Вычисление логарифмов.

Из истории логарифмов.Log a b .

Слово логарифм происходит от греческого λόγοφ (число) и αρίνμοφ (отношение) и переводится как отношение чисел.
Название объясняется тем, что они возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической. Открытие логарифмов сводило умножение и деление к операциям сложения и вычитания, операцию возведения в степень к умножению, а операцию извлечения корня к операции деления. Это значительно облегчало процесс вычисления.
Вопросы. 1) Какие свойства логарифмов при этом используются?
2) Дайте математическое определение логарифма.

История логарифмов.

По выражению Лапласа «появление логарифмов удлинило жизнь вычислителей».
Непером были созданы таблицы логарифмов тригонометрических функций, которые резко повысили производительность труда вычислителей.
Логарифмы с основанием е ввел Спейдел в 1619 г. и составил таблицы этих логарифмов.
Вопрос. Как называются такие логарифмы и как они обозначаются? Чему равно число е ?
Десятичную систему логарифмов изобрел английский математик Генри Бригс в 1615 г.
Вопрос. Как обозначаются десятичные логарифмы?

Правильные ответы1) 2)

1 2

Здесь использовались правила преобразования логарифмов произведения и частного и правила нахождения логарифма степени.

Между какими целыми числами находится число Х, если

10Х = 7

Между какими целыми числами находится число Х, если

Log5 X =½

Правильные ответы1) 2)

0 2

Вычислить :

1) 5 2log5√12

2) 3 1+log35

3) 10 2-lg 4

4) 17 – log175

Правильные ответы

12
15
25
4) 0,2

1) 2)

Правильные ответы1) 2)

Логарифм Логарифм увеличится уменьшится вдвое. в три раза.

Свойство логарифмов: loga X n =n ∙ loga X

Задание из ЕГЭ на задачи технического содержания с логарифмами.

Задача 1. Водолазный колокол, содержащий воздух в количестве V = 3 моль, который занимает объем
V1 = 60 литров, опускается на дно водоема.
При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до объема V2 литров. Работа А (в Дж), совершаемая при сжатии воздуха, вычисляется по формуле :
А=α ∙ V ∙Τ∙ log2 (V1/V2).
α = 5,75 - постоянная,
Т = 250 К – температура воздуха.
До какого наименьшего объема V2 (в литрах) можно сжать воздух, если вода совершает при этом работу
А=17250 Дж ?

Ответ на задачу 1.

3 , 7 5

Задание из ЕГЭ на задачи технического содержания с логарифмами.

Задача 2. Емкость конденсатора С = 4 ∙ 10-6 Φ.
Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R= 5 ∙ 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение U0 =25 KВ. После выключения телевизора напряжение убывает до
U (KВ) за время, вычисляемое по формуле:
t = α ∙R∙C ∙ log2 (U0/U) (секунд).
α = 0,7 – постоянная.
Найти наибольшее напряжение U (в КВ ), если после выключения прошло не менее 56 секунд?

Ответ на задачу 2.

1 , 5 6 2 5

Задание из ЕГЭ на задачи технического содержания с логарифмами.

Задача 3. Для обогрева помещения с температурой Тп = 25ºС через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Тв=80 ºС. Расход проходящей через трубу воды равен m=0,4 кг/с. Проходя через трубу расстояние Х метров, вода охлаждается до температуры Т(ºС). При этом имеет место следующее соотношение:
X=α∙(С ∙ m : γ)∙log2 ( (Tв- Т п):(Т- Т п))

где α=0,7 –постоянная величина,
С=4,2∙103 Дж/(кг∙ºС) –теплоемкость воды,
γ =21 Вт/(м ∙ºС) –коэффициент теплообмена.
До какой температуры Т (ºС) охладится вода, пройдя по трубе длиной Х=56 метров ?

Ответ на задачу 3.

5 2 , 5

Логарифмы и медицина