урок

ГАПОУ  СО «Тольяттинский машиностроительный колледж»

 План -  конспект занятия  по теме:

«Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств»

  Дисциплина: ОУД.04 Математика

программы подготовки специалистов среднего звена

27.02.02 Техническое регулирование и управление качеством

Преподаватель Рожнова Г.И.

Тольятти, 2018

Тема: «Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств».

Дидактическая цель: закрепить умения и навыки решения комбинированных уравнений.

Цели занятия:

1.     Образовательная – познакомить обучающихся с функциональными методами решения уравнений, основанными на ограниченности и монотонности функции; способствовать  повторению, обобщению и систематизации материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

2.     Развивающая – способствовать формированию умений применять приёма сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

3.     Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике и её приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общие культуры.

Вид урока: практическое занятие.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Общие методы обучения: диалогический, показательный.

Методы преподавания: побуждающий, инструктивный.

Методы учения: исполнительский, частично-поисковый.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

Междисциплинарные связи: физика, информатика.

Материально-техническое обеспечение: компьютер, доска, карточки с заданиями, учебник алгебры и начала анализа. 

План урока.

1. Организационный момент (3 мин.)

2. Проверка домашнего задания (5 мин.)

3. Устный счёт (6 мин.)

4. Сообщение темы, целей урока, создание мотива деятельности учащихся (3мин.).

5. Карточка с заданиями (4мин.).

6. Изложение нового материала (40мин.).

   а) алгоритм решения уравнения методом, основанным на монотонности функции (20мин).

   б) алгоритм решения уравнения методом оценки (20мин).

7. Самостоятельное выполнение заданий (24 мин.).

8. Задание на дом (2 мин.)

9. Итоги урока (3 мин.)

Ход урока.

1 слайд

1. Организационный момент.

«Три пути ведут к знанию: путь РАЗМЫШЛЕНИЯ – это путь самый благородный, путь ПОДРАЖАНИЯ – это путь самый легкий и путь ОПЫТА – это путь самый горький» – слова Конфуция.

Эпиграф нашего занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

       Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению комбинированных уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний.

2. Проверка домашнего задания, создание опорных знаний.

         -  Какие элементарные функции вы знаете? (Линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические).

Слайд 2.

-  С помощью слайда 2 осуществляем повторение основных свойств элементарных функций.

1 уравнение. Ответ: 0.

2 уравнение. Ответ: .

3 уравнение. Ответ: 3.

4 уравнение. Ответ: -1.

3. Устная работа.

Слайд 3.

- Указать линейные функции.

    ()

- Указать степенные функции.

    ()

- Указать показательные функции.

     ()

     - Указать функции с ограниченной областью определения.    

         ()

- Указать ограниченные снизу функции.

    ()

- Указать ограниченные сверху функции.

     ()

- Указать функции, ограниченные сверху и снизу.

     ()

- Указать строго возрастающие функции.

     ().

- Указать строго убывающие функции.

     ( ).                      

4. Сообщение темы, целей урока, создание мотива деятельности учащихся.

5. Карточка с заданиями.

Тема: Комбинированные уравнения

  - У каждого на парте карточка с заданиями.

Во второй  ее части вы видите комбинированные уравнения, которые решить графическим способом очень сложно. Существуют функциональные методы решения уравнений, позволяющие данные комбинированные уравнения решать без построения графиков функций. Эти методы основаны на монотонности и ограниченности функций, эти методы мы рассмотрим на уроке. (Запись темы в тетрадь).

6.  Изложение нового материала.

      - При решении каких из четырех уравнений  вы строили графики строго монотонных функций? (3 и 4).

      - Сколько точек пересечения имели графики функций? (Одну).

      - Что можно сказать о монотонности функций, графики которых вы строили? (Одна строго возрастающая, другая строго убывающая).

  - Судя по построению, могут ли графики строго возрастающей и строго убывающей функций иметь более одной точки пересечения? (Нет).

      - Значит, сколько корней может иметь уравнение такого типа? (Не более одного).

      - Рассмотрим  слайд 4.

Слайд 4.

- На рисунке графики строго возрастающей функции y=f(x) и строго убывающей функции y=g(x) на отрезке [a;b]. Сколько корней имеет уравнение f(x)=g(x) на этом отрезке? (один)

- Назовите этот единственный корень уравнения. (х₀)

- Запишите формулировку теоремы 1.

Слайд 5.

- Таким образом, при решении 3-го уравнения домашней работы можно было корень х=3 найти подбором, а затем с помощью теоремы 1 доказать, что этот корень единственный.

- Решим 4-е уравнение этим способом:

;

- корень уравнения;

- строго убывающая на R функция, - строго возрастающая на R, значит х=-1 единственный корень уравнения.

Ответ:-1.

- Постарайтесь сформулировать алгоритм решения уравнения методом, основанным на монотонности функции. (Обучающиеся  формулируют).

- Запишите этот алгоритм в тетрадь.

Слайд 6.

- Рассмотрим на карточке уравнения для устной работы.

Карточка с заданиями

- Какие из них являются комбинированными? (1,4, 7)

- Какое из них можно решить рассмотренным только что методом? (1, 7)

- Является ли функция  сложной функцией? (да)

- Возникает вопрос о монотонности сложной функции. Рассмотрим слайд 7.

Слайд 7

- Определите характер монотонности  функций на слайде.

1. Убывающая.

2. Возрастающая.

3. Убывающая.

Рассмотрим на карточке уравнения для самостоятельной работы:

- Какие из них можно решить методом, основанным на монотонности функции? (1, 4, 5, 6, 7, 9)

- Выберем любое и решим с комментированием у доски:

х=-1 является корнем уравнения;

 возрастает на R,  убывает на R, значит х=-1 – единственный корень уравнения.

Ответ: -1.

Вернемся к домашней работе. В ней 1-ое и 2-ое уравнения  тоже являются комбинированными.

- Можно ли их решить этим же способом? (Нет)

- Почему? ( Функции y=cosx, y=sinx, y=x²+1,  не являются монотонными)

- Что можно сказать о множестве значений этих функций? ( Функции ограничены).

- Ограниченность функции снизу и сверху используется при решении комбинированных уравнений методом оценки. Рассмотрим слайд 9.

Слайд 9.

- По рисунку видно, что на отрезке [a;b] функция y=f(x) принимает значения не менее числа А, а функция y=g(x) – не более числа  А, поэтому  уравнение f(x)=g(x) на этом отрезке может иметь корни только тогда, когда обе функции одновременно принимают значения, равные А.

 Рассмотрим теорему 2.

Слайд 10

- Отсюда алгоритм решения уравнения методом оценки.

Слайд 11

- Запишем решение 2-го уравнения домашней работы методом оценки:

;

Так как , а sinx, уравнение равносильно системе:

;

Решим первое уравнение системы: . Проверим, является ли корнем второго уравнения.

 - верно.

Ответ: .

- Какие уравнения из карточки можно решить методом оценки? (2, 3, 8, 10, 11).

- Выберем любое из них и решим с комментированием у доски:

 так как функция  непрерывна и возрастает;

.

Так как  , уравнение равносильно системе:

Решим второе уравнение системы:   .

Проверим, являются ли -1 и 1 корнями первого уравнения:

Ответ: 1.

7. Самостоятельное выполнение заданий под контролем преподавателя.

- Учащиеся выполняют задания из второй части карточки. Учитель выступает в роли консультанта.

Ответы: 1) 1  2) -0,4   3) 0,4   4) 0  5) -1  6) 1  7) 9  8) 1;3  9) 5  10) 1 11) .

8. Сообщение и комментирование домашнего задания.

    Домашнее задание:

     На 5 – 1295(а), 1740(а), 1741(б), 1742(а), 1744(а)

     На 4 – 186(в), 209(в), 1372(г), 1774(а)

     На 3 – 183(б), 209(а), 1335(а), 1476(г)

9.  Подведение итогов:

   - проверка правильности решения;

   - подсчет количества баллов (работа в парах);

   - обучающиеся, которые набрали большее количество баллов, получают «отлично»,  среднее количество – «хорошо».

    - Итак, уравнения можно поделить на стандартные и нестандартные.

Слайд 12

- На ваших карточках в первой части найдите линейное. (8)

- Чему равен его корень? (2)

- Найдите квадратное. (3)

- По теореме, обратной теореме Виета, найдите его корни. (7 и -1)

- Найдите тригонометрическое. (9)

- Укажите множество его корней. ()

- Найдите иррациональное. (5)

- Решите его ( х=11 ).

- Назовите тип  шестого уравнения (показательное).

- Решите его. ( х=0 )

- Найдите корень логарифмического уравнения. (4)

- Какие уравнения являются комбинированными? (1, 4, 7)

- С какими методами решения нестандартных комбинированных уравнений вы сегодня познакомились? (метод оценки и метод, основанный на монотонности функции)

- Какое из 1, 4 и 7 решается методом оценки? (4)

- Чему равен корень этого уравнения (0)

- Каким методом решается 1 и 7 уравнения? (Методом, основанным на монотонности функции)

- Найдите корень первого. (0)

- Найдите корень седьмого. (0).

- Таким образом, поставленная в начале урока цель нами достигнута. С основными методами решения комбинированных уравнений  мы познакомились. В домашней работе вы будете применять эти методы на практике.

Используемая литература.

1.     В.С. Крамор. “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа” Просвещение, 1990

2.     Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина. “Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы”

3.     Газета “Математика” (приложение к газете “Первое сентября”)