Учебное пособие "Векторы на плоскости"

Департамент образования, науки и молодёжной политики Воронежской области

ГБПОУ ВО «Воронежский техникум строительных технологий»

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКОЕ  ПОСОБИЕ

 

по дисциплине  МАТЕМАТИКА

 

Векторы на плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

Воронеж

2018

 

Рассмотрено  на  заседании  ПЦК математических  дисциплин

Протокол  № _____ от _____________

Председатель  ПЦК _______ Болычева Т.В.

 

Разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования для всех специальностей

1 курса

 

 

 

 

 

Настоящее пособие предназначено для студентов 1 курса всех специальностей и полностью соответствует программе по математике для СПО.  Оно может быть использовано студентами для самостоятельного изучения  раздела программы,  а также преподавателем на уроке  при изучении нового материала, для домашнего задания,  при  повторении и  подготовке к самостоятельной работе, к экзамену.

         Пособие включает в себя, помимо задач, краткие  теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач темы «Векторы», подробные решения типовых  задач, вопросы для самопроверки.

 

 

 

 

Автор - составитель:  Сафонова Елена Артуровна, преподаватель ГБПОУ ВО «Воронежский     техникум строительных технологий

 

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ

        1.  ВЕКТОР. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

         1.1. Векторные и скалярные величины

          В механике, физике, во многих технических науках изучаются величины разного рода. Одни величины (длина, площадь, объём, масса, плотность. температура и т.д.) при выбранной единице измерения характеризуются одним числовым значением. Такие величины, не имеющие направления, называются скалярными.

          Другие величины (сила, скорость, ускорение и т.д.), определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными.

          Если на некотором отрезке задано начало отрезка и его конец, то такой отрезок называется направленным.

 

         1.2.  Основные определения.

ü Вектор - направленный  отрезок.

Вектор характеризуется длиной и направлением.

          Вектор, заданный двумя несовпадающими точками А и B, обозначается , причём в этой записи А – начало вектора, B – его конец. 

          Векторы могут быть заданы с помощью строчных букв: ,

                      А                    

                                                                                                                                        

                                    В

 

ü Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор обозначается точкой. Например,    или  является нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для него не вводится.

ü   Длиной вектора  называется длина отрезка АВ.

Длина вектора обозначается  .

ü  Два или несколько векторов называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

 

 

                              

                                                                

                                                               

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленные ( и противоположно направленные  .

ü Два коллинеарных вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направление.

                                            

ü Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления (.

                                              -

                                            

1.3.  Действия над векторами как над направленными отрезками.

1) Сложение

ü Суммой двух ненулевых векторов   и  называется новый вектор, являющийся результатом последовательного выполнения перемещений на векторы   и .

                                      

         Сумму векторов можно найти двумя способами.

 

1)  По правилу треугольника

         Чтобы сложить векторы  и  по правилу треугольника, нужно векторы расположить последовательно, т.е. второй вектор должен выходить из конца первого. Вектор, направленный из начала первого вектора к концу второго и является суммой двух векторов (рис. 1).

                                    

               

                                      

                             Рис. 1

2)  По правилу параллелограмма  

          Чтобы сложить векторы   и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов  и (рис. 2).

            

                                 

 

 

                                              Рис. 2

            Можно сложить несколько векторов, располагая их последовательно, т.е. один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего (рис. 3).

                                                                                         

                          

                                                        

                                              

                                               

                                   

                                         Рис. 3

Свойства суммы векторов

1.    – переместительный закон

2.   - сочетательный закон

3.

 

2)  Вычитание  векторов

ü  Разностью двух ненулевых векторов   и  называется новый вектор ,

если .

Разность векторов можно найти тремя способами.

         1)  Правило треугольника  (рис.4)                          

                                                                                                     -

                                                                                                                  

                                                    Рис. 4                                    

 

         2)  Правило параллелограмма (рис. 5)

 

                                        

                                                                                                          

                                                                                                                     

                                                       Рис. 5                              

                                

               

         3)  Правило  разности

          Векторы  и  нужно построить так, чтобы они выходили из одной точки. Вектор, направленный от конца второго вектора к концу первого, будет разностью этих векторов (рис. 6).

 

                                                                                      

                                                                                                

                                                               

                                        Рис. 6                                     

 

       3)  Умножение вектора на число.

ü    Произведением ненулевого вектора  ( на число  называется новый вектор, имеющий длину  и направление, совпадающее с направлением вектора  , если  b и противоположное ему направление, если .

      Пример.  Построить векторы 3  и 

 

 

                

 

                              

                                                        Рис. 7

      4)  Скалярное  произведение  векторов

 

ü Углом между  двумя ненулевыми векторами называется угол  между лучами, задающими направления этих векторов, меньший 180.

 

                                                                                  

                                                                  

                                                              

                                  Рис. 8

ü      Скалярным произведением двух ненулевых векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

                         ,

 

Свойства скалярного произведения векторов

1.    (переместительный закон)

2.   

3.    (сочетательный закон)

4.  , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

5.    и  перпендикулярны, то 

 

      2.  Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

2.1.  Свойства коллинеарных векторов

Из определения коллинеарных векторов следует, что все они могут быть отложены на одной прямой  и  выражены один через другой. Покажем это на примере.

Пусть  даны коллинеарные векторы  , . Возьмём прямую, параллельную направлениям данных векторов, выберем на ней произвольную точку  и отложим от неё все данные векторы (рис. 9).

  O          A         O                          B       C  O            D                 O

 

                                                 D          C   O           A           B

·       

 

                                                          Рис. 9

Выразим все эти векторы через один из них.

Например, веторы   и    через вектор .

                    ,     .

          Теперь выразим векторы    через вектор  .

               ,   ,    3.

          Таким образом, эти равенства показывают, что если два вектора коллинеарны, то один из них равен произведению другого на некоторое число  , т.е.   

          Это равенство является условием коллинеарности векторов.

 

  2.2. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

          Пусть даны три неколлинеарных вектора   . Нужно выразить один вектор через два других.

           Для этого отложим все три вектора от одной точки О и построим параллелограмм, диагональю которого является вектор , а стороны параллелограмма коллинеарны векторам . Для этого нужно через конец вектора    провести лучи, параллельные векторам  .

                                         A₁

                                          

                             A

                      O                  C

 

                       

                         B₁

                             B           Рис. 10

         Получим параллелограмм  OA₁CB_1,  в котором   .

         Но по свойству коллинеарности векторов

  и

               ,  

            

      тогда   ,       где   - некоторые числа

         Запись вектора   в виде    называется разложением вектора     по векторам  .

           Таким же образом можно выполнить разложение вектора  по векторам  и , а потом разложение вектора   по векторам   и  .

 

          

3.  Система координат и координаты вектора

Пусть даны векторы  и  . Тогда любой новый вектор   можно будет разложить по этим векторам, т.е. записать в виде

                                        y                    

                                                                    

                                   

           …………………...                     O

                                                x

                                                                              Рис. 11

         Объединение векторов  и   с некоторой точкой плоскости О составляет систему координат (рис. 11). Векторы  и  при этом  называются базисными векторами, а числа   являются координатами векторов в данной системе координат.

         Но на практике часто применяется особая система координат, в которой базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину (рис. 12).

        y

     A₂                                                A                            

                   

              

 

       O                          A₁                  x

                        Рис. 12

 

Эти единичные векторы осей координат называются ортами (орт) и обозначаются .

                         

                             

         Такая система координат называется прямоугольной декартовой.

 

 

     

4. Действия над векторами в координатной форме

 

         Запись вектора в виде     называется координатной формой записи вектора.

         Если векторы заданы в координатной форме

                          

                           ,

то действия над векторами выполняются по следующим формулам и правилам:

 

 

        1.          -  сумма векторов

        2.          -  разность векторов

        3.                    -  умножение вектора на числоλλ

        4.                       -  скалярное произведение векторов

        5.                           -  длина вектора

        6.              -  косинус угла между векторами

        7.                            -  условие перпендикулярности векторов

        8.                                             -  условие коллинеарности векторов

        9. Если вектор задан двумя точками   и  , то координаты вектора определяются так:

 

       10.    -  длина вектора или расстояние                                                    между точками A и B

Деление отрезка в данном отношении

          Если отрезок  , координаты концов которого известны, точка К делит в заданном отношении  ( - число), то координаты точки К можно найти по формулам

        11.     ;    

           Пусть точка С делит отрезок АВ на две равные части, тогда

 , то есть . Подставив это значение в формулы (11), получим

             12.    

 

УПРАЖНЕНИЯ

1.  Для двух данных векторов  и  постройте векторы:

     а) ,    б) ,    в) ,    г) ,   если  1) векторы   и  неколлинеарные;  2) векторы   и   сонаправленные;  3) векторы   и   противоположно направленные.

2.  Пример 1. Даны точки  A    . Найти координаты векторов

                       .

    Р е ш е н и е.  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора  вычтем координаты начала. Тогда получим:

                             , 

                             ,

                             .

3.  Найдите координаты векторов  если .

4.  Найдите координаты векторов  если

5.  Пример 2.  Даны векторы  Найти: а) ;  ;

                          в)   г) .

       Р е ш е н и е.  Согласно приведённым правилам, получим:

       а)

      

       в) ;

       г)

6.  Даны векторы  Найти: а)  в)

     г) .

7.  Даны точки  Найти:  ,  

      .

8.  Даны точки Найти:  

    

 

9.  Пример 3. Найти длину вектора: а)  б)

     Р е ш е н и е. Согласно формуле , получим:

               ;   б) .

10.  Найти длины векторов .

11.  Пример 4.  Найти длину вектора , если

       Р е ш е н и е. Применяя формулу (10), получим

                              .

12.  Даны точки  Найти длины векторов , , .

13.  Дан треугольник с вершинами  Найти его периметр.

14.  Пример 5.  На оси абсцисс найти точку, которая находится на расстоянии 5  единиц от точки .

       Р е ш е н и е.  Обозначим искомую точку через , (так как по условию она принадлежит оси абсцисс). Тогда длина отрезка   выражается формулой

, откуда, подставляя в неё координаты точек и известное расстояние, получим  .

Возведём обе части этого равенства в квадрат, а затем раскроем скобки и приведём подобные члены:

       ;             

                                         или    .

Решая квадратное уравнение, получим .

Итак, получаем две точки: 

15.  На оси ординат найти точку, которая находится на расстоянии 13 единиц от точки

16.  Найти координаты точки, расстояние от которой до оси ординат и до точки   равно 5.

17.  Пример 6.  Разделить отрезок , заданный точками , на три равные части.

        Р е ш е н и е.  Пусть  точки деления (рис. 12).

Составим отношения для этих точек. Составим отношения для этих точек. Имеем

    т.е.     т.е. .  Теперь, подставляя эти отношения и координаты точек и B в формулу (11), находим

;        , т.е.  

 

        т.е. 

18.  Отрезок  задан точками . Найти координаты точки  если известно, что

19.  Отрезок  заданный точками , разделён в отношении  Найти точки деления.

20. Началом отрезка служит точка  а серединой – точка  Найти конец отрезка – точку

22. Найти длину медианы  треугольника с вершинами .

23.  Отрезок   разделён на 5 равных частей. Найти точки деления, если

24.  Пример 7.  Заданы два вектора, такие что , а угол между ними 45. Найти .

           Решение.  Имеем  . Так как  , то

, откуда

Итак, 

25.  Заданы векторы, такие что , а угол между ними равен 30.

Найти

26.  Заданы векторы, такие что , а угол между ними равен 60.

Найти  .

27.  Пример 8. Найти скалярное произведение векторов 

       Р е ш е н и е.  По формуле (4) 

Найти скалярное произведение векторов

28.  

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34.  Пример 9. Найти угол между векторами:  a)

б) .

       Р е ш е н и е. а) Используя формулу (6), находим

 ;    .

б)      

35.  Найти угол между векторами   и ,  если

36.  Найдите углы треугольника с вершинами 

37.  Найти угол между векторами: .

38.  Найти угол между векторами:  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется вектором?

2. Виды векторов. Какие векторы называются равными, коллинеарными, противоположными?

3. Что называется суммой двух ненулевых векторов? Свойства суммы векторов?

 4. Как можно найти сумму векторов, заданных направленными отрезками?

5. Что называется разностью векторов? Как можно найти разность векторов?

6. Что называется умножением вектора на число?

7. Что называется углом между векторами?

8. Что называется скалярным произведением векторов? Свойства скалярного произведения?

9. Свойства коллинеарных векторов.

10. Сформулируйте и запишите условие коллинеарности векторов.

11. Сформулируйте и запишите условие перпендикулярности векторов.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1.   Дадаян А.А. Математика: учебник/А.А. Дадаян.  – М.: форум, 2010. – 544с.

2. Лисичкин В.Т., Соловечик Л.И.  Математика.-М.: Высшая школа, 2008

3. Яковлев Г.Н. Математика для техникумов. Геометрия: учебник/под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1987. – 464с.

 

Интернет-ресурсы

1.                 Собрание дидактических материалов. [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://comp-science/hut.ru/.

2.                 Библиотека электронных пособий. [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://mscool.kubsu.ru/.

3.                 Библиотека «Математическое просвещение». [Электронный ресурс]: Режим доступа: http//www.mccme.ru/mmmf lectures/books/books/books.php