Задачи по геометрии из части 2 профильного уровня.

Задачи  по геометрии из части 2 профильного уровня.

1.      В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, гипотенузой AB = 13 и катетом BC = 5. Найдите расстояние между ребрами AS и BC, если длина высоты SB равна 9.

2.      В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковое ребро 3. Найдите расстояние от стороны основания до противоположного бокового ребра.

3.      В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с

      прямым углом при вершине В и катетом АВ = 6 2 . Найдите расстояние между

      ребрами SA и BC, если вершина пирамиды проектируется в середину ребра АВ и

      SA =729

4.      В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с       

 прямым углом при вершине С. Вершина S проектируется в точку В основания, причём боковые ребра пирамиды равны соответственно: AS = 10, BS = 7, CS = 8. Найдите расстояние между ребрами AS и BC.

5.      В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 3 и отстоит от   

     противоположного ребра основания на расстояние 32 11 Найдите длину стоны основания пирамиды, если она измеряется целым числом.

6.      В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с

   катетом ВС = 3 и гипотенузой АС = 5. Расстояние между ребрами SA и BC равно 3. Найдите длину ребра SA, если вершина пирамиды проектируется в середину ребра АВ.

7.      В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, гипотенузой АВ, равной 13 и катетом АС, равным 12. Вершина S пирамиды проектируется в точку В основания. Боковое ребро CS равно 5 5 найдите расстояние между ребрами AS и BC.

   8. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 и находится на расстоянии 32 23 от противоположного бокового ребра. Найдите длину бокового ребра.

  9. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с  катетом ВС = 3 и гипотенузой АС = 5. Найдите расстояние между ребрами SA и BC, если вершина пирамиды проектируется в середину ребра АВ и SA = 7.

 10. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, гипотенузой АВ, равной 12 и катетом ВС, равным 8. Вершина S пирамиды проектируется в точку В основания. Боковое ребро AS равно 13. Найдите расстояние между ребрами AS и ВС.

  11. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковое ребро 15 . Найдите расстояние от стороны основания до противоположного бокового ребра.

  12. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с прямым углом

при вершине В и катетом АВ = 6. Найдите расстояние между ребрами SA и ВС если вершина

пирамиды проектируется в середину ребра АВ, а высота пирамиды равна 4.

13. В основании прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Диагональ большей (по площади) боковой грани равна 20 и составляет с плоскостью основания угол 60 0 . Найдите угол между плоскостью АВ 1C и плоскостью основания призмы, если АС=6.

14. В основании прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катет АС в два раза больше катета ВС. Известно. Что плоскость AB1C составляет с плоскостью основания угол 60°. Под каким углом диагональ большей (по площади) боковой грани наклонена к плоскости основания?

15. В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью АСВ 1 и боковой гранью

 ВВ 1 С 1 С.

16. Основанием пирамиды служит квадрат, две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости ее основания, две другие ее боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, каждый из которых равен 30°. Высота пирамиды равна 2 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

17. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 5 2 , а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

18. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция, большее основание которой равно 24, а боковая сторона равна 15. Основание высоты пирамиды, равной 8, лежит в центре окружности, вписанной в основание пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

19. Основание прямой четырехугольной призмы АBCDA1B1C1D1 – прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD = 31 . Найдите квадрат косинуса угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1 , если расстояние между АС и B1D1 равно 5.

20. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1 .

21. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите квадрат тангенса угла между прямой АА 1 и плоскостью ВС 1D.

22. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите квадрат тангенса угла между прямой AC1 и плоскостью

ВСС 1 .

23. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SAD. В ответе укажите утроенное значение квадрата косинуса.

24. В правильной шестиугольной пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания - 1, найдите квадрат косинуса угла между прямой АС и плоскостью SAF.

25. В правильной прямоугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите квадрат косинуса угла между прямыми АВ и А 1 С.

26. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 – прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = 33 . Найдите тангенс угла между плоскостью грани АА 1D1D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми А 1 С 1 и BD равно 3 .

27. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:

АВ = 8 3 , SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

 28. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 20 3 ,

SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка

пересечения медиан грани SBC.

29. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 30 3 ,SC = 34. Найдите угол образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

30. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:

АВ = 12 3 , SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани SBC.

31. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого АВ = 6, ВС = 6, СС 1 = 4,найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и А 1 В 1 С 1 .

32. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого АВ = 4, ВС = 6, СС 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1 .

33. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD1 .

34. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой AD1 .

35. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого АА 1 = 4, А 1D1 = 6, C1D1 = 6, найдите тангенс угла между плоскостью АDD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер АВ и В 1 С 1 .

36. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого АВ = 4, ВС = 6, CС 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер АА 1 и С 1D1 .

37. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка ВС 1 до плоскости АВ 1D1 .

38. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между плоскостями АВ 1D1 и АСD1 .

39. В правильной треугольной пирамиде SABC с основание АВС известны ребра: АВ = 5 3  SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

40. Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром 6 . Найдите расстояние от середины ребра А 1 В1 до

прямой МТ, где точки М и Т – середины ребер AD и CD соответственно.

41. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP, если точка М – середина бокового ребра пирамиды АР.

42. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН – высота данной пирамиды, точка М – середина ее бокового ребра АР.

43. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка N – середина ребра CD, АВ = 3, ВС = 2, ВВ 1= 2. Найдите угол между плоскостями АВ 1N и АВС.

44. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М - середина ребра В 1C1 , АВ = 3, ВС = 4, ВВ 1= 2. Найдите угол между плоскостями BMD и АВС.

45. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен 3p.

46. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен

3p Найдите расстояние от стороны основания до противоположной боковой грани, если высота пирамиды 4см.

47. В правильном тетраэдре ABCD точка М середина ребра DC. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью АВС.

48. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Точка М середина бокового ребра SC. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания.

49. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки. Е и F - середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.

50. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , найдите угол между прямой АВ 1 и плоскостью АА 1 С, если АА 1= 3, А 1 В 1 = 4, В 1 С 1 = 6.

51. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , найдите угол между прямой ВС 1 и плоскостью А 1 ВС, если АА 1 = 12, АВ = 6, ВС = 5.

52. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , найдите угол между прямой А 1D и плоскостью ВВ 1D, если DD1= 8, А 1D1 = 6, D1C1= 6.

53. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , найдите угол между прямой А 1 В и плоскостью АА 1 С, если АА 1= 6, АВ = 8, ВС = 8.

Проверочная работа.

Вариант 1

1.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1 С 1D1 найдите угол между прямой АВ 1 и плоскостью АА 1 С, если АА 1= 3, А 1 В 1= 4, В 1 С 1= 6.

2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 8  SC = 17. Найдите угол образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

 3 .В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой

BD1 .

4. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 5 3 SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

Вариант 2

1.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой ВС 1 и

плоскостью А 1 ВС, если АА 1 = 12, АВ = 6, ВС = 5.

2.В правильной треугольной пирамиде SABC с основание АВС известны ребра: АВ = 20 3 SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка

пересечения медиан грани SBC.

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой

АD1 .

4. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 6 . Найдите расстояние от середины ребра А 1 В 1 до

прямой МТ, где точки М и Т – середины ребер AD и CD соответственно.

Вариант 3

1.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 угол между прямой A1D и

плоскостью ВВ 1D, если DD1= 8, A1D1= 6, D1C1 = 6.

2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основание АВС известны ребра: АВ = 30 3

SC = 34. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через

середины ребер AS и ВС.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка N – середина ребра CD,

АВ = 3, ВС = 2, ВВ 1= 2. Найдите угол между плоскостями АВ 1N и АВС.

4.  Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между плоскостями AB1D1 и АСD1 .

Вариант 4

1.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой А 1 В и

плоскостью АА 1 С, если АА 1 =6, АВ=8, ВС=8.

2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:

АВ = 12 3 , SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ,

где М – точка пересечения медиан грани SBC.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина ребра В1С1,

АВ = 3, ВС = 4, ВВ 1= 2. Найдите угол между плоскостями BMD и АВС.

4. Дан куб ABCDA1B1C1D1 , Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины

отрезка ВС 1 до плоскости АВ 1D1 .