по умолчанию расход всегда объемный. 

Если имеется в виду массовый расход, то это оговаривается особо. Массовый расход обозначается M , измеряется кгс .

              Для     газов     (как     сжимаемых     жидкостей)     используется     массовый     расход

М  Q  F .

 

5. Средняя скорость в потоке – частное от деления расхода на площадь живого сечения потока. Обозначается  ( в отличие от местной скорости u ).

 

 Пояснение. Средняя скорость в сечении одинаковую для всех точек сечения воображаемую скорость, при которой через данное живое сечение проходит тот же расход, что и при действительных местных скоростях, разных в различных точках сечения. 

 

1.2.3. Виды движения жидкости 

 

1. Неустановившееся (нестационарное) – параметры меняются во времени.   u  u(x, y,z,t)   p  p(x, y,z,t)

При этом линии тока не совпадают с траекториями частиц. 

Пример – истечение из отверстия при переменном напоре.

1-поток в первый момент времени  2-поток в момент, когда точка частица из точки ^A1 переместилась в точку ^A2 . Траектория частицы A1  A2.

 

По характеру изменения скоростей во времени неустановившиеся движения подразделяются на быстро изменяющиеся и медленно изменяющиеся. 

Медленно изменяющиеся часто называют также квазиустановившимися (квазистационарными). («квази» лат.– якобы, почти, как бы).

 

2. Установившееся (стационарное) – параметры не меняются во времени. 

 

Локальные производные равны нулю.   uu(x, y,z)   p  p(x, y,z)

Линии тока совпадают с траекториями частиц. 

 

Пример – истечение из отверстия при постоянном напоре. 

 

 

 

Установившееся движение по характеру изменения скоростей подразделяется на равномерное и неравномерное. 

Равномерное движение

Линии тока параллельны и прямолинейны.

Размеры и форма живых сечений и средние скорости потока по его длине не меняются. 

 F1  F2    ^1 ^2

Местные скорости в соответствующих точках живых сечений одинаковы. Ускорения при равномерном движении потока равны нулю.

 

Неравномерное движение Линии тока не параллельны. Площади живых сечений и средние скорости переменны по длине потока. Такое движение бывает ускоренное  и замедленное

 

В зависимости от характера и сочетания ограничивающих поток поверхностей потоки делят на безнапорные, напорные и гидравлические струи.

Безнапорные потоки – ограничены частично твердой, частично свободной поверхностью.

Напорные потоки – ограничены твердой поверхностью, испытывающей давление потока, поток заполняет все сечение.

Гидравлические струи – ограничены только жидкостью или газом.

 

1.2.4. Уравнение постоянства расхода для потока жидкости и газа

 

Рассмотрим установившееся движение потока жидкости или газа, ограниченного твердыми непроницаемыми стенками. Выделим в потоке два сечения 1-1 и 2-2. Массовый расход через выбранные сечения обозначим ^М1 и ^M2 .

 

В установившемся движении ^M1  ^M2  idem , т. к. в жидкости не образуется пустот и разрывов и масса не может вытекать через стенки.

Замечание: (idem – неизменный const  – постоянный).

 

Вспомним, что M  Q и Q F и получим:

11F1  22 F2  idem Уравнение постоянства расхода для потока сжимае-мой жидкости (газа)

 

Если жидкость несжимаема, то 1  2   const . В этих условиях:

                ^₁^F₁ ^₂ ^F₂  idem Уравнение постоянства расхода для потока несжима-_{емой жидкости}

 

Иногда эти уравнения называют уравнениями неразрывности для потока жидкости или газа.

 

1.2.5. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме

 

Выделим в области, занятой движущейся жидкостью, неподвижный бесконечно малый параллелепипед (кубик), у которого ребра dx,dy,dz параллельны соответствующим осям координат. 

Выделенный кубик неподвижен в пространстве, а через его грани протекает несжимаемая жидкость. Очевидно, что масса входящей за время dtжидкости равна массе выходящей за то же время  жидкости. 

 

 

Сначала рассмотрим грани перпендикулярные оси x , левую и правую.  Их площадь одинакова: dydz .

Скорость втекающей через левую грань жидкости ^u_x можно считать одинаковой по всей грани. Тогда за время dt через левую грань войдет масса ^dm_x __вх ^u_xdydz.

По гипотезе сплошности скорость жидкости ^u_x есть непрерывная дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда скорость жидкости на правой грани, которая отстоит

u^x dx.  от левой на расстояние dx составит u_x ^

x

                                                                                                                                                            u^x dxdydz.

Выходящая за время dtчерез правую грань масса ^dm_{x_вых}  ^u_x 

                                                                                                                                                              x     

Изменение массы жидкости в объеме параллелепипеда за счет входа и выхода жидкости через левую и правую грани:

u^x x

dm_x  dm_x__вх dm_x__вых dxdydzdt

Аналогичные выражения могут быть получены по двум другим осям, т.е. по двум другим парам граней. Общее изменение массы следует приравнять нулю: dm dmx dmy dmz 0

                                                     ^u     u

dxdydzdt^ x^x  y^y ^^uz^{z }0

Понятно, что левая часть равна нулю только если выражение в скобках равно нулю.

 

ux  uy  uz  0 x       y      z

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

 

Из математики известно: ux  uy  uz  divu , 

                                                                              x      y      z

где  divu – дивергенция ( расходимость) векторного поля в данной точке.

Определение. Предел отношения потока П поля через некоторую замкнутую поверхность S к объему, ограниченному поверхностью S, когда S стягивается в точку М, называется дивергенцией, или расходимостью, поля в точке М.

 

divu  0

Другая форма записи уравнения неразрывности …

 

Попытаемся найти геометрический смысл слагаемых вида ux .

x

Рассмотрим грань dx (ребро кубика). Скорость левого ее конца ^u_x , а скорость правого конца ^u_x  ^ux dx. За время dt ребро не только переместится в пространстве, но и x

за счет разности скоростей его концов удлинится (деформируется) на величину ux dxdt x

. Скорость удлинения ребра составит u^x dx, а относительная скорость деформации ребра x

можно найти, если поделить эту скорость на длину грани dx. Получим ux .

x

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме можно истолковать так: сумма скоростей относительной деформации ребер жидкой частицы равна нулю. Жидкость движется так, что данная масса все время занимает один и тот же объем.

 

Гидродинамика изучает движение жидкости с учетом сил, вызывающих это движение.

 

Массовые внешние силы, действующие на жидкость, как правило известны и заданы проекциями плотности распределения равнодействующей на оси координат X,Y,Z . Плотность жидкости полагается постоянной и известной.

Задача гидродинамики – определить кинематические характеристики движения и возникающие напряжения, т.е. найти зависимость величин u_x,u_y,u_z и давления p от координат x, y,z и времени.

 

1.2.6. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера 

 

Рассмотрим элементарный параллелепипед (кубик) жидкости с ребрами dx,dy,dz , параллельными осям координат. Эта жидкая частица движется относительно неподвижной системы координат. Точка А – полюс (в центре тяжести). 

Воспользуемся вторым законом Ньютона применительно к жидкой частице. Произведение массы частицы на ускорение ее центра масс равно сумме всех внешних сил, действующих на частицу. Силы и ускорение будем рассматривать в проекции на оси координат (на ось x рассмот рим, на остальные аналогично). Масса частицы : dxdydz .   

Ускорение в проекции на ось x :  dux dt

Поверхностные силы – это силы нормального давления окружающей частицу жидкости. Они равны произведению давления на площадь грани.  Рассмотрим грани, перпендикулярные оси x , их площадь dydz . Пусть в полюсе давление равно p . 

p dx  p dx x 2  x 2

Давление на левую грань p    , на правую грань p .

                                                       p dx                                       p dx

Сила на левую грань  p  dydz , на правую грань  p  dydz.

                                                        x 2                                        x 2 

p

Равнодействующая поверхностных сил в проекции на ось x :      dxdydz    .

x Массовые силы в проекции на ось x :    X dm  X dxdydz .

Сумма сил равна произведению массы на ускорение ( в проекции на ось x ):

p      du^x x         dt

                     X dxdydzdxdydz   dxdydz

Разделим на массу dxdydz и аналогично запишем проекции на другие оси

1 p    du X              x              x      dt  1    p     duy  Y                          y       dt  1    p     duz  Z                          z       dt 

Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости Л. Эйлера (1755 г.)

 

Можно развернуть выражение для ускорения, учитывая что скорость есть не только функция времени, но и координат. При описании метода Эйлера на прошлой лекции было получено выражение (например – в проекции на ось x : dux  ux  ux ux  ux uy  ux uz dt     t      x      y     z

Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости в развернутом виде запишутся:

X      

                        1 px utx  uxx ux  uyx uy  uzx uz



1    p    u_y     u_y     u_y     u_y     

Y                    u_x    u_y    u_z

                             y      t      x          y          z     

1    p    uz  uz ux  uz uy  uz uz 

Z      

                             z      t      x          y          z      

 

 

В задачах динамики неизвестными являются функции 

–  давления p  px, y,z,t

–  проекции скорости ^u_x  ^u_xx, y,z,t,  u_y  u_yx, y,z,t,   ^u_z  ^u_zx, y,z,t

–  и плотность  (x, y,z,t)  

всего пять неизвестных.

Для определения неизвестных используется система уравнений Эйлера. Поскольку число неизвестных превышает число уравнений, к системе добавляют уравнение неразрывности и уравнение состояния среды (зависимость плотности от давления).

Для несжимаемой жидкости уравнение состояния const и уравнение неразрывности 

ux  uy  uz  0

                    x      y      z

Общего решения полученной системы уравнений нет, только частные решения для специальных задач.

 

1.2.7. Уравнение Бернулли^[5] 

 

1. Для элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении

 

В качестве исходных возьмем дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера, умножим их соответственно на dx,dy,dz и сложим.

                              1 p    du^x           *dx

X      

                              x      dt

1    p    du_y

Y             *dy

                            y      dt

1    p    du^z     *dz

Z      

                             z      dt

 

XdxYdy  Zdz  1 px dx  py dy  pz dz  dudtx dx  dudty dy  dudtz dz



Произведем упрощение полученного выражения.

1.  Полный дифференциал давления (движение установившееся)

                                              p       p       p

 dp  dx dy dz x y z

2.  Преобразуем правую часть:

dudtx dx dudty dy dudtz dz uxdux uyduy uzduz  dux2 u22y uz2   d u22

                                                                                                                                                                              

Окончательно получим:

                                                                1           u²

                   XdxYdy Zdz dpd  0

                                                                           2

Первые три слагаемых называют полным дифференциалом силовой функции и обозначают dП  Xdx Ydy  Zdz .

                                 1           u²

                   dП dpd  0

                                           2

Рассмотрим частный случай. Из массовых сил действует только сила тяжести. Следовательно X Y 0   Z  g .

                        1           u²

 gdz   dpd  0

                                  2

Проинтегрируем и разделим на g :

2 p      u

z               C

g 2g

Для двух сечений элементарной струйки можно записать 

 

2                            2 z1 1 2u1g  z2 pg2 2u2g p g

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в установившемся движении.

Энергетически это выражает закон сохранения полной удельной (отнесенной к единице веса) энергии жидкости в элементарной струйке.

 

2.  Для элементарной струйки вязкой жидкости в установившемся движении

При движении вязкой жидкости происходят потери энергии, которые должны быть учтены в уравнении Бернулли

 

2          2 z1 p¹  ^u2¹g  z2^pg²  2^u2g h1₂, g

где ^h12 – потери удельной энергии при перемещении из сечения 1 в сечение 2.

 

3.  Для всего потока реальной жидкости

 

Выделим в сечении потока F элементарную струйку 

( скорость u , сечение dF ). 

 

Полная удельная энергия элементарной струйки в

2 p    u

                                                                             данном сечении e  z             .

                                                                                                                       g 2g

Это удельная энергия, т.е. отнесенная к единице веса. 

 

 

Если ее умножить на весовой расход через рассматриваемое сечение, то получим полую энергию, протекающую через поперечное сечение струйки в единицу времени dE Объемный расход dQ  udF , весовой расход gdQ  gudF . dE  egudF

Полная энергия, протекающая в единицу времени через все сечение потока

E  dE

F

Удельная энергия для всего сечения потока (полная энергия отнесена к весовому расходу)

E

                  E_уд  .

gQ

Вычислим:

z  p  u² udF

Eуд  E  FegudF  F^ _g 2g              

                    gQ          gQ                        Q

 

Замечания:

 

1.   При установившемся движении плавно изменяющегося потока жидкости давление расp

пределяется согласно гидростатическому закону, т.е. z   const g

2.   По определению udF  Q F

F

                              p               u²                          p      1      3                                          3

Eуд  _F g udF  _F^ 2g udF  Qz  g   2g _Fu dF  z  p _2  _Fu3dF z         

                                                    Q                                         Q                          g           2g  F

2

p 

Окончательно ^E_уд  z                 , 

                                                             g     2g

3

u dF

где ^{ F}    – коэффициент Кориолиса. Физический смысл: 3

 F

2                                                      2

3                                                      3  u u

 Fu dF  Fu dF2  F 2 udF  F 2 dm Eкинд .

                    3                        3  2                                m2       Eкинср

                         F  F²               2 F            2

(здесь масса жидкости, проходящая за единицу времени через поперечное сечение элементарной струйки обозначена dm; всего потока – m )

Коэффициент Кориолиса есть отношение кинетической энергии, протекающей в единицу времени через поперечное сечение потока, при действительном распределении скоростей к такой же энергии, посчитанной по средней по сечению скорости. 

Характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока и равен:  ламинарный режим  2

•      турбулентный режим 1,051,15

•      В практических расчетах обычно принимают 1.

 

4. Для всего потока вязкой жидкости

                                                     2                                 2

z1p1 ^12^_g1  z2_p_g2 ^22^_g2 h_W1_2 _g

 

^h_W12 – потери полной удельной энергии потока между сечениями 1 и 2 Эти по-

тери называются потери на трение и обозначаются h_тр . Забегая вперед отметим, что в гидравлике потери на трение в потоке рассматриваются как сумма потерь на трение по длине трубы и потерь в местных сопротивлениях hтр  hl  hм.

 

Замечание о размерностях.

 

Слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины (высоты) L. Они представляют собой энергию потока (потенциальную и кинетическую), отнесенную к единице веса жидкости, т.н. «удельную» энергию. 

Вспомним последовательность вывода уравнения Бернулли. Величина Х – проекция на ось х плотности распределения равнодействующей массовых сил – имеет размерность ускорения, т.е. силы, отнесенной к единице массы. После умножения на dх (сила на путь) получили работу внешних сил (энергию), отнесенную к единице массы. При выводе разделили на g (ускорение свободного падения) и получили энергию, отнесенную к единице веса ( G  mg ).

Сказанное означает, что если каждое слагаемое уравнения Бернулли умножить на вес mg , то получим ту или иную энергию элемента жидкости массы m .

1.      Геометрическая высота z  – измеряется по вертикали от плоскости сравнения до любой точки живого сечения потока (для определенности – до центра тяжести живого сечения). Очевидно mgz  ^E_{пот_z} – потенциальная энергия положения. 

Вывод : z – удельная потенциальная энергия положения. p

2.      Пьезометрическая высота  – высота поднятия жидкости в пьезометре. Измеряg

ется от центра тяжести живого сечения до уровня воды в пьезометре. В лабораторных работах определяется непосредственно по шкале пьезометра, обычно проградуированного в см. При умножении на вес рассматриваемого объема жидкости, учиp

тывая m  V , имеем:  mg  pV  ^E_{пот_p} – потенциальная энергия давления g

(работа вытеснения) p

          Вывод :  – удельная потенциальная энергия давления.

g

2



3. Скоростной напор       . Расчетная величина, определяемая по средней скорости 2g

потока. При умножении на вес рассматриваемого объема жидкости, учитывая физический смысл коэффициента Кориолиса, имеем: 2 Eкинсрд m22  Eкинд –

mg 

                                                                                                                                      2g           Eкин

кинетическая энергия рассматриваемого объема жидкости. Для элементарной

2     2 u     mu

                  струйки аналогично mg  .

                                                                  2g            2

2



          Вывод:  – удельная кинетическая энергия.

2g

4. Потери h_тр (h для элементарной струйки) измеряются в метрах (см, мм) и представляют собой потери удельной энергии при перемещении из одного сечения в другое.

 

1.2.8. Геометрическое и энергетическое истолкование уравнения Бернулли z

 

величина	геометрически	энергетически
z	геометрический напор  = высота центра тяжести сечения от плоскости сравнения = образует геометрический уклон	удельная потенциальная энер- гия положения (везде удельная это отнесенная к весу)
p   g	пьезометрическая высота  = высота уровня жидкости в пьезометре от центра тяжести сечения	удельная потенциальная энергия давления
p            z  g	пьезометрический напор  = высота уровня жидкости в пьезометре от плоскости сравнения  = образует пьезометрическую линию  =образует пьезометрический уклон	полная удельная потенциаль- ная энергия потока в данном сечении
2    2g	скоростной напор  = на сколько полный напор выше пьезометрического	удельная кинетическая энергия.
	= расстояние по вертикали между линией полного напора и пьезометрической линией =для равномерного течения постоянен, а линии параллельны	Кинетическая энергия 2 m                        Eк  2 Вес G  mg 2 Eк  G 2g
2 p 1 z                           g      2g	полный гидродинамический напор  = уровень в трубке полного напора, отсчитанный от плоскости сравнения  = образует линию полного напора  = образует гидравлический уклон	полная удельная энергия потока в данном сечении
hW1-2	снижение линии полного напора при переходе от сечения 1 к сечению 2.  Для идеальной жидкости линия полного напора горизонтальна	Потери полной удельной энергии потока за счет вязкости  (диссипация энергии)   Складывается из потерь по длине и потерь в местных сопротивлениях  hW1-2  hl  hм

 

1.2.9. Понятие об уклонах

 

Уклон это изменение величины по длине потока. Может быть определен в данном сечении или средний по длине. 

Рассматриваем средние при переходе от сечения 1 к сечению 2 (знак не так, как в производной !).

 

Геометрический уклон (геодезический) – изменение геометрической высоты по длине потока

 Jгеом  z1  z2

l0

Пьезометрический уклон – изменение пьезометрической высоты по длине потока. Может менять знак.

                                        p1z2  p2

J_пьез z1     _g  _g

l12

Гидравлический уклон – изменение полного напора по длине потока. Не может быть отрицателен (потери не отрицательны). Для идеальной жидкости равен нулю.

z  p1 112z2  p2 222

                                   1 g         2g  

J                              g 2g   hW1-2 l12          l12

 

 

Правила написания уравнения Бернулли при решении задач.

 

1.      Определить для элементарной струйки или для всего потока записывается уравнение. 

2.      Указать для идеальной или для вязкой жидкости записывается уравнение.

3.      Выбрать и указать на чертеже два сечения, для которых записывается уравнение. Векторы местных скоростей в них должны быть параллельны.

4.      Выбрать и обозначить на чертеже плоскость сравнения – горизонтальную плоскость, обычно совпадающую с центром тяжести ниже расположенного сечения.

5.      Записать полную форму уравнения Бернулли и затем, если возможно, приравнять к нулю отдельные члены.

 

1.2.10. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости НавьеСтокса

Напряжения в движущейся вязкой жидкости.

В невязкой жидкости действуют только нормальные напряжения.

При движении вязкой жидкости в ней возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, так как вязкая жидкость обладает способностью оказывать сопротивление относительному сдвигу своих слоев. 

Эти напряжения зависят не только от координат точки, но и от ориентации площадки действия.

Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрами dx,dy,dz , выделенный в движущейся жидкости.

 

 

Обозначим сопротивления на гранях. Первый индекс – направление оси, к которой перпендикулярна данная грань. Второй индекс – направление действия напряжения. Считая напряжение непрерывными, используя разложение в ряд Тейлора, определим напряжения на гранях, удаленных от начала координат. На рисунке показаны только напряжения, действующие на левую и правую грани. 

 

грань	нормальное напряжение	касательное напряжение
левая	pxx	xy	xz
правая	p            pxx      xx dx x	xy       xy  dx x	        xz      xz dx x
задняя	pyy	yx	yz
передняя	pyy            pyy  dy y	yx       yx  dy y	yz        yz  dy y
нижняя	pzz	zx	zy
верхняя	p pzz  zz dz z	 zx  zx dz z	zy        zy  dz z

Отметим без доказательства, что касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, направленные по нормали к линии пересечения этих площадок, равны друг другу:

xy yx ,   xz zx ,   yz zy

 

Составим уравнение движения массы жидкости, заключенной в элементарном параллелепипеде. Сумма сил, действующих на жидкую частицу, равна произведению ее массы на ускорение. Силы массовые и поверхностные. Сначала в проекции на ось X . 

Проекция суммарной массовой силы на ось есть произведение плотности распределения равнодействующей массовых сил Х на массу частицы dxdydz .     Хdxdydz

Поверхностные силы действуют на все шесть граней. Они равны произведению соответствующего напряжение (нормального или касательного) на площадь грани. Запишем только силы, проекция которых на ось х не равна нулю:

                                                                                                           pxx                 p

               Левая грань и правая:  pxx dydz pxx           dxdydz       xx dxdydz

                                                                                                             x                   x

                                                                                                                   yx              yx

Задняя грань и передняя: ^_yx dxdz^_yx  y dydxdz y dydxdz

Нижняя грань и верхняя: _zx dxdy_zx  ^zx dzdxdy  ^zx dzdxdy

                                                                                                                   z                    z

du^x

Масса на ускорение:  dxdydz dt

После сокращения и деления на массу получим     

X _1^_pxxx yyx zzx  dudtx

Без доказательства укажем:   В вязкой жидкости сумма нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным граням не зависит от ориентации этих площадок. Введем понятие давления в движущейся жидкости, численно равное среднему нормальному напряжению

pxx  pyy  pzz p         

3

Выразим нормальные напряжения на грань через давление и добавочное вязкое напряжение  pxx  p  pxxв. 

По закону Ньютона, распространяя его на пространственное движение, вязкое напряжение пропорционально 

pxxв 2ux          yx uyx uxy            xz  uzx  uxz 

                                            x                      

Произведем необходимые подстановки. Упростим, используя уравнение неразрыв-

ности в дифференциальной форме ux  uy  uz  0.

                                                                                    x      y      z

                           1 _p   2ux  2ux  2ux   dux

                X           

                           x      x²      y²      z2     dt



              Учтем, что   v   и по аналогии запишем проекции на другие оси.



                             1 p       ^{2             2             2}

X      v ux   ux   u_x   du_x ^

                             x      x²        y²       z2      dt 





1    p     2      2          2

Y       v xu²y  yu²y  zuy   dudty  несжимаемой вязкой жидкостиУравнения Навьенеустановившегося движения -Стокса для 

                            y                                   2 





Z     1 p  v2xu²z  2yu²z  2zu2z   dudtz 

z

 

                                                                                                                                                  2          2          2

 Упростим запись, используя оператор Лапласа ²       

                                                                                                                                                   2          2          2

                                                                                                                                             x      y      z

1    p    2          du^{x }

X    x  v u_x  dt 



Y     1 p  v2u_y  duy  y  dt 

Z     1 p  v2u_z  du_z 

                          z                    dt 

 

Субстанциальное ускорение в правой части можно раскрыть как сумму локального и

конвективного du^x  u^x  u^{x u}_x  u^{x u}_y  u^{x u}_z ( аналогично по другим осям). dt       t    x     y     z

 

Эти уравнения совместно с уравнением неразрывности и уравнением состояния образуют замкнутую систему, которая, однако, не имеет общих решений.

1.2.11. Общая интегральная форма уравнения количества движения и момента количества движения

 

В основу гидродинамики как раздела гидромеханики положены четыре основных закона механики:

–             закон сохранения массы 

–             закон изменения количества движения (импульса)

–             закон изменения момента количества движения

–             закон изменения кинетической энергии

Эти законы формулируются для объемов жидкости конечных размеров.

 

Закон сохранения массы. При движении жидкого объема его масса остается неизdm

менной.     0. Из этого вытекают уравнения неразрывности в дифференциальной форме dt

и для потока жидкости. 

 

Закон изменения количества движения. Изменение количества движения жидкого объема за единицу времени равно сумме всех приложенных к нему внешних (массовых и поверхностных) сил. 

                                                                         r     r          d(m_^r)    r

                В векторной форме d(m)  Pdt  или     P

dt

 

Закон изменения момента количества движения. Изменение момента количества движения жидкого объема относительно некоторой неподвижной точки за единицу времени равно сумме моментов всех внешних (массовых и поверхностных) сил, действующих на этот объем.

 

Закон изменения кинетической энергии. Изменение кинетической энергии жидкого объема за единицу времени равно мощности всех внешних и внутренних (поверхностных и массовых) сил, действующих на этот объем жидкости.

 

Рассмотрим закон изменения количества движения применительно к потоку жидкости. 

 

Жидкость несжимаема : 1  2

Движение установившееся :

Q1  Q2

На выделенный объем действуют массовая сила веса, поверхностные силы давления P1  p1F1,

P2  rp2F2 и реакция стенок ка нала R .

За время dt жидкость из сечения 1 переместится в сечение 1`, а из сечения 2 в сечение 2`. 

             Изменение количества движения r      r       r        r       r         r       r       r       r

K  K1'2'  K12  (K1'2  K22')(K11'  K1'2)  K22'  K11_'

Изменение количества движения равно  разности количества движения вышедшей массы и вошедшей массы.

Входящая масса dm1  dV1  F₁^1dt  Qdt

Выходящая масса dm2  dV2  F₂^2 dt  Qdt

             Изменение количества движения за единицу времени:r r       r      

K  dm1^1 dm2^2 Q(^2 ^1)

Закон изменения количества движения

                        r    r      r r       r

 K  P1 G  P2  R

(При изображении многоугольника сил (см. рисунок) следует правильно выбирать их направления. Вес вниз, силы давления нормальны к сечениям и действуют внутрь объема, r r r r r r

K  K22_'  K11_'   следовательно  K  K11_'  K22_' , а направления векторов количества движения совпадают с направлениями скоростей, сила реакции обеспечивает поворот).   r

Как правило неизвестной является реакция стенок канала R . Векторное уравнение решается обычно через проекции на оси координат. 

 

1.2.12. Приборы для измерения скорости и расхода

 

Для измерения местных скоростей применяются гидродинамические трубки, термоанемометры и гидрометрические вертушки.

 

Определение скоростей с помощью гидродинамических трубок основано на измерении скоростного напора ^u22g , равного разности полного Р2g и статического напоров в потоке. Полный напор измеряется трубкой полного напора, представляющей собой изогнутую под прямым углом трубку, обращенную своим открытым концом против потока. 

Из уравнения Бернулли, записанного для 1 и 2-го сечения элементарной струйки следует

2

p1  u  p2 ,  g 2g   g

 

откуда u  _pg² _pg¹2g  2gh

 

                                   Т                           

                         

 

Трубка полного напора и статического напора, конструктивно объединены в одном приборе и представляют собой гидродинамическую трубку. Пито-Прандтля. Приемником полного давления Р2  Р1  ^u22 является отверстие 1 осевого канала цилиндра, сообщающееся через трубку полного напора 6, помещенную в державке, со штуцером 9. Для приема статического давления ^Р1 на боковой поверхности цилиндра выполнены канавки 7, закрытые кожухом 4 с прорезями 3.

 

 

Гидродинамическая трубка Пито-Прандтля со сферическим носком

 

 

Используются также гидродинамические трубки иного конструктивного оформления. Местная скорость (скорость в точке) определяется по формуле

 

u  2gh ,

 

где - поправочный коэффициент, определяемый путем тарирования трубки.

 

Гидродинамические трубки применимы для измерения скоростей более 1 м/с.

 

Термоэлектрические анемометры

 

Действие термоанемометров основано на использовании зависимости между электрическим сопротивлением проводников и их температурой. Термоанемометр представляет собой проволоку из инертного металла (платины, вольфрама, никеля), припаянную к двум электродам, закрепленным в державке (рисунок 6). Толщина проволоки 0,005-0,01 мм, длина 1-3 мм. Проволока помещается в поток и нагревается электрическим током. Поток, обтекающий проволоку, охлаждает ее, электрическое сопротивление проволоки при этом изменяется на некоторую величину в зависимости от скорости потока, фиксируя это изменение с помощью соответствующих электрических схем, можно определить величину местной скорости потока, нормальной к проволоке.

 

 

Схема электрической цепи и тарировочная кривая

термоанемометра, работающего по методу постоянной силы тока: u - скорость потока; V - напряжение тока

 

Гидродинамическая вертушка представляет собой лопастное колесо, помещенное в поток и приводимое им во вращение. В процессе измерения фиксируется скорость набегающего потока. Вертушка предварительно тарируется и снабжается тарировочным графи_ком u  f h

 

 

Гидрометрическая вертушка 1.2.13. Приборы для измерения расхода и количества жидкости

 

Средство измерения расхода или количества жидкости называется преобразователь расхода.

 

По измерению расхода или количества среды

	Расходомер	Прибор, измеряющий мгновенный расход вещества (т.е. массу или объем вещества, протекающую через сечение в единицу времени
	Счетчик количества (или просто счетчик)	Устройство, измеряющее массу или объем вещества, прошедшую по трубопроводу за определенный интервал времени (аналог – бытовые электросчетчики)
	Расходомер-счетчик	Устройство для измерения расхода и количества вещества

По типу измеряемой среды различают расходомеры жидкостные, газа и пара. Одна и та же модель расходомера не может использоваться для измерения разных сред – слишком различны физические параметры.

Под жидкостью понимаются любые типы капельных жидкостей (вода, мазут, нефть и др. технические жидкости)

Под газом понимается природный (метан) или технический (кислород, водород и т.п.) газ, а также сжатый воздух.

Пар может использоваться сухой насыщенный или перегретый. Для влажного пара корректное измерение расхода невозможно. Особо оговариваются максимальные давление и температура пара.

 

По измеряемым параметрам

•      Объемные      Измеряют объемный расход – таких подавляющее большинство

•      Массовые       Измеряют массовый расход непосредственно без пересчета по плотности (пример – кориолисовые)

•      Объемно-массо-        Массовый расход рассчитывается по измеренному объемному вые   расходу через плотность жидкости, рассчитанную по давлению и температуре.

 

По выходному сигналу – с аналоговым, импульсным или цифровым выходом.

 

По принципу действия

•      мерные емкости (тарированный резервуар, бак)

•      мерные водосливы (поплавковые расходомеры)

•      с переменной площадью сечения – ротаметры

•      переменного перепада давления – диафрагмы, сопла и трубы Вентури

•      тахометрические

•      электромагнитные (индукционные)

•      ультразвуковые

•      вихревые

•      кориолисовые

 

 

Мерные емкости

При объемном способе измерения расхода жидкости, жидкость поступает в тщательно тарированный резервуар (мерник), при этом фиксируется время наполнения t определенного объема V . Объемный расход равен

V Q   .

t

Способ измерения расхода с помощью мерного резервуара является наиболее точным. Он широко применяется в лабораторной практике для опытных исследований и поверок измерителей расхода.

 

Мерные водосливы служат для  измерения расхода воды в лабораториях и на оросительных системах. Пример – треугольный водослив с тонкой стенкой в лабораторных работах.

Ротаметр  представляет собой коническую прозрачную стеклянную трубку 1 

(угол конусности от 35^ до 5^о35^// )  с помещенным внутри нее поплавком 2.

Ротаметр устанавливается на вертикальном участке трубопровода. Если сила, воздействующая на поплавок, превышает вес поплавка, то поплавок всплывает, увеличивая площадь щели для протекания жидкости, при этом сила, действующая на поплавок со стороны жидкости, уменьшается. Когда гидродинамическая сила становится равной весу поплавка, его всплывание прекращается.

 

 

Измерение расхода ротаметром основывается на использовании связи между расходом и положением поплавка. Характер этой связи зависит от угла конусности трубки, формы и веса поплавка, вязкости жидкости и обычно устанавливается путем индивидуального тарирования ротаметров.

Ротаметры применяют для измерения расходов жидкости и газа в широком диапазоне, начиная от малых, порядка 0,1 см³/с. Погрешность измерений не превышает 6 %. Недостатком их является зависимость показаний от физических свойств жидкости и невозможность измерять переменные во времени расходы.

 

Расходомеры переменного перепада давления

 

Расходомерами переменного перепада давления называются измерительные комплексы, основанные на зависимости перепада давления, создаваемого устройством, установленным в трубопроводе, от расхода жидкости или газа.   Состав комплекса: 

1. Первичный преобразователь расхода (гидравлические сопротивление, трубка Пито); 2. Первичные линии связи – соединительные трубки и вспомогательные устройства на них (отстойные сосуды, воздухосборники);

3.      Первичный измерительный прибор – дифманометр;

4.      Вторичные линии связи (электрические провода)

5.      Электронный преобразователь (записывающий, показывающий)

 

Расходомеры переменного перепада давления

	с сужающим устройством	Стандартные – диафрагма, сопло, труба Вентури –  не требуют индивидуальной градуировки.
	с гидравлическим сопротивлением	Например – шариковая набивка
	с напорным устройством	Принцип действия основан на измерении перепада давления, возникающего при переходе кинетической энергии в потенциальную.
		Пример – Трубка Пито-Прандтля или осредняющие напорные трубки, установленные поперек трубопровода
	центробежные расходомеры	Основаны на зависимости расхода от перепада давления, образующегося на закругленном элементе трубопровода (колене) под действием центробежных сил

 

 

 

 

Расходомеры переменного перепада давления:

а – диафрагма; б – сопло; в – труба Вентури

 

Расход жидкости определяется по формуле 

2^p

Q F 2gH  или Q _F 

где - коэффициент расхода,

      F - площадь проходного сечения сужающего устройства;

   H - разность статических напоров,

.   p - разность давлений до и после сужающего устройства

      - плотность измеряемой среды (зависит от температуры и давления)

 

Скоростные счетчики чаще всего применяют для контроля количества воды, расходуемой в системах водоснабжения. Различают скоростные счетчики с вертикальной крыльчаткой (крыльчатые) и с винтовыми вертушками (турбинные).

Крыльчатый счетчик состоит (рисунок 9) из крыльчатки 1 и передаточного механизма 8, связанного со счетным механизмом 9. Передаточный и счетный механизм представляет собой ряд последовательно зацепленных шестерен.

Расход жидкости определяется отношением прошедшего через счетчик объема жидкости V за определенное время к времени t

 

V Q   .

t

 

Ротаметр представляет собой коническую прозрачную стеклянную трубку 1 (угол конусности от 35^ до 5^о35^// ) с помещенным внутри нее поплавком 2.

 

Счетчик с вертикальной крыльчаткой

 

Ротаметр устанавливается на вертикальном участке трубопровода. Если сила, воздействующая на поплавок, превышает вес поплавка, то поплавок всплывает, увеличивая площадь щели для протекания жидкости, при этом сила, действующая на поплавок со стороны жидкости, уменьшается. Когда гидродинамическая сила становится равной весу поплавка, его всплывание прекращается.

Измерение расхода ротаметром основывается на использовании связи между расходом и положением поплавка. Характер этой связи зависит от угла конусности трубки, формы и веса поплавка, вязкости жидкости и обычно устанавливается путем индивидуального тарирования ротаметров.

Ротаметры применяют для измерения расходов жидкости и газа в широком диапазоне, начиная от малых, порядка 0,1 см³/с. Погрешность измерений не превышает 6 %. Недостатком их является зависимость показаний от физических свойств жидкости и невозможность измерять переменные во времени расходы.

 

Тема 1.3. Движение реальных жидкостей

 

1.3.1. Гидравлические сопротивления

 

Рассмотрим трубопровод, состоящий из нескольких прямых участков постоянного диаметра и местных сопротивлений: обратного клапана, задвижки и двух плавных поворотов на 90.

 

Для сечений 1-1 и 2-2 потока может быть записано уравнение Бернулли, из которого выразим потери полного напора:

hW12  z1  pg1 21g12 z1  p2 22g22  .

g

                                                                                         

Это общие потери от сечения 1-1 до сечения 2-2 , которые могут рассматриваться как сумма потерь по длине прямолинейных участков постоянного диаметра и потерь в местных сопротивлениях. 

hW12  hl12  hм

Такое разделение – основное допущение при расчете потерь в трубопроводах.

Забегая вперед, отметим, что эти два типа потерь рассчитываются отдельно.

Потери по длине по экспериментальной формуле Дарси-Вейсбаха^[6]

2 l 

hl d 2g ,

здесь  – коэффициент гидравлического сопротивления (коэффициент Дарси).

Потери в местных сопротивлениях есть сумма отдельных потерь, каждая из которых вычисляется по формуле Вейсбаха:

                                                  n          2



hм i 2g ,

i1

здесь ^_i – коэффициент местного сопротивления номер i , определяется из справочников.

(– «дзета», греч. не путать – «кси», греч.)

 

Местные сопротивления – места потока, в которых происходит резкая его деформация, скорость изменяется по величине и по направлению.

Для того чтобы измерить потери напора в местном сопротивлении поступают так:

 

1.           производят замер потерь напора ^h1на местном сопротивлении, причем пьезометры устанавливают не рядом с ним, а на расстоянии не менее 10d , где поток невозмущенный.

 

2.           производят замер потерь ^h2 на участке того же трубопровода длиной Ll без местного сопротивления

3.           вычисляют h_м  h1  h2

 



Учитывая, что ^h_м ^2g , находят коэффициент местного сопротивления

2g

                   h_{м 2}



Такой способ замера позволяет выделить отдельно влияние местного сопротивления.

Расчетным путем найти коэффициент местного сопротивления не удается, единственное исключение – внезапное расширение потока.

 

Внезапное расширение потока

 

Рассмотрим внезапное расширение круглого трубопровода, выделим сечения 1-1 и 2-2.

Площади живых сечений потока ^F1 и

^F2 , скорости ^1 и ^2. 

 

 

 

Составим уравнение Бернулли для сечений 3-3 и 2-2, принимая скорость потока в сечении 3-3 равной ^1 и учитывая, что z1  z2  0.

                                          2                         2

p1 21g1  pg2 22g2  hв.р g

здесь ^h_в.р– потери напора на внезапном расширении.

                                                                                                                                                          2        2

p¹ p^{2 }¹ ²

Принимаем ^1 ^2 1, находим потери     h_в.р ^ g                   2_g

Применим к массе жидкости, заключенной между сечениями 3-3 и 2-2 теорему о количестве движения, согласно которой изменение количества движения в единицу времени равно сумме внешних сил. Допускаем, что во всем сечении 3-3 действует давление ^p1.

F2^2^2 ^1 p1  p2F2

Отсюда выразим 

               p^{1  p2} ^{2(2 1)} и подставим в выражение для потерь

                        g               g



hв.р  2(21) 122g22 2222221g1222  (12g2)2

g

                                                                               2        Формула Борда: потери напора при внезап-

(

                                      hв.р  1 2g2) ном расширении потока пропорциональны квадрату «потерянной» скорости^[7].

Приведем это выражение к виду формулы Вейсбаха для местных сопротивлений:

                       2                  2              2



hв.р  21 112    121g 

g 

^{2 } F¹

По уравнению неразрывности для потока  ^1^F1 ^2^F2 т.е.

                                                                                                                                              1      F2

2

                                                                                                                                                                                   F¹ ^_

 Коэффициент сопротивления (отнесенный к скорости до расширения) ^1 ^_1^ _F2 _

В предельном случае, когда ^F2  ^F1, имеем выход из трубопровода в резервуар больших размеров, ^_вых 1.

Так как скорость до расширения ^1 не равна скорости после него ^2 , то для данного местного сопротивления существует два различных значения коэффициента сопротивления, расчет потерь напора с использованием которых, разумеется, приводит к одинаковому результату.  2    2          2

^{1           } h_в.р 12g 22²g .    Легко показать, что    2 _ F_F1² 1_

Взаимное влияние местных сопротивлений

Плавный поворот потока  

При изменении направления потока появляются центробежные силы, направленные от центра кривизны к внешней стенке трубы. 

Давление в пределах поворота у внешней стенки больше, чем у внутренней. Соответственно скорости у внешней стенки меньше, чем у внутренней. Вследствие этого вдоль боковых стенок трубы, вблизи поверхности которых скорость невелика, будет происходить движение жидкости от  внешней циркуляция в потоке. стенки к внутренней, т.е. возникает поперечная 

 

В результате образуется так называемый парный (двойной) вихрь, который накладывается на поступательное движение. Линии тока становятся винтообразными. Эпюра скоростей в связи с этим перестраивается.

Если местные сопротивления расположены на близком расстоянии друг от друга, то они влияют друг на друга. 

 

Так например, при последовательном соединении двух отводов (отвод-поворот на 90^о, рисунок VI-2) суммарный коэффициент сопротивления  в случае   а) ^_сум 1,4^90,    а в случае б) ^_сум  3^90  

          

Здесь ^90 – коэффициент сопротивления изолированного поворота на 90,  зависит от отношения радиуса поворота R к диаметру трубопровода d .  В справочниках приводятся коэффициенты сопротивления для отвода без учета потерь по длине трубы, которые рассчитываются дополнительно, причем длина считается по средней линии потока.

^м.кв , Длина зоны влияния  l_вл  0.5d



где d – диаметр трубопровода; ^_м.кв– коэффициент потерь для данного местного

сопротивления в квадратичной области;  – коэффициент Дарси.

В обычных условиях длина прямолинейного участка трубопровода между сопротивлениями, равная 10d , оказывается достаточной для стабилизации потока. В ответственных случаях, например при установке расходомерных устройств, эта длина определяется правилами установки и составляет (12 20)d .

Эквивалентная длина. Для упрощения расчета трубопроводов часто используют понятие о эквивалентной длине местного сопротивления, т.е. об участке данного трубопровода такой длины, на которой потери напора по длине равны местной потере напора:

                                                          2          lэкв 2           l

hм hдл.экв =>  м2g  d 2g  =>  эквd  м

В гидравлически длинных трубопроводах (или просто длинных) потери по длине настолько превышают потери в местных сопротивлениях, что последние не вычисляют, а принимают как некоторую часть потерь по длине (добавляют 5 % – 10 %).

 

1.3.2. Основное уравнение равномерного движения жидкости

 

Рассмотрим установившее напорное движение несжимаемой жидкости в трубе круглого сечения постоянного диаметра. 

Из постоянства диаметра следует:

 F1  F2  F .

Средняя скорость потока по определению есть отношение объемного расхода к площади живого сечения. Расход в рассматриваемых сечениях одинаков, значит  1 2 . ^z1 и ^z2 – ординаты центров тяжести выделенных сечений, отсчитанные от плоскости сравнения.

 

 

 

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 потока вязкой жидкости: Плоскость сравнения обозначена на чертеже 0-0.

                                                     2                                 2

z1  p1 11  z2  p2 22  hl

                             g      2g             g      2g

Допустим, что распределение скоростей в сечениях одинаково (^1 ^2 ), тогда :

z  p¹ _ _z2  _p_g² _  h_l (см. рисунок)

                   _ ¹ _{g    }

 

Сумма действующих на выделенный объем сил равна произведению его массы на ускорение. В данном случае жидкость движется без ускорения, значит сумма сил, действующих на выделенный объем, равна нулю.

На  объем жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 действуют:

массовые силы – сила веса  G  gV  g Fl поверхностные силы: 

–        давления слева P1  p1F

–        давления справа P2  p2F

–        силы нормального давления стенок (взаимно уравновешиваются)

–        сила вязкого трения, обусловленная касательными напряжениями ^0 , действующими на площади F_тр  l  (длина участка трубы умноженная на смоченный периметр)

Сумма сил в проекции на ось трубы равна нулю:  Gcos P1  P2 0F_тр  0

Здесь ^0 – касательное напряжение между неподвижным слоем на стенке (гипотеза прилипания) и соседним подвижным слоем.

z

Подставим выражения для сил. Из чертежа очевидно cos 1  z 2

l

g Fz1  z2 p1F  p2F 0l  0          Разделим на g F и сгруппируем:

                           z1  p1   z 2  p2  0  l

                                                      g          g            F g

Заметим, что разность в левой части полученного выражения по уравнению Бернулли = ^h_l

.

                                                                                 F                                                  l

Учтем, что по определению ^R_г     ,  g получим          ^h_l ^₀   

                                                                                                                        R_г

Гидравлический уклон J  ^hl . Окончательно

l

0 Rг J

Основное уравнение равномерного движения (как ламинарного, так и турбулентного)

 

Распределение касательных напряжений по толщине потока. 

 

В движущемся потоке радиуса r  выделим цилиндрический объем радиуса y , y  r

Применим к выделенному объему основное уравнение движения. 

Гидравлический радиус для круглого потока равен половине (!) геометрического радиуса. y

                                                                                                           J

2

 

Следовательно распределение касательных напряжений  по радиусу потока линейное, 

 

на оси потока y  0 и  0, у стенки y  r и ^0

 

Повторим: Полученные выводы справедливы для любого равномерного движения,  как для ламинарного, так и для турбулентного.

 

1.3.3. Режимы движения жидкости. Опыты Рейнольдса^[8]. Число Рейнольдса.

 

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что потери энергии при движении жидкости существенно зависят от особенностей движения частиц жидкости в потоке, от режима движения.

Наглядно особенности режимов движения можно наблюдать на специальной опытной установке, схема которой показана на рисунке

 

 

К баку достаточно больших размеров, наполненному жидкостью, присоединена стеклянная труба Т ; вход в трубу сделан плавным; в конце трубы установлен кран К для регулирования расхода потока. Расход измеряют с помощью мерного бака М и секундомера.

Над баком расположен сосуд С, наполненный раствором краски, плотность которой близка к плотности жидкости в потоке. По тонкой трубке ^Т1 краска водится в жидкость, движущуюся по трубе Т . Расход краски регулируется краном Р.

При открытом кране К в трубе Т установится некоторая скорость потока (высота уровня жидкости в баке поддерживается постоянной). Если открыть кран Р, то в трубу Т начнет поступать краска. При малой скорости потока v в трубе Т краска образует прямолинейную и резко выделяющуюся, не смешивающуюся с окружающей жидкостью струйку. Заметного обмена частицами между окрашенной струйкой и окружающей ее жидкостью не происходит. Если ввести в жидкость краску несколькими струйками, все они будут двигаться не смешиваясь с остальной массой жидкости. Это свидетельствует о том, что в прямой стеклянной трубе Т при данном открытии крана жидкость движется отдельными, не перемешивающимися между собой слоями. Линии тока при этом прямолинейны и устойчивы. Это ламинарное движение (от латинского lamina – слой).

 

 

Ламинарный режим движения – частицы жидкости движутся параллельными слоями, не перемешиваясь. 

При некотором большем открытии крана (увеличении скорости ) окрашенная струйка начинает искривляться и становится волнообразной. Это может происходить только в результате изменений во времени (пульсаций) векторов местных скоростей в потоке. Такой режим называется переходным.

При дальнейшем увеличении скорости потока в трубе Т струйка распадается на отдельные хорошо видные вихри, окрашенные струйки перемешиваются со всей массой текущей жидкости. Это турбулентное (от латинского turbulentus – беспорядочный) движение.

 

 

 

Турбулентный режим движения – в потоке существуют пульсации местных скоростей, давлений и касательных напряжений, приводящие к хаотическому, беспорядочному движению частиц и перемешиванию.

При постепенном закрытии крана явление повторяется в обратном порядке. Однако переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при скорости меньше той, при которой произошел переход от ламинарного режима к турбулентному. 

Критическая скорость потока – при которой меняется режим движения. При этом имеют место две критические скорости: верхняя – ^v_кр.в_., которая соответствует смене ламинарного режима турбулентным, и нижняя – ^v_кр.н_., при которой происходит смена турбулентного режима ламинарным. при чем всегда ^v_кр.н_.  ^v_кр.в_. В интервале между этими скоростями режим движения может быть и ламинарный и турбулентный, эта зона называется переходной. В переходной зоне ламинарный режим неустойчив и легко переходит в турбулентный. Для оценки состояния потока выбрана нижняя критическая скорость, при ней и при меньших скоростях режим всегда ламинарный. Опытами Рейнольдса было установлено, что нижняя критическая скорость для потока в круглой трубе пропорциональна кинематической вязкости v и обратно пропорциональна диаметру трубыd :    

^_кр.н_.  kv/d . Коэффициент пропорциональности k оказался одинаковым для различных

v и d :   k _кр.н_.d /v  2320. В честь Рейнольдса этот коэффициент был назван критическим числом Рейнольдса и обозначен Re_кр. Верхней критической скорости соответ-

ствует Re  4000, однако это значение существенно зависит от условий опыта. 

 

Скорость                        0                            ß  ^v_кр.н_. ß                    à ^v_кр.в_.à              

Ламинарный режим	возможен,  устойчив	возможен,  неустойчив	невозможен
Турбулентный режим	невозможен	возможен,  устойчив	возможен,  устойчив

Число Re                        0                                  2320                               4000                   

 

В общем случае режим движения жидкости определяется безразмерным комплексом

l l

Re                  . Этот комплекс называют числом Рейнольдса и обозначают Re.

/ v

Число Рейнольдса – критерий подобия при доминирующих силах инерции.

Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам трения (вязкости).

2 2 2 , а силы вязкого трения Силы инерции имеют порядок: ^F_ин  ma  V l /t  l 

2 2

                                        2                                         Fин l   lRe , где l – характерный

Fтр F  l vl.   Тогда

                                        l                                F_тр        vl       v

поперечный размер живого сечения.  При выводе учтено, что динамическая вязкость

                                                        3                                                                   2.  

v,  объем V  l , скорость l /t, ускорение a l/t

Поскольку характерный размер живого сечения выбирают произвольно, то число Рейнольдса имеет индекс, указывающий выбранную характерную линейную величину. Чаще всего в качестве характерный линейных величин принимают диаметр трубы d или гидравлический радиус ^R_г или глубину жидкости в открытом русле (канале) h .

Тогда ^Re_d d /v;   Re_Rг R_г /v;   ^Re_h h/v . Число ^Re_d обычно обозначают без индекса Re. В расчетах для цилиндрических круглых труб обычно принимают Re_кр  2320. Для открытых русел Re_крRг  580, так как  R_г  d /4. 

Определив число Рейнольдса для любого потока и сравнив его с критическим, можно узнать характер движения, который, в свою очередь, определяет зависимость потерь напора от скорости. В общем случае потери напора ^h_l  k^n , где k – некоторый постоянный коэффициент. В случае ламинарного режима n1, т. е. потери пропорциональны скорости. При турбулентном режиме n 1.752.0в зависимости от степени турбулентности потока. При развитом турбулентном режиме потери напора пропорциональны квадрату средней скорости.

В природе и технике турбулентное движение наблюдается чаще, чем ламинарное. Области ламинарного движения – движение вязких жидкостей типа масел по трубам и в механизмах, движение грунтовых вод, движение в капиллярах (в том числе и движение крови в организмах).

 

1.3.4. Ламинарный режим движения жидкости

 

Рассмотрим распределение скоростей по сечению и потери напора по длине трубы при установившемся ламинарном движении. 

Движение равномерное, следовательно эпюра скоростей постоянная по длине трубы. Дополнительное условие: движение изотермическое, то есть температура не меняется, а значит плотность и вязкость тоже. 

Режим ламинарный (определение было ранее: слоистое движение без перемешивания, Re≤2320).

 

 

Выделим цилиндрический объем движущейся жидкости радиусом y и применим к нему основное уравнение равномерного движения жидкости 

^R_г J    здесь   – касательное напряжение 

                              y                                               h^l – гидравлический уклон 

               ^R_г      – гидравлический радиус ,  J ^

                             2                                               l

du

По закону Ньютона   , минус потому, что производная отрицательна, т.е. dy

вдоль оси y скорость падает, а всегда>0.

                         du       y                                                           gJ

   J    =>  ( v  ;  g ) =>  du    ydy dy 2      2v интегрируем: 

                                                   gJ ²         

                            u   y C

4v

Постоянную интегрирования Cнаходим из условия, что на стенке при y  r имеем

u 0 (гипотеза прилипания):  C _ ^gJ _r² 4v

Окончательно                   u  gJ (r2  y2)    распределение скоростей по сечению в _{ламинарном режиме}

4v

Это парабола, максимум при y  0 максимальная скорость  u_max  4_v r² 16gJ_v d² gJ

 

Найдем расход жидкости

Рассмотрим концентрический слой жидкости радиуса y толщиной dy

Расход через этот слой dQ  udF , где dF  2ydy dQ  gJ r2  y22ydy 4v

 

Интегрируем по всему сечению по y

Q gJ 0r r2  y2ydy2gJv _ r2⁴ _ r4⁴ _{ }8gJv _r4

2v

4

                                                             d  =>  r4  d   

Учитывая, что r 

                                                           2                16

gJ 4

               Q  d

128v

 

Заметим: расход в ламинарном режиме при заданном гидравлическом уклоне J пропорционален четвертой степени диаметра.

 

Найдем среднюю скорость

Q

              Средняя скорость (по определению отношение объемного расхода к площади)    

F

                              gJ 4 4              gJ 2           Учитывая ^d2  4^r2, получим ^{ gJ r2}

                        d                  d

                                128_{v d2} 32_v                                                                     8_v

Средняя скорость ровно в два раза меньше максимальной, ^_макс  gJ r2 ,  4v

макс .



2

 

Коэффициент Кориолиса для ламинарного режима движения

3

u dF

                ^F            ...  2        

3

 F

 

Найдем потери напора по длине трубы  

Из выражения для средней скорости выразим гидравлический уклон

gJ 2   =>    J ^ 32v

               32v d                   d₂g

С другой стороны гидравлический уклон (по определению) J  ^hl , следовательно:

l

32vl

^h_l ^ 2  формула Пуазейля^[9] d g

 

Из формулы видно: потери напора по длине трубы пропорциональны средней скорости потока в первой степени.

Для определения потерь напора по длине трубы обычно используется формула Дарси

2 l 

^h_l   , где  – коэффициент сопротивления Дарси d 2g

Чтобы найти коэффициент Дарси  используем только что полученную формулу Пуазейля

2 32vl 64v d l 

^         Отсюда ^      . Заметим, что Re ^    _d 2_{g       d2g       d     v}

64 Re

               Получим: в ламинарном режиме коэффициент Дарси  

Замечание. Формула Дарси справедлива в ламинарном режиме, однако это не означает, что потери напора в этом случае пропорциональны квадрату скорости. Сам коэффициент Дарси пропорционален скорости в степени минус один (скорость входит в число Re). Следовательно, как и утверждалось ранее, потери напора по длине трубы при ламинарном режиме движения пропорциональны средней скорости потока в первой степени.

 

1.3.5. Начальный участок ламинарного течения

 

Начальный участок течения – участок от начала трубы, на котором формируется параболический профиль скоростей. За пределами этого участка имеем стабилизированное ламинарное течение, параболический профиль скоростей остается неизменным, как бы ни была длинна труба, при условии сохранения ее прямолинейности и постоянства сечения.

 

Длина начального участка – расстояние от входа в трубопровод до сечения, в котором скорость распределена по параболическому закону с точностью 1%.

l_нач  (0,030,04)d Re l_{нач.макс}  60d

Потери на начальном участке больше примерно на 9%

du

Происходит стабилизация профиля скоростей, а производные  выше, чем в основdy

ном участке трубы. В практических расчетах увеличением потерь на начальном участке обычно пренебрегают, однако учитывают потери на вход из бака в трубу ^_вх  0,5.

 

1.3.6. Ламинарное течение в узких щелях (зазорах)

 

Рассмотрим плоский зазор между неподвижными пластинами. 

 

 

Толщина (величина) зазора s , длина зазора по направлению движения жидкости l , ширина зазора b. Жидкость движется через зазор под действием перепада давления p  ^p1  ^p2.  Полагаем, что течение установившееся и изотермическое (температура жидкости не меняется) и вязкость жидкости постоянна.

Рассмотрим малый слой жидкости высотой 2y , расположенный симметрично по центру зазора.

 

 На этот слой действуют тормозящие касательное напряжение, по закону Ньютона:

 

                                  du                                                                    du

  ,   здесь – динамическая вязкость жидкости,  – градиент скорости dy dy

слоистого движения в направлении оси y , величина отрицательная, т.к. скорость местная скорость потока u уменьшается при увеличении y , поэтому в формуле знак минус.

Запишем основное уравнение равномерного движения для выделенного фрагмента: 

 ^R_гJ , где  – касательное напряжение; 

                                                                                                                                            F        2by

                  ^R_г – гидравлический радиус, по определению ^R_г ^{       } 2_b 4_y , т.к. y  b , то

_

R_г  y;

h^l .

J – гидравлический уклон, по определению J ^

l

                                                                                                              du                                  J

Приравняем выражения для :           yJ , откуда  du        ydy dy    

Интегрируем      u   J y2 C

2

Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся граничным условием,

2 s J s

вытекающим из гипотезы прилипания :  при y      имеем u  0, откуда C  

                                                                                                                    2                                        2 4

Скорость при движении в щели

J  2

               u        s  y2 

                        2_ 4       _

2

Js

Это уравнение параболы, скорость максимальна при y  0: ^u_макс ^ 8_

 

Для определения расхода жидкости через щель выделим в ней элементарный слой толщиной dy , отстоящий от оси потока на

расстояние y .  

 

 

J ^ s2  y² ^ , расход

Площадь выделенного слоя dF  bdy , скорость u 

                                                                                                                                                        2_ 4       _

dQ  udF  J  s2  y2 bdy

                                  2_ 4       _

Проинтегрируем по всему потоку, вследствие симметрии потока при интегрировании s

от 0 до     результат нужно удвоить.

2

                                                 s/2         2

Q  dQ  2  2J  s4  y2 bdy  Jb s83  24s3   12Jb s3 F    0                                

Вспомним, что J  ^hl и  h_l  p

l

Расход через узкую щель Q  pb s3

12l

Замечание: утечки через зазор пропорциональны ширине в третье степени, т.е. при увеличении зазора в 2 раза утечки возрастают в 8 раз.

 

Утечки через зазор в поршневой паре

(диаметр поршня d , величина зазора s )

pd 3 Qут  12l s

 

 

При несимметричном расположении поршня в зазоре (при наличии эксцентриситета) расход увеличивается и при максимальном эксцентриситете ^Q_макс  2,5^Q_ут.

 

1.3.7. Турбулентный режим движения

 

Определение: При турбулентном режиме движения в потоке существуют пульсации местных скоростей, давлений и касательных напряжений, приводящие к хаотическому, беспорядочному движению частиц и перемешиванию.

 

Измерение местных скоростей турбулентного потока показали, что поле скоростей такого потока изменяется беспорядочно, хаотично, однако изменение местных скоростей имеет ярко выраженный пульсационный характер – значения составляющих скорости пульсируют около некоторых осредненных значений. u – местная скорость, ^u_x ,^u_y ,^u_z – ее про-

екции на оси координат.

                                                                                                                           r       r      r          r r r

u u_xi u_y j u_zk , где i , j,k – еди-

ничные векторы, направленные по осям ко-

          

Местная скорость меняется по величине и направлению, а ее проекции по величине и знаку около некоторого среднего значения. 

Проекция скорости – функция времени ^u_x  ^u_x(t)

Таким образом турбулентное движение является по самой своей природе движением типично неустановившимся. Изменение скорости имеет вид случайных беспорядочных отклонений. Однако несмотря на кажущуюся беспорядочность, среднее значение за достаточно длительный промежуток времени остается все-таки постоянным и не зависит от времени.

За осредненную скорость u_x в данной точке принимается такая постоянная за период осреднения T скорость, при которой через элементарную площадку d за период T проходит объем жидкости, равный истинному ее объему, проходящему через d за время T , т.е.

                                                T                                            T

du_xT  d^u_x dt , откуда     u_xT  u_x dt

                                                  0                                            0

Предполагается, что период осреднения T достаточно велик, так что осредненное значение не изменится, если выполнить повторное осреднение.

Мгновенные значения параметров турбулентного режима принято рассматривать в виде суммы осредненных (во времени) значений и пульсационных составляющих. 

Договоримся осредненные параметры обозначать с чертой, пульсационные – со штрихом. При этом мгновенные значения скорости и напряжений запишутся в виде ^u_x  ^u_x u^_x ,        u_y  u_y u^_y ,        ^u_z  ^u_z u^_z

p  p  p,         

 

Необходимо различать осредненную скорость u (по времени, в данной точке) и сред-

Q

нюю скорость в данном живом сечении потока .

F

Пульсационные составляющие скоростей характеризуются амплитудой и частотой.

Заметим, что величина осредненной пульсационной составляющей всегда равна нулю.

Для оценки степени пульсаций используют среднее квадратичное отклонение пульсационных добавок ^u_x  u^_x^2 (корень из осредненного значения квадрата пульсационной составляющей)

13^(u_x)² (u_y)² (u_z)^{2 }

Степень турбулентности потока  

u

                                          2        2         2  осредненная местная скорость.

где u  ^u_x ^u_y ^u_z

 

Структура турбулентного потока

 

Основной особенностью турбулентного потока является интенсивное перемешивание частиц жидкости. Отметим, что имеется в виду именно перемешивание частиц, а не молекул. Интенсивность перемешивания расчет с ростом Re. 

Рассмотрим поток жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе круглого сечения (осесимметричный поток). Структуру потока в трубе представим в виде приближенной двухслойной схемы (модели). 

 

                       _u 0 ламинарная пленка                         

                                                                                                       л На твердой стенке (внутренняя поверх-ность трубы) скорости равны нулю. 

Вблизи        твердой          стенки            находится очень тонкий слой ^_л , в котором преимущественное значение имеют силы

uвязкого трения, рассчитываемые по за-

кону Ньютона, и жидкость движется без перемешивания. 

Эта область называется вязкий под-

                         турбулентное ядро                        слой потока.

     

В пределах вязкого подслоя скорость линейно увеличивается от нуля на стенке до некоторого значения ^u_в

30d

Толщина вязкого подслоя (без вывода) _вп 

Re 

При увеличении Re толщина вязкого подслоя уменьшается. 

 

1.3.8. Возникновение дополнительных касательных напряжений. Теория турбулентности Прандтля.

 

Теория турбулентности Л. Прандтля, предложенная в 1925 г., основана на том, что количество движения массы, переносимой в потоке за счет поперечной пульсационной составляющей скорости, остается неизменным на некотором пути, а затем изменяется скачком. Длина этого пути  l – так называемая длина пути перемешивания. Предполагается, что это расстояние моль жидкости проходит без взаимодействия с другими молями и сохраняя постоянным свое осредненное количество движения. После прохождения этого пути моль жидкости смешивается с жидкостью другого слоя, отдавая ей разницу количества движения.

Рассмотрим простейший случай плоскопараллельного осредненного турбулентного потока. Так как поток принят пло-

скопараллельным, то очевидно u _y =0.

Покажем, что в таком потоке за счет пульсаций скоростей будет возникать дополни-

тельное касательное напряжение, равное  ^u_x u^_y , где  ^u_x u^_y – осредненное значение произведения пульсаций скорости по осям.

Рассмотрим два соседних слоя жидкости, разделенных площадкой . Пусть вблизи верхней площадки имеют место пульсации скоростей ^u_x и u^_y . В этом случае можно сказать, что верхний слой движется относительно нижнего с какой-то относительной скоростью u_x .

Под действием вертикальной пульсации скорости u^_y через площадку  за время t протечет масса жидкости m u_y t .

Верхнем слое эта масса приобретет ускорение в направлении оси x . При ускорении этой поступающей снизу массы верхний слой затормаживается. Этот эффект торможения равносилен приложению к верхнему слою на поверхности раздела слоев по площадке  не которой касательной силы инерции T , направленной противоположно движению, или касательного напряжения . Эту силу можно легко подсчитать.

Изменение количества движения жидкости, прошедшей из нижнего слоя в верхний,

будет mux u_x mux  mu_x  u_xu_yt.

Это изменение количества движения равно импульсу касательной силы T

T t  u_xu_yt

Знак минус поставлен потому, что сила инерции всегда направлена против ускорения.

T

              Учитывая, что  получим  u^_xu^_y или осредненное за период T :



 u_x u_y .

Это и есть выражение для турбулентного касательного напряжения в функции от пульсационных скоростей.

Величина  по закону независимости действия сил и напряжений должна быть добавлена к тому чисто вязкому напряжению, которое действует между слоями турбулентного в среднем установившегося потока du^x

_лам турб  ^ u_y u_x .

dy

 

1.3.9. Общее уравнение касательного напряжения

 

Придадим уравнению для касательного напряжения такой вид, чтобы дополнитель-

ные напряжения _турб  u^_y u^_x были выражены не через пульсационные составляющие скорости, а через осредненные значения. 

Рассмотрим два слоя жидкости. Первый слой движется со скоростью ux , второй

ux

находится от него на расстоянии l и движется со скоростью u_x      l .  Для двумерных y

равномерных потоков скорость u_x зависит только от y , значит u^{x  dux}

                                                                                                                                                         y       dy

Пусть некоторая масса жидкости перенеслась из нижнего слоя в верхний благодаря вертикальному импульсу скорости. Смешиваясь со вторым слоем, эта масса приобретает du^x

его скорость. При этом в верхнем слое наблюдается пульсация скорости u^_x               l .

dy du^x

Прандтль предположил, что величины u^_x и u^_y одного порядка, тогда  u^_y ^    l . dy

Повторим: Прандтль предположил, что пульсации скорости в потоке по разным осям одного порядка и что величина этих пульсаций пропорциональна градиенту средней скорости.

Подставим выражения для пульсационных составляющих в формулу для касательного напряжения

2

лам турб  dudyx l2 ddyux 

здесь l – длина пути перемешивания (см. теорию турбулентности Прандтля).

dux Величина  приближенно пропорциональна средней скорости потока. При больdy

ших скоростях, в развитом турбулентном движении, второе слагаемое существенно больше первого, и первым можно пренебречь. 

Вывод: при развитом турбулентном движении касательные напряжения растут пропорционально квадрату скорости (квадратичная область сопротивления).

Когда значение лам сопоставимы со значениями _турб общее касательное напряжение зависит от средней скорости в степени меньше, чем вторая.

 

Распределение скоростей в круглой трубе при турбулентном режиме

 

Структура турбулентного потока – ламинарный пограничный слой (ламинарная пленка) толщиной ^_вп , в котором скорость нарастает по мере удаления от стенки (парабола) и ядро потока, в котором скорость распределена по логарифмическому закону. 

Выведем закон распределения скорости в круглой трубе для турбулентного ядра потока. Пренебрегаем напряжением от молекулярной вязкости, тогда инерционное касатель2

ное напряжение определится по формуле ^_турб l ^2^{du } , где l – длина пути переdy 

мешивания при переходе жидкости из оного слоя в другой. 

Примем допущение: эта длина пропорциональна расстоянию от стенки (по Прандтлю) l  y , где – коэффициент пропорциональности, определяемый из опыта. 2

_турб 2y 2du  или турб y du .

                                                       dy                             dy

турб

Введем новый параметр движения – «динамическую скорость» ^u_* . По ос-



новному уравнению равномерного движения , справедливому и для турбулентного режима, ^_турб R_гJ  gR_гJ . Тогда ^u_*  g ^R_гJ , имеет размерность скорости.

u_*  y du   Отсюда   du ^ u^* dy  Интегрируем  u ^{ u*} lny C . Следовательно dy  y       

скорость меняется по логарифмическому закону. Постоянную интегрирования найдем из условия u  ^u_макс при y  ^r0 ( в центре трубы).

u^* lnr0 C .

u_макс 



После вычитания u^макс u  1 ln r⁰ . Переходим к десятичным логарифмам и

                                                                    u_*                 y

подставляем  0.4 (для гладких труб, для шероховатых эта величина выше 0,435) 

uмакс u  5.75ln r0   или u uмакс 5.75u* ln r0 . u_* y        y

Для нахождения средней скорости турбулентного потока можно воспользоваться эмuмакс ^uср

пирическим соотношением    3.75 u* 1.3.10. Понятие о гидравлически гладких и шероховатых поверхностях

 

Экспериментально установлено, что шероховатость внутренней поверхности трубы влияет на потери напора при движении жидкости. Однако это влияние проявляется не всегда.

Труба называется гидравлически гладкой, если средняя высота выступов шероховатости  меньше толщины ламинарной пленки ^_вп (вязкий подслой). В этом случае вели-

30d

чина шероховатости не влияет на потери напора. Напомним _вп 

Re 

Если абсолютная шероховатость больше толщины ламинарной пленки >^_вп , то труба называется гидравлически шероховатой. В этом случае шероховатость существенно влияет на движение жидкости.

Относительная шероховатость отнесена к диаметру трубы – относительная шерохо-



ватость   . d

Величина, обратная относительной шероховатости, называется относительной глад-

1 d костью  .

 

 

1.3.11. Формула гидравлического сопротивления по длине трубопровода

 

Потери напора по длине трубопровода определяются по формуле Дарси-Вейсбаха

2 l v h   , где  – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси). d 2g

Потери существенно зависят от диметра труб, вязкости жидкости, скорости ее движения и шероховатости стенок труб. Из формулы можно сделать вывод, что потери пропорциональны длине трубы, обратно пропорциональны диаметру и пропорциональны квадрату средней скорости потока. Однако такой вывод будет справедлив только при неизменном коэффициенте Дарси. Фактически коэффициент Дарси в общем случае зависит от относи-

тельной шероховатости стенок трубопровода ^Δэ и числа Re, т.е. _^_Δ^э , Re^_ .

                                                                                                             d                                  d       

 

1.3.12. Эмпирическое изучение потерь напора по длине трубы. Опыты Никурадзе

Коэффициент  определяется экспериментально (считается по эмпирическим формулам). Экспериментальные данные для  в широком диапазоне чисел Re были получены Никурадзе. Искусственная шероховатость была получена приклеиванием на внутреннюю поверхность трубы на лаковую основу просеянного песка определенного размера. Опыты проводились для различных жидкостей, размеров шероховатости и диаметров трубопровода. Полученные опытные данные обобщены в графике Никурадзе и позволили раскрыть механизм потерь напора по длине трубы. На графике в логарифмических осях представлены величины коэффициента гидравлического трения lg(100) от lg Re при различных



значениях относительной шероховатости    . Здесь  – абсолютная величина искусd

ственной шероховатости. Логарифм используется для того, чтобы охватить возможно больший диапазон значений Re, и в то же время достаточно детально представить область малых значений числа Re (ламинарный и переходный режимы движения). Каждому фиксирован-

ному значению  на графике соответствует отдельная кривая, причем чем больше  , тем кривая расположена выше.

     lg(100)                                                                         i  i 1

lgRe

 

1.               Ламинарный режим (на прямой I). Коэффициент Дарси не зависит от шероховатости. Выражение для  может быть получено теоретически 64/Re, оно хорошо согласуется с экспериментальными данными. 

2.               Переходный режим (между прямыми I и II). Обычно полагают, что движение в этом режиме турбулентное (ламинарный режим здесь неустойчив) и экстраполируют на эту область зависимости турбулентного режима. В турбулентном режиме выделяют три области.

3.               Область гидравлически гладких труб (на прямой II). В соответствии с рассмотренной ранее структурой турбулентного потока толщина вязкого ламинарного слоя у стенки 30d

_л . Величина всех неровностей меньше толщины ламинарной пленки. Здесь ко-

Re 

эффициент Дарси не зависит от шероховатости. 

4.               Доквадратичная область (между прямыми II и III). Чем больше шероховатость, тем раньше происходит выход выступов шероховатости из ламинарной пристеночной пленки, а значит и выход из области гидравлически гладких труб, т.е. тем раньше начинает проявляться влияние шероховатости. 

5.               Квадратичная область (справа от прямой III). Коэффициент Дарси не зависит от Re («автомодельность»по Re , т.е. независимость от Re). Потери напора по длине трубы пропорциональны квадрату скорости.

График Никурадзе позволяет объяснить природу гидравлического трения, однако так как он получен для искусственной шероховатости им нельзя пользоваться при естественной шероховатости. Для реальных труб выход выступов шероховатости из ламинарной пристеночной пленки происходит не одновременно, кривые не имеют минимума.

Для естественной шероховатости вводят понятие абсолютной эквивалентной шероховатости ^_э , т.е. такой равномерной шероховатости, для которой потери в квадратичном режиме те же, что и у естественной шероховатости. 

 

1.3.13. Формулы для определения коэффициента гидравлического трения 

 

64

1.    0 Re2320. Ламинарный режим.       . (Единственный случай, когда формула Re

для коэффициента Дарси может быть получена теоретически. Все остальные формулы получены по экспериментальным данным – эмпирические формулы). В курсе гидропривода 75

обычно используют формулу     , в которой учтены потери на начальном участке Re

трубы (?).

2.    2320 Re4000. Переходный режим. Как правило расчет потерь производят по формулам для турбулентного режима (см. ниже), однако для этой области существует редко

используемая формула Френкеля   .  Re

3.    4000 Re  20 d . Турбулентный режим. Область гидравлически гладких труб. Фор_э

мула Блазиуса  . Иногда встречается в виде  (100Re)^0,25. Re

4.    20 d  Re  500 d . Турбулентный режим. Доквадратичная область.