Тетраэдр

Тетраэдр

 
Тетраэдр(или треугольная пирамида) имеет сходство с треугольником, но в отличие от него является более сложной фигурой и не удивительно, что его свойства более разнообразны.
Тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

Равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.

Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.









 

Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.

Каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:
существует сфера, касающаяся всех ребер,
суммы длин скрещивающихся ребер равны,
суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Правильный тетраэдр образуется при sp3-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника.
Молекула метана СН4
Ион аммония NH4+
Сульфат-ион SO42-, Фосфат-ион PO43-, Перхлорат-ион ClO4- и многие другие ионы
Алмаз C — тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
Комплексные ионы [BF4]-, [ZnCl4]2-, [Hg(CN)4]2-, [Zn(NH3)4]2+
Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO4]4-

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.

Площадь полной поверхности тетраэдра можно рассчитать, зная площади его граней.
 
Из основной формулы для объёма тетраэдра
 
(1)
 
где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD.
 
(2)

где ∠(AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

 
(3)

где ∠(ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;
 
(4)
где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠(AB,CD) – угол между этими ребрами.
Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.
Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2) absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула,
 
(5)
где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):
 

 
(6)
 
где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB×CD, AC×BD,AD×BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:
 
(7)
где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.
Наконец, приведем векторную формулу:
 
(8)
 
где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

Задача №1.
Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD (рис. 1). Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD. Найди­те длину отрезка МN, если ВС = а.




 

Решение:
АМ = ВМ, так как М – середина отрезка АВ, АN = СN, так как N - средина отрезка АС. МN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, МN параллельна ВС и .
Прямая МN параллельна прямой ВС, которая лежит в плоскости ВСD, и не лежит в плоскости ВСD. Значит, по признаку парал­лельности прямой и плоскости, прямая МN параллельна плоскости ВСD, что и требовалось доказать.

Задача № 2.
Через середины ребер АВ и АС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пе­ресекает грани SАB и SBС по параллельным прямым.

Доказательство:
Обозначим середины ребер АВ и АС – как М и N соответственно, а плоскость, проходящую через точки М и N параллельно ребру SB, как φ.
Плоскость АВS проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой МL, . Значит, прямая МL параллельна прямой SB.
Плоскость ВSС проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой NP, . Значит, прямая PN параллельна прямой SB.
Имеем, что две прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой SB. Значит, прямые МL и NP параллельны, что и требовалось доказать.

Задача № 3.
Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD параллельна плоскости BCD.






 

Доказательство:
Пусть А1, В1, С1 – середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD (рис. 3). Докажем, что плоскость А1В1С1параллельна плоско­сти BCD.
А1С1 – средняя линия треугольника АВD. Из свойств средней линии следует, что А1С1параллельна BD.А1В1 – средняя линия треугольника АСD. Из свойств средней линии следует, что А1В1параллельна СD. Прямые А1С1и А1В1 пересекаются в точке А1. По признаку параллельности плоскостей, плоскости А1В1С1 и BCD параллельны, что и требовалось доказать.

Задача № 4.
а) Постройте сечение тетраэдра АBCD плоскостью α, проходящей через точку М ребра ВD, параллельно ребрам АD и ВС.
б) Докажите, что полученное сечение – параллелограмм.
в) Найдите углы полученного в сечении параллелограмма, если угол между прямыми АD и ВС равен 𝜑.

а) Построение:
1) Проведем прямую ML параллельно прямой АD в плоскости АDВ .
2) Проведем прямую MN параллельно прямой BC в плоскости BCD .
3) Проведем прямую NP параллельно прямой АD в плоскости АDC .
4) Проведем прямую LP.
5) Так как прямая АD не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой ML, лежащей в плоскости MNL, то прямая АD парал­лельна MNL по признаку. Так как прямая ВС, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой MN, лежащей в плоскости MNL, то прямая ВС параллельна MNL по признаку. Значит, MNLP – искомое сечение.
б) Докажем, что сечение MNLP – параллелограмм. Прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой АD. Значит, прямые МL и NP параллельны. Прямые МN и LP параллельны одной и той же прямой ВС. Значит, прямые МN и LP параллельны. Имеем, что в четырехугольнике МNLP противоположные стороны попрано параллельны, по определению, МNLP – параллелограмм.
в) Заметим, что прямые АD и ВС – скрещивающиеся прямые (по признаку скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающи­мися прямыми АD и ВС равен либо углу МLP, либо углу LМN. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна π. Значит, в этом параллелограмме углы равны либо 𝜑, либо π – 𝜑.

Геометрия: учеб. для 10-11кл. сред. шк./ Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др.,- М.: «Просвещение», 2010.-255с.
Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход: для 10-11кл./ Яровенко В.А.-М.: «Вако», 2011-336с.
ru.wikipedia.org/wiki/Тетраэдр
dic.academic.ru/dic.nsf/enc1p/47402