Вся алгебра из 2 части из банка ФИПИ с решениями

Содержание

Задачи №20                                                                                                                                                      2

Задачи №21                                                                                                                                                    14

Задачи №22                                                                                                                                                    34

Задачи №20

№20.1 (8AA84C)

Решите уравнение x³ + 2x² − x − 2 = 0.

Ответ: −2; −1; 1

Решение. Преобразуем уравнение:

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x + 2)(x − 1)(x + 1) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

№20.2 (8B4010)

Решите уравнение x³ + 2x² = 9x + 18.

Ответ: −3; −2; 3

Решение. Преобразуем уравнение:

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

№20.3 (C63018)

Решите уравнение (x − 2)(x² + 2x + 1) = 4(x + 1).

Ответ: −2; −1; 3

Решение. Преобразуем уравнение:

По формуле сокращённого умножения

x² + 2x + 1 = x² + 2 · 1 · x + 1² = (x + 1)²

Тогда имеем

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности

Решим второе уравнение совокупности:

Таким образом,

№20.4 (4DCE6B)

Решите уравнение x⁴ = (x − 12)².

Ответ: −4; 3

Решение. Заметим, что x⁴ = (x²)² . Тогда

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

 x² − x + 12 = 0



x² + x − 12 = 0

Решим первое уравнение совокупности:

x² − x + 12 = 0 D = (−1)² − 4 · 1 · 12 = 1 − 48 = −47 < 0

Следовательно, первое уравнение совокупности не имеет решений. Решим второе уравнение совокупности:

Таким образом,

№20.5 (5D3C80)

Решите уравнение (x² − 4)² + (x²                      6x − 16)² = 0.

Ответ: −2

Решение. Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого x верно, что

                                                                           и    

Сумма квадратов двух выражений равна 0, когда квадраты обоих выражений равны 0, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

((x2 − 4)2 = 0

(x² − 6x − 16)² = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

Решим первое уравнение системы:

x² − 4 = 0 x² = 4

x = ±2

Решим второе уравнение системы:

Вернемся к системе:

№20.6 (A69BB1)                         _{√               √}

Решите уравнение x² − 3x +          6 − x =      6 − x + 40.

Ответ: −5

Решение. Запишем ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому

6 − x ⩾ 0 x ⩽ 6

Решим уравнение на ОДЗ:

№20.7 (29978C)

Решите уравнение .

Ответ: ; 2

Решение. Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому x − 1 ̸= 0, следовательно x ̸= 1.

Вернемся к уравнению. Сделаем замену. Следовательно,. Тогда имеем

Сделаем обратную замену:

№20.8 (EDFB3F)

Решите уравнение (x − 1)⁴ − 2(x          1)² − 3 = 0.

                             √            √

Ответ: 1 −         3; 1 +     3

Решение. Сделаем замену t = (x − 1)² ⩾ 0. Тогда (x − 1)⁴ = ((x − 1)²)² = t². Решим новое уравнение:

Сделаем обратную замену:

"(x − 1)2 = 3

(x − 1)² = −1

Так как для любого x верно, что (x − 1)² ⩾ 0, то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

Воспользуемся формулой разности квадратов:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

№20.9 (7CB2F7)

x² + y = 5, Решите систему уравнений

6x² − y = 2.

Ответ: (1;4), (−1;4)

Решение. Преобразуем систему уравнений:

⁽x² + y = 5

6x² − y = 2

⁽(x² + y) + (6x² − y) = 5 + 2 x² + y = 5

(7x2 = 7 x² + y = 5

(x2 = 1 x² + y = 5

(x2 = 1

1 + y = 5

(x2 = 1

y = 4

Если x² = 1, то x = ±1. Тогда

(

x = 1

^ y = 4

(  x = −1

 y = 4

№20.10 (EC6ABC)

                                                                       4x²            3x = y,

Решите систему уравнений

8x − 6 = y.

Ответ: (2;10);

Решение.

⁽4x² − 3x = y

8x − 6 = y

⁽4x² − 3x = 8x − 6

8x − 6 = y

Решим первое уравнение полученной системы:

Вернемся к системе:

Решим первую систему полученной совокупности:

Решим вторую систему полученной совокупности:

Следовательно, (2;10);— решения системы уравнений. №20.11 (11667F)

5x² + y² = 61, Решите систему уравнений

15x² + 3y² = 61x.

Ответ: (3;−4); (3;4)

Решение. Домножим первое уравнение системы на 3:

⁽15x² + 3y² = 61 · 3

15x² + 3y² = 61x

Левые части равны, следовательно, равны и правые части. Тогда

(

61x = 61 · 3

15x² + 3y² = 61 · 3

( x = 3

5x² + y² = 61

( x = 3

5 · 9 + y² = 61

( x = 3

y² = 16



x" = 3

y = 4

 y = −4

(

x   = 3

^ y = 4

(  x = 3



y   = −4

№20.12 (E06DFB)

Найдите значение выражения 39a − 15b + 25, если .

Ответ: 1

Решение. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому 6a − 3b + 4 ̸= 0. Тогда можем перемножить дробь крест-накрест:

Теперь ответим на вопрос задачи:

39a − 15b + 25 = (39a − 15b + 24) + 1 = 0 + 1 = 1.

№20.13 (735E34)                            _√

Решите неравенство (x − 9)² <         2(x − 9).

Ответ:

Решение. Преобразуем неравенство:

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:

.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно совокупности:

Рисуем ось, отмечаем на ней нули, выколов их, потому что знак неравенства строгий. Расставляем знаки на промежутках:

Таким образом,.

№20.14 (2D3686)

Решите неравенство .

Ответ:

Решение.

Разделим обе части неравенства на −15. Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение:

.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно совокупности:

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

№20.15 (AB3F33)

Решите неравенство .

Ответ: (−∞;−1) ∪ (8;+∞)

Решение.

.

Разделим обе части неравенства на −12. Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

.

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение через дискриминант:

Перепишем наше неравенство:

.

Найдем знак неравенства, например при x = 9 :

1  > 0. (9 − 8)(9 + 1)

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

Таким образом, x ∈ (−∞;−1) ∪ (8;+∞).

Задачи №21

№21.1 (E0621D)

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A.

Ответ: 20 км/ч

Решение. Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 5 км/ч. Составим таблицу:

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:



_180x − 180(x + 5) + 3x(x + 5) = 0 x ̸= 0 x ̸= −5 Решим первое уравнение системы:

180x − 180(x + 5) + 3x(x + 5) = 0

180x − 180x − 180 · 5 + 3x² + 15x = 0

3x² + 15x − 180 · 5 = 0 x² + 5x − 300 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 5² + 4 · 300 = 1225 = 35²

Тогда

Корень x = −20 не подходит по смыслу задачи, так как x > 0. Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 15 км/ч, следовательно, его скорость на пути из B в A равна 15 + 5 = 20 км/ч.

№21.2 (CB584C)

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Ответ: 10 км/ч

Решение. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x + 10 км/ч. Составим таблицу:

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:



_60x − 60(x + 10) + 3x(x + 10) = 0 x ̸= 0 ^_x ̸= −10 Решим первое уравнение системы:

60x − 60(x + 10) + 3x(x + 10) = 0 60x − 60x − 600 + 3x² + 30x = 0

3x² + 30x − 600 = 0 x² + 10x − 200 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 10² + 4 · 200 = 900 = 30²

Тогда

Корень x = −20 не подходит по смыслу задачи, так как x > 0. Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.

№21.3 (618AAB)

Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Ответ: 80 км/ч

Решение. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна x + 10 км/ч. Составим таблицу:

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Составим уравнение:



_560x − 560(x + 10) + x(x + 10) = 0 x ̸= 0 ^_x ̸= −10 Решим первое уравнение системы:

560x − 560(x + 10) + x(x + 10) = 0

560x − 560x − 560 · 10 + x² + 10x = 0 x² + 10x − 560 · 10 = 0 x² + 10x − 5600 = 0 Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 10² + 4 · 5600 = 22500 = 150²

Тогда

Корень x = −80 не подходит по смыслу задачи, так как x > 0. Поэтому скорость второго автомобиля равна 70 км/ч, а скорость первого автомобиля равна 70 + 10 = 80 км/ч.

№21.4 (3E9BDF)

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Ответ: 26 км

Решение. Пусть первый велосипедист до места встречи ехал t часов. Тогда второй велосипедист ехал до места встречи часа. Составим таблицу:

Так как два велосипедиста встретились, то суммарно они проехали путь, равный расстоянию между городами, то есть 82 км. Составим уравнение:

Следовательно, второй велосипедист ехал до места встречи 2+  часа. Значит, за это время он проехал расстояние, равное  км.

№21.5 (4CD6F9)

Из A в B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Ответ: 84 км/ч

Решение. Пусть весь путь равен 2S км, а скорость первого автомобиля равна x км/ч. Тогда второй первую половину пути, то есть S км ехал со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью x + 7 км/ч.

По условию автомобили прибыли в B одновременно, то есть они ехали одинаковое количество времени. Составим уравнение:    

Разделим обе части равенства на S ̸= 0 и умножим на 78:



_x(x + 7) + 78x − 156(x + 7) = 0 x ̸= 0 x ̸= −7 Решим первое уравнение системы:

x(x + 7) + 78x − 156(x + 7) = 0

x² + 7x + 78x − 156x − 156 · 7 = 0 x² − 71x − 1092 = 0 Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 71² + 4 · 1092 = 9409 = 97²

Тогда

Корень x = −13 не подходит по смыслу, так как x > 0. Поэтому скорость первого автомобиля равна 84 км/ч.

№21.6 (60CF49)

Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Ответ: 61,5 км/ч

Решение. Средняя скорость — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, за который был пройден этот путь. Составим таблицу:

На первые 350 км автомобиль потратил  = 5 часов, на следующие 105 км потратил  = 3 часа, а на последние 160 км потратил  = 2 часа.

Всего автомобиль потратил на дорогу

5 + 3 + 2 = 10 часов,

при этом длина всего его пути равна

350 + 105 + 160 = 615 км.

Тогда средняя скорость равна:  км/ч.

№21.7 (3149F7)

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Ответ: 52,8 км/ч

Решение. Пусть весь путь равен 2S км. Составим таблицу:

Средняя скорость — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, за который был пройден этот путь. Весь путь равен 2S км, а время, за которое он пройден, равно:

.

Значит, средняя скорость равна

.

№21.8 (4EC63B)

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.

Ответ: 4 км/ч

Решение. Пусть скорость течения реки равняется x км/ч. Составим таблицу:

По условию с учетом стоянки длительностью в 19 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 36 часам. Составим уравнение:



_285(34 − x) + 285(34 + x) − 17(34 + x)(34 − x) = 0 x ̸= −34

x ̸= 34

Решим первое уравнение системы:

Разделим обе части уравнения на 17:

285 · 2 · 2 − 34² + x² = 0 x² = 1156 − 1140

x² = 16

"

x = 4 x = −4

Корень x = −4 не подходит по смыслу задачи, так как x > 0. Поэтому скорость течения реки равна 4 км/ч.

№21.9 (0C2857)

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Решение. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется x км/ч. Составим таблицу:

По условию лодка затратила на путь по течению на 2 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

.

Разделим обе части уравнения на 2:



_36(x + 3) − 36(x − 3) − (x − 3)(x + 3) = 0 x ̸= 3 x ̸= −3 Решим первое уравнение системы:

Корень x = −15 не подходит по смыслу задачи, так как x > 0. Поэтому скорость моторной лодки равна 15 км/ч.

№21.10 (D54DDD)

Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Решение. Пусть собственная скорость баржи равняется x км/ч. Составим таблицу:

По условию баржа затратила на весь путь 10 часов. Составим уравнение:

.

Поделим обе части уравнения на 10:



_8(x − 5) + 6(x + 5) − (x − 5)(x + 5) = 0 x ̸= −5

x ̸= 5

Решим первое уравнение системы:

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 14² + 4 · 1 · 15 = 196 + 60 = 256 = 16²

Тогда

Корень x = −1 не подходит по смыслу задачи, так как x > 0. Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

№21.11 (7BB613)

Расстояние между пристанями A и B равно 90 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Решение. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется x км/ч. Составим таблицу для лодки:

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 4 км/ч. Тогда он проплывает 52 км за 52 : 4 = 13 часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

Разделим обе части полученного уравнения на 6:



_15(x − 4) + 15(x + 4) − 2(x + 4)(x − 4) = 0 x ̸= −4

x ̸= 4

Решим первое уравнение системы:

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (−15)² + 4 · 16 = 225 + 64 = 289 = 17²

Тогда

Корень x = −1 не подходит по смыслу задачи, так как x > 0. Поэтому скорость лодки равна 16 км/ч.

№21.12 (1CAC40)

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

Ответ: 10 км/ч

Решение. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго бегуна равна x + 11 км/ч.

Через 1 час после старта первый бегун пробежал x · 1 = x км, а по условию до конца круга ему осталось 4 км. Значит, длина круга равна x + 4 км.

По условию второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад, следовательно, круг он пробегает за 40 минут. Заметим, что 40 минут — это  часа. Тогда можем составить уравнение:

.

Умножим обе части уравнения на 3:

(x + 11) · 2 = (x + 4) · 3

2x + 22 = 3x + 12 x = 10

Значит, скорость первого бегуна равна 10 км/ч.

№21.13 (60E027)

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 129 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу поезду, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Ответ: 300 м

Решение. Пусть длина поезда равна x км.

Поскольку пешеход идет навстречу поезду, скорость сближения конца поезда и пешехода равна сумме их скоростей, то есть 129 + 6 = 135 км/ч.

Тогда пешеход и конец поезда со скоростью 135 км/ч сближаются на расстояние, равное длине поезда, за 8 секунд.

Переведём 8 секунд в часы. 8 секунд — это  минуты, то есть  =             ¹    часа.

                                                                                                         60      15                                60      450

Тогда  км Значит, длина поезда равна 0,3 км, то есть 300 м.

№21.14 (A82BBF)

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Ответ: 400 м

Решение. Пусть длина поезда равна x км.

Поскольку пешеход идет в одном направлении с поездом, скорость сближения конца поезда и пешехода равна разности их скоростей, то есть 86 − 6 = 80 км/ч.

Тогда со скоростью сближения 80 км/ч пешеход и конец поезда сближаются на расстояние, равное длине поезда, за 18 секунд.

Переведём 18 секунд в часы. 18 секунд — это  минуты, то есть  часа.

Тогда  км Значит, длина поезда равна 0,4 км, то есть 400 м.

№21.15 (62EA5C)

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Ответ: 25

Решение. Пусть второй рабочий делает x деталей в час. Тогда первый рабочий делает x + 5 деталей в час. Составим таблицу:

Поскольку первый выполняет заказ из 200 деталей на 2 часа быстрее второго, можем составить уравнение:

.

Разделим обе части уравнения на 2:



_100(x + 5) − 100x − x(x + 5) = 0 x ̸= 0

x ̸= −5

Решим первое уравнение системы:

100(x + 5) − 100x − x(x + 5) = 0

100x + 500 − 100x − x² − 5x = 0 x² + 5x − 500 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 5² + 4 · 500 = 25 + 2000 = 2025 = 45²

Тогда

Поскольку по смыслу задачи x > 0, то x = 20. Тогда первый рабочий за час делает 20 + 5 = 25 деталей.

№21.16 (C6F82A)

Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

Ответ: 13

Решение. Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает x + 3 литров воды в минуту. Составим таблицу:

Поскольку вторая труба на 6 минут быстрее заполняет резервуар объемом 260 литров, можем составить уравнение:



_260(x + 3) − 260x − 6x(x + 3) = 0 x ̸= 0

x ̸= −3

Решим первое уравнение системы:

Разделим полученное уравнение на 6:

130 − x² − 3x = 0 x² + 3x − 130 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 3² + 4 · 130 = 9 + 520 = 529 = 23²

Тогда

Поскольку по смыслу задачи x > 0, x = 10. Тогда вторая труба за минуту пропускает 10 + 3 = 13 литров воды.

№21.17 (BF34C1)

Свежие фрукты содержат 85% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

Ответ: 75 кг

Решение. Составим таблицу:

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

Изначально масса сухого вещества составляла 15% от всей массы свежих фруктов, то есть

.

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 84% от всей массы x сухих фруктов. Тогда она была равна

Таким образом, масса сухих фруктов равна 75 кг.

№21.18 (8E1B38)

Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?

Ответ: 294 кг

Решение. Составим таблицу:

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 78% от массы сухих фруктов, то есть

.

Изначально масса сухого вещества составляла 13% от всей массы x свежих фруктов. Тогда она была равна

Таким образом, масса свежих фруктов должна быть равна 294 кг.

№21.19 (CD3E63)

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?

Ответ: 87%

Решение. Пусть концентрация первого раствора равна x%, а концентрация второго раствора — y%. Составим таблицу:

Так как масса чистого вещества не меняется, то

.

По условию, если слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Пусть массы первого и второго раствора равны k кг. Составим таблицу:

Так как масса чистого вещества не меняется, то

Так как k ̸= 0, то можем поделить обе части уравнения на k

.

Составим систему уравнений:

Разделим обе части первого уравнения системы на 10:

(

x + 1,6y = 11 · 13 x + y = 61 · 2

(

x + 1,6y = 143 x + y = 122

Вычтем из первого уравнения второе:

( x + 1,6y − x − y = 143 − 122 x + y = 122

(

0,6y = 21 x + y = 122

( y = 35 x = 87

Следовательно, концентрация первого раствора равна 87%.

№21.20 (FC8DBB)

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Ответ: 2,6 кг

Решение. Пусть концентрация первого раствора равна x%, а концентрация второго раствора — y%. Составим таблицу:

Так как масса чистого вещества не меняется, то

.

По условию, если слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Пусть массы первого и второго раствора равны k кг. Составим таблицу:

Так как масса чистого вещества не меняется, то

Так как k ̸= 0, то можем поделить обе части уравнения на k

.

Составим систему уравнений:

Разделим обе части первого уравнения системы на 4:

( x + 4y = 57 · 5 x + y = 60 · 2

( x + 4y = 285 x + y = 120

Вычтем из первого уравнения второе:

( x + 4y − x − y = 285 − 120 x + y = 120

(

3y = 165 x + y = 120

( y = 55 x = 65

Следовательно, концентрация первого раствора равна 65%. Найдём массу кислоты в первом растворе:

.

Задачи №22

№22.1 (C1600B)

Постройте график функции

                                                                                            при     x < −2,



                                                                       y =      −2x − 6,5     при       − 2 ⩽ x ⩽ −1,

                                                                                            при     x > −1,

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m ∈ {−4,5;−2,5}

Решение. Графиком каждой из трех линейных функций y = x − 0,5, y = −2x − 6,5 и y = x − 3,5 является прямая.

Составим таблицу для функции y = x − 0,5 :

Составим таблицу для функции y = −2x

Составим таблицу для функции y = x −

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. (−2;−2,5) и (−1;−4,5) — точки стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки:

Нам подходят положения 1 и 2.

Положение 1: прямая y = m проходит через точку стыка (−1;−4,5), значит, m = −4,5.

Положение 2: прямая y = m проходит через точку стыка (−2;−2,5), значит, m = −2,5.

Следовательно,

m ∈ {−4,5;−2,5}.

№22.2 (38ED33)

⁽x² − 6x + 11 при x ⩾ 2, y = x + 3 при x < 2.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m ∈ {2} ∪ (3;5)

Решение. Графиком квадратичной функции y = x² − 6x + 11 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

y₀ = y(3) = 3² − 6 · 3 + 11 = 2

Следовательно, (3;2) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком линейной функции y = x + 3 является прямая. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При x = 2 функция терпит разрыв, (2;5) — выколотая точка, (2;3) — закрашенная точка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

Нам подходят все положения горизонтальной прямой y = m между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая y = m проходит через вершину параболы (3;2), значит, m = 2.

Положение 2 (три общие точки): прямая y = m проходит через точку (2;3), значит, m = 3. Положение 3 (одна общая точки): прямая y = m проходит через выколотую точку (2;5), значит,

m = 5.

Следовательно,

m ∈ {2} ∪ (3;5).

№22.3 (E73835)

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m ∈ [−1;1] ∪ {3}

Решение. Графиком квадратичной функции y = −x² − 2x + 2 является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

y₀ = y(−1) = −(−1)² − 2 · (−1) + 2 = 3

Следовательно, (−1;3) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком линейной функции y = −x − 2 является прямая. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При x = −3 функция терпит разрыв, (−3;1) — выколотая точка, (−3;−1) — закрашенная точка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

Нам подходят все положения горизонтальной прямой y = m между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая y = m проходит через точку (−3;−1), значит, m = −1.

Положение 2: прямая y = m проходит через выколотую точку (−3;1), значит, m = 1.

Положение 3: прямая y = m проходит через вершину параболы (−1;3), значит, m = 3.

Следовательно,

m ∈ [−1;1] ∪ {3}.

№22.4 (EFF36A)

при    x ⩾ −1, при      x < −1.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: m ∈ (0;1) ∪ [4;+∞)

Решение. Графиком квадратичной функции y = x² + 1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

y₀ = y(0) = 0² + 1 = 1

Следовательно, (0;1) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком функции обратной пропорциональности является гипербола. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При x = −1 функция терпит разрыв, (−1;4) — выколотая точка, (−1;2) — не выколотая точка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

Нам подходят все положения горизонтальной прямой y = m между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3 включительно и выше.

Положение 1 (нет общих точек): прямая y = m совпадает с осью абсцисс, являющейся асимптотой гиперболы, значит, m = 0.

Положение 2 (две общие точки): прямая y = m проходит через вершину параболы (0;1), значит,

m = 1.

Положение 3: прямая y = m проходит через выколотую точку (−1;4), значит, m = 4.

Следовательно,

m ∈ (0;1) ∪ [4;+∞).

№22.5 (FE4FAA)

                                                                                          ^x² − 2x + 1       при x ⩾ −2,

при x < −2.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Ответ: m ∈ {0} ∪ [9;+∞)

Решение. Графиком квадратичной функции y = x² − 2x + 1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

y₀ = y(1) = 1² − 2 · 1 + 1 = 0

Следовательно, (1;0) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком функции обратной пропорциональности  является гипербола. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. (−2;9) — точка стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции одну или две общие точки.

Нам подходит положение 1 горизонтальной прямой y = m, а также положение 2 включительно и выше.

Положение 1: прямая y = m проходит через вершину параболы (1;0), значит, m = 0.

Положение 2: прямая y = m проходит через точку стыка (−2;9), значит, m = 9.

Следовательно,

m ∈ {0} ∪ [9;+∞).

№22.6 (24E78D)

.

k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение. Область определения функции:

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

.

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой. Построим таблицу значений для гиперболы:

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

y = kx — пучок прямых, проходящих через точку (0;0).

Изобразим положения прямой y = kx, при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Нам подходит только одно положение прямой y = kx, при котором она проходит через выколотую

точку  . Найдем, чему равно k :

№22.7 (E13E3C)

.

m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Ответ: m ∈ {3;3,2}

Решение. Область определения функции:

x² + 5x ̸= 0

x(x + 5) ̸= 0 x ̸= 0; x ̸= −5 Преобразуем уравнение, задающее функцию:

.

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой. Построим таблицу значений для гиперболы:

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

.

Тогда (−5;3,2) — выколотая точка.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она не имеет с графиком этой функции общих точек.

Нам подходят положения 1 и 2 прямой y = m.

Положение 1: прямая y = m проходит через выколотую точку (−5;3,2), значит m = 3,2.

Положение 2: прямая y = m совпадает с горизонтальной асимптотой y = 3, значит m = 3.

Следовательно, ответ

m ∈ {3;3,2}.

№22.8 (F8D6E6)

.

k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение. Область определения функции: 1 − x ̸= 0             ⇔      x ̸= 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

.

Тогда график исходной функции — это парабола с выколотой точкой. Найдем координаты этой выколотой точки:

x   = 1      ⇒        y(1) = −1² − 2,25 = −3,25.

Следовательно, (1;−3,25) — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции y = −x² − 2,25 является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

.

Следовательно, (0;−2,25) — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

y   = kx — пучок прямых, проходящих через точку (0;0).

Изобразим положения прямой y = kx, при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Положение 1: прямая y = kx проходит через выколотую точку (1;−3,25) :

.

Положения 2 и 3: прямая y = kx касается параболы y = −x² − 2,25. Значит, система

( y = kx y = −x² − 2,25

имеет единственное решение, следовательно, квадратное уравнение

                                                                    −x² − 2,25 = kx       ⇔       x² + kx + 2,25 = 0.

имеет ровно одно решение, то есть его дискриминант равен нулю:

D = k² − 9 = 0 k² = 9 k = ±3

Следовательно, ответ

.

№22.9 (C344AD)

.

c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: c ∈ {−6,25;−4;6}

Решение. Область определения функции:

(x − 3)(x + 2) ̸= 0 x ̸= −2; x ̸= 3

Преобразуем выражение в числителе. Сделаем замену x² = t, получим:

x⁴ − 13x² + 36 = t² − 13t + 36.

Найдем корни квадратного уравнения

Тогда

t² − 13t + 36 = (t − 9)(t − 4). Сделаем обратную замену:

 .

Тогда на области определения функция примет вид:

= (x + 3)(x − 2) = x² + x − 6.

Тогда график исходной функции — это парабола с двумя выколотыми точками. Найдем координаты выколотых точек:

Итого, (−2;−4) и (3;6) — выколотые точки.

Графиком квадратичной функции y = x² + x − 6 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

.

Следовательно, (−0,5;−6,25) — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = c, при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

Нам подходят положения 1, 2 и 3 прямой y = c.

Положение 1: прямая y = c проходит через вершину параболы (−0,5;−6,25), значит c = −6,25.

Положение 2: прямая y = c проходит через выколотую точку (−2;−4) значит c = −4.

Положение 3: прямая y = c проходит через выколотую точку (3;6) значит c = 6.

Следовательно, ответ

c ∈ {−6,25;−4;6}.

№22.10 (0B2341) Постройте график функции

y = x² + 3x − 4|x + 2| + 2.

Определите, при каких значениях                    прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: m ∈ {−2,25;0}

Решение. Преобразуем уравнение, задающее функцию:

⁽x² + 3x − 4(x + 2) + 2 при x + 2 ⩾ 0 y = x² + 3x + 4(x + 2) + 2 при x + 2 < 0

⁽x² − x − 6 при x ⩾ −2 y = x² + 7x + 10 при x < −2

Графиком квадратичной функции y = x² − x − 6 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (0,5;−6,25) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком квадратичной функции y = x² + 7x + 10 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (−3,5;−2,25) — вершина параболы. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка (−2;0) — точка стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

Нам подходят положения 1 и 2 прямой y = m.

Положение 1: прямая y = m проходит через точку стыка (−2;0), то есть m = 0.

Положение 2: прямая y = m проходит через вершину (−3,5;−2,25) параболы y = x² + 7x + 10, следовательно, m = −2,25.

Следовательно,

m ∈ {−2,25;0}.

№22.11 (36C01E) Постройте график функции

y = 3|x + 2| − x² − 3x − 2.

Определите, при каких значениях                    прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: m ∈ {0;1}

Решение. Преобразуем уравнение, задающее функцию:

⁽3(x + 2) − x² − 3x − 2 при x + 2 ⩾ 0 y =

                                                                                −3(x + 2) − x² − 3x − 2        при x + 2 < 0

⁽−x² + 4 при x ⩾ −2 y =

                                                                              −x² − 6x − 8       при x < −2

Графиком квадратичной функции y = −x² + 4 является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (0;4) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком квадратичной функции y = −x² −6x−8 является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (−3;1) — вершина параболы. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка (−2;0) — точка стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

Нам подходят положения 1 и 2 прямой y = m.

Положение 1: прямая y = m проходит через точку стыка (−2;0), то есть m = 0.

Положение 2: прямая y = m проходит через вершину (−3;1) параболы y = −x² − 6x − 8, следовательно, m = 1.

Следовательно, ответ

m ∈ {0;1}.

№22.12 (0D3070) Постройте график функции

y = |x| · (x + 1) − 6x.

Определите, при каких значениях             прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m ∈ {−6,25;12,25}

Решение. Преобразуем уравнение, задающее функцию:

( x(x + 1) − 6x       при x ⩾ 0

y =

                                                                                             −x(x + 1) − 6x       при x < 0

⁽x² − 5x при x ⩾ 0 y =

                                                                                             −x² − 7x      при x < 0

Графиком квадратичной функции y = x² − 5x является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (2,5;−6,25) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком квадратичной функции y = −x² − 7x является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (−3,5;12,25) — вершина параболы. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка (0;0) — точка стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

Нам подходят положения 1 и 2 прямой y = m.

Положение 1: прямая y = m проходит через вершину (2,5;−6,25) параболы y = x² − 5x, следовательно, m = −6,25.

Положение 2: прямая y = m проходит через вершину (−3,5;12,25) параболы y = −x² − 7x, следовательно, m = 12,25.

Следовательно, ответ

m ∈ {−6,25;12,25}.

№22.13 (B4CE4A) Постройте график функции

y = x|x| + 3|x| − 5x.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m ∈ {−1;16}

Решение. Преобразуем уравнение, задающее функцию:

при x ⩾ 0 при x < 0

⁽x² − 2x при x ⩾ 0 y =

                                                                                     −x² − 8x      при x < 0

Графиком квадратичной функции y = x² − 2x является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (1;−1) — вершина параболы. Составим таблицу:

Графиком квадратичной функции y = −x² − 8x является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (−4;16) — вершина параболы. Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка (0;0) — точка стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

Нам подходят положения 1 и 2 прямой y = m.

Положение 1: прямая y = m проходит через вершину (1;−1) параболы y = x² −2x, следовательно,

m = −1.

Положение 2: прямая y = m проходит через вершину (−4;16) параболы y = −x² − 8x, следовательно, m = 16. Следовательно, ответ

m ∈ {−1;16}.

№22.14 (5A6286)

Постройте график функции

.

Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: m ∈ {0,75}

Решение. Область определения функции:

                                                                                          x − 1 ̸= 0      ⇔      x ̸= 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

.

Раскроем модуль:

при x ⩾ 0 при x < 0

при x ⩾ 0 при x < 0

Найдем координаты выколотой точки:

                                                                    x = 1      ⇒       y = 0,75x² = 0,75 · 1² = 0,75.

Тогда (1;0,75) — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции y = 0,75x² является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0;0). Составим таблицу:

Графиком квадратичной функции y = −0,75x² является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0;0). Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка (0;0) — точка стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она не имеет с графиком этой функции ни одной общей точки.

Нам подходит одно положение прямой y = m, при котором она проходит через выколотую точку

(1;0,75).

Следовательно, ответ

m ∈ {0,75}.

№22.15 (32AB12)

Постройте график функции

.

Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: m ∈ {−1}

Решение. Область определения функции:

                                                                                        x + 1 ̸= 0      ⇔      x ̸= −1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

.

Раскроем модуль:

при x ⩾ 0 при x < 0

при x ⩾ 0 при x < 0

Найдем координаты выколотой точки:

                                                                       x = −1       ⇒          y = −x² = −(−1)² = −1.

Тогда (−1;−1) — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции y = x² является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0;0). Составим таблицу:

Графиком квадратичной функции y = −x² является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0;0). Составим таблицу:

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка (0;0) — точка стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она не имеет с графиком этой функции ни одной общей точки.

Нам подходит одно положение прямой y = m, при котором она проходит через выколотую точку (−1;−1).

Следовательно, ответ

m ∈ {−1}.

№22.16 (1A7E63) Постройте график функции

y = |x² + 3x + 2|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ: 4

Решение. Графиком квадратичной функции y = x² + 3x + 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

Следовательно, (−1,5;−0,25) — вершина параболы. Составим таблицу:

Построим сначала график y = x² + 3x + 2, затем все участки, находящиеся не ниже оси абсцисс, оставим без изменения, а участки, находящиеся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс.

Прямые, параллельные оси абсцисс или совпадающие с ней, задаются уравнением y = m. Найдём, какое наибольшее количество общих точек могут иметь прямая y = m и график исходной функции.

•    Если m < 0, то прямая y = m не имеет общих точек с графиком.

•    Если m = 0, то прямая y = m имеет ровно 2 общие точки с графиком.

•    Если 0 < m < 0,25, то прямая y = m имеет ровно 4 общие точки с графиком.

•    Если m = 0,25, то прямая y = m имеет ровно 3 общие точки с графиком.

•    Если m > 0,25, то прямая y = m имеет ровно 2 общие точки с графиком.

Таким образом, наибольшее число общих точек, которое может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4.

№22.17 (381A79)

Постройте график функции

.

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Ответ:

Решение. При x = 0 знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

при x > 0 при x < 0

при x > 0 при x < 0

при x > 0, 4,5x − 1 ̸= 0      при x < 0, − 4,5x − 1 ̸= 0

Упростим условия на x :

1) 4

2)

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

           при при Графиком функции является гипербола. Построим таблицу значений:

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

.

Точка  является выколотой точкой.

Графиком функции также является гипербола. Построим таблицу значений:

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

.

Точка  является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

y = kx — пучок прямых, проходящих через точку (0;0).

Изобразим положения прямой y = kx, при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой y = kx.

Положение 1: Прямая y = kx совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит,

k = 0.

Положение 2: Прямая y = kx проходит через выколотую точку  . Найдем k :

.

Положение 3: Прямая y = kx проходит через выколотую точку . Найдем k :

.

Следовательно, ответ

.

№22.18 (4FBE10)

Постройте график функции

.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: m ∈ {−1;1}

Решение. Область определения функции: x ̸= 0. Раскроем модуль:

при при

при при           при при

Упростим ограничения на x :

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x − 3)(x + 3) = 0 x₁ = 3; x₂ = −3

Найдем нули знаменателя:

3x = 0 x = 0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

Таким образом,

 при x ∈ [−3;0) ∪ [3;+∞)

 при x ∈ (−∞;−3) ∪ (0;3)

Значит,

при x ∈ [−3;0) ∪ [3;+∞) при x ∈ (−∞;−3) ∪ (0;3)

График исходной функции при x ∈ [−3;0) ∪ [3;+∞) — прямая. Составим таблицу значений при x ∈ [−3;0) :

Составим таблицу значений при x ∈ [3;+∞) :

График исходной функции при x ∈ (−∞;−3) ∪ (0;3) — гипербола . Составим таблицу значений при x ∈ (−∞;−3) :

Составим таблицу значений при x ∈ (0;3) :

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям.

При x = 0 функция терпит разрыв, (0;0) — выколотая точка, (−3;−1) и (3;1) — точки стыка.

Изобразим положения горизонтальной прямой y = m, при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку:

Нам подходят положения 1 и 2 прямой y = m.

Положение 1: прямая y = m проходит через точку стыка (−3;−1), значит, m = −1.

Положение 2: прямая y = m проходит через точку стыка (3;1), значит, m = 1.

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.