Внеклассное мероприятие для 9 классов "Математическое РЕГАТО"

Математическая регата

9 класс

  Задание 1.

Что больше:  или ?

Решение:

    ==< .

   Задание 2. График функции   приведен на рисунке. Найдите коэффициенты b и с.

Решение: Так как график функции проходит через начало координат, то с = 0. Подставляя в уравнение  координаты точки (-4;0), получаем, что  b= 4. Таким образом, функция имеет вид: .

 Задание 3.   Графики двух из приведенных ниже шести функций нарисованы на координатной плоскости. Определите, какой функции соответствует каждый график, решение поясните.

1.                                                      4.

2.                                                    5.     

3.                                             6.     

Решение:

1)                График функции у=f(х) проходит через начало координат, следовательно, коэффициент с в представлении  равен нулю. Ветви параболы направлены вверх, значит, а >0. Этим двум условиям из данных шести функций удовлетворяет только функция .

2)                Вершина параболы - графика функции у=g(х) - лежит на оси ОY, следовательно, коэффициент b равен нулю.  Ветви параболы направлены вниз, значит, а < 0. Этим двум условиям удовлетворяют две из предложенных шести функций:  и  . Для того, чтобы выбрать одну из этих двух «претенденток», найдем точки пересечения графиков функций с осью ОХ. Для функции   - это точки (0;0) и (5;0), для функции  - это точки (5;0), и (-5;0), а для функции  - (3;0), и (-3;0).  Так как положительный нуль функции у=g(х) на графике левее положительного нуля функции у=f(х), то функция  g(х) имеет вид:  .

Задание 4.

 В трапеции АВСD известны основания ВС=а, АD=b и высота ВН=h. Диагонали пересекаются в точке К. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных?

1)    Среднюю линию трапеции.

2)    Площадь трапеции.

3)    Сторону АВ.

4)    Диагональ АС.

5)    Площадь треугольника АКD.

Ответ обязательно поясните: если величину можно найти, то найдите ее, если данных недостаточно, то приведите пример двух трапеций с данными основаниями и высотой, но имеющих разные другие величины. 

Решение: . Средняя линия находится по известной формуле: .

6)    Площадь трапеции. Решение. Площадь трапеции также легко находится по формуле:  

7)    Сторону АВ.

8)    Диагональ АС.

Решение.

Боковую сторону и диагональ трапеции найти нельзя, так как основания и высота трапеции не задают однозначно боковые стороны и диагонали  трапеции (см. рисунок).

9)    Площадь треугольника АКD.

Решение.

Опустим из точки К перпендикуляры на основания КН и КF. Тогда FН=h.

Треугольники ВСК и АDК подобны по двум углам, следовательно,

ВК:КD = а:b. Треугольники ВFК и НDК также подобны по двум углам, следовательно, FК:КН = ВК:КD = а:b. Из того, что FК+КН= FН=h, мы можем вычислить длину КН=. Отсюда площадь треугольника АКD равна: 

.

     Задание 5.

Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное.

1)    Сколько существует двузначных зеркальных чисел? Ответ поясните.

2)    Сколько существует трехзначных зеркальных чисел? Ответ поясните.

3)    Каких зеркальных чисел больше – трехзначных или четырехзначных? Ответ поясните.

4)    Существует ли трехзначное зеркальное число, которое делится на 45?

Решение: Двузначных зеркальных чисел всего 9: 11, 22, 33, …, 99.

5)    Сколько существует трехзначных зеркальных чисел? Ответ поясните.

Решение. Трехзначных зеркальных чисел всего 90 – столько же, сколько обычных двузначных чисел, так как две первые цифры трехзначного зеркального числа однозначно определяют третью цифру.

6)    Каких зеркальных чисел больше – трехзначных или четырехзначных? Ответ поясните.

Решение. Поровну. Четырехзначных зеркальных чисел, как трехзначных, столько же, сколько обычных двузначных чисел. Для них также две первые цифры четырехзначного зеркального числа однозначно определяют все число.

7)    Существует ли трехзначное зеркальное число, которое делится на 45?

Решение. Существует. Оно должно оканчиваться на 5 и его сумма цифр должна делиться на 9: это число 585.

Задание 6.

 Разрежьте квадрат на:

1)    4 квадрата

2)    16 квадратов

3)    7 квадратов

4)    10 квадратов

5)    Можно ли разрезать квадрат на 2008 квадратов? Ответ поясните.

Решение:

1)    4 квадрата

2)    16 квадратов

2)     7 квадратов

4)    10 квадратов

8)    Можно ли разрезать квадрат на 2008 квадратов?

Решение. Можно. При разрезании квадрата на 4 части прибавляется 3 квадрата. Число 2008 можно представить как: . Если один квадрат разрезать сначала на 4 части и дальше еще 668 раз разрезать получающиеся части-квадраты на 4 части, то получится 2008 квадратов.