Не может. Если число не делится на 5, то его квадрат при делении на 5 имеет остаток 1 или 4. Осталось провести небольшой перебор вариантов.

Занимательная задача по математике: Детские весы

Антоше подарили весы, и он начал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком — 2 мяча.
Сколько кубиков уравновесят машину? 

Из первого соотношения следует, что 2 мяча и 4 кубика уравновесят 2 машины, а из второго соотношения следует, что 2 мяча и 4 кубика уравновесят машину с 5-ю кубиками, значит, машину уравновешивают 5 кубиков.

Занимательная задача по математике: Домашние любимцы

Мадемуазель Рембо любит домашних животных. Все ее животные, кроме двух, — собаки, все, кроме двух, — кошки, все, кроме двух, — попугаи, а остальные — тараканы. 
Сколько каких животных у мадемуазель Рембо? 

Заметим, что собак, кошек и попугаев у мадемуазель Рембо поровну. Обозначим число собак через х, а число тараканов через у, тогда всего у мадемуазель Рембо Зх+у животных, но все они, кроме двух, — собаки. Следовательно, Зх + у — 2 = х, или 2х + у = 2. Так как числа х и у целые и неотрицательные, то х может равняться 1 или 0. В первом случае получаем, что у нее по одной собаке, кошке и попугаю, но нет тараканов. Во втором случае, что у нее лишь 2 таракана и нет больше других животных.

Занимательная задача по математике: Домой на метро

Чтобы попасть домой из Дворца Спорта, я смогу выйти либо на станции метро Математическая, либо на следующей — Физической. От станции метро Математическая я иду к дому втрое дольше, чем от Физической, но пока поезд подходит к станции Физическая, я успеваю пройти треть пути от станции Математическая до дома. Какой путь быстрее? 

Быстрее от Физической, поскольку после прибытия туда оставшийся путь вдвое короче оставшегося пути на другом маршруте.

Занимательная задача по математике: Забытая авторучка

Дорога от дома до школы занимает у Володи 20 мин. Однажды он по дороге вспомнил, что не взял с собой авторучку. Оглядевшись, Володя понял, что если он продолжит путь в школу с той же скоростью, то придет туда за 8 мин до звонка, а если вернется домой, то, двигаясь с той же скоростью, опоздает на 10 мин к началу урока. 
Какую часть пути он прошел? 

Если бы Володя вышел из дома без запаса в 8 мин, то он в случае возвращения домой за ручкой опоздал не на 10, а на 18 мин, которые он должен потратить на двукратное прохождение только что пройденного пути. Следовательно, к моменту , когда он вспомнил о забытой ручке, Володя шел уже 9 мин. А так как весь путь он проходит за 20 мин, то за 9 мин он прошел 9/20 пути от дома до школы, т.е. почти полпути.