Задачи на делимость

ЗАДАЧИ  НА ДЕЛИМОСТЬ  Дереженко Данила Ученик 6 «Б» класса  МБОУ СОШ №9 г. Воронежа 2018 г.

ЗАДАЧИ:  1. Исследовать значимость задач на  делимость в школьном курсе математики.  2. Провести анализ различных способов  решения задач на делимость.  3. Начать готовиться к единому  государственному экзамену по математике.  4. Пропагандировать необходимость  изучения данной темы в школьном курсе  математики.

ПАСКАЛЬ  Блез  (1623­62) Французский  математик,  физик,  религиозный  философ и  писатель.

ЗАДАЧИ  НА  ДЕЛИМОСТЬ

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ  ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 2 НУЖНО,  ЧТОБЫ ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА ДЕЛИЛАСЬ ЧИСЛА НА 2 ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 3 НУЖНО,  ЧТОБЫ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИЛАСЬ НА 3 ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 5 НУЖНО,  ЧТОБЫ ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА ЧИСЛА БЫЛА 0 ИЛИ 5 ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 9 НУЖНО,  ЧТОБЫ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИЛАСЬ НА 9 ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 10 НУЖНО,  ЧТОБЫ ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА ЧИСЛА БЫЛА 0

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ МОЖНО  КЛАССИФИЦИРОВАТЬ СЛЕДУЮЩИМ  ОБРАЗОМ: Делимость по последним  цифрам числа Делимость  по сумме цифр  числа Делимость составных чисел

НАЙДИТЕ НАИМЕНЬШЕЕ ЧИСЛО, ЗАПИСЫВАЕМОЕ ТОЛЬКО ПРИ ПОМОЩИ ДВОЕК, ЕДИНИЦ И НУЛЕЙ, КОТОРОЕ БЫ ДЕЛИЛОСЬ НА 225. Число должно делиться на 25, поэтому оно оканчивается не менее, чем на два нуля. Число должно делиться на 9 ,поэтому сумма цифр должна делится на 9, значит, она не менее 9. Представим 9 наименьшим числом слагаемых:9=2+2+2+2+1. Чтобы число было меньше, 1 должна стоять в начале числа. Ответ:1222200.

ПРИ ДЕЛЕНИИ НЕКОТОРОГО ЧИСЛА НА 13 И 15 ПОЛУЧИЛИСЬ ОДИНАКОВЫЕ ЧАСТНЫЕ, НО ПЕРВОЕ ДЕЛЕНИЕ БЫЛО С ОСТАТКОМ 8, А ВТОРОЕ ДЕЛЕНИЕ БЕЗ ОСТАТКА. НАЙТИ ЭТО ЧИСЛО. Пусть число А = 13 х + 8 , тогда по условию А = 15 х , решив уравнение 13х + 8 = 15х, получим х= 4. Значит, число А = 60. Ответ: 60

ЛЮБИТЕЛЬ АРИФМЕТИКИ ПЕРЕМНОЖИЛ ПЕРВЫЕ 2002 ПРОСТЫХ ЧИСЛА. НА СКОЛЬКО НУЛЕЙ ЗАКАНЧИВАЕТСЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ? (А) 0    (В) 1    (С) 10    (D) 20    (Е) 100 Решение. Ясно, что один ноль в произведении есть: и 2, и 5 входят в набор первых 2002 простых чисел. Так же ясно должно быть, что больше нулей в этом произведении нет, поскольку сомножители не повторяются, а других способов получить ноль на конце произведения нет. Ответ — В.

НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13. Решение. 1. Пусть a и b натуральные  числа, тогда по свойству  НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b. 2.  Разложим левую часть равенства на  простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b 3.  Подбором находим искомые пары чисел  a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78 b=13  Ответ: 39 и 26, 78 и 13.

Какие цифры можно вставить вместо звездочки,  чтобы число делилось на 2?    5749 + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ­ + + ­ ­ ­ ­ ПРОВЕРЬ  0; 2; 4; 6; 8. СЕБЯ! 0123456789

Какие цифры можно вставить вместо звездочки,  чтобы число делилось на 5?    5749 + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ПРОВЕРЬ  ­ 0; 5. СЕБЯ! 0123456789

Какие цифры можно вставить вместо звездочки,  чтобы число делилось на 10?  + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ­ ­ ­ ПРОВЕРЬ  ­ ­ ­ ­   5749 ­ ­ 0. СЕБЯ! 0123456789

;) Каждая буква в слове НЕПЛОХО  заменена одной из цифр 1,2,3,4,5 и 6.  Разные буквы заменены разными  цифрами, а одинаковые ­  одинаковыми. Полученное число  делится на 3, но не делится на 2. На  какую цифру заменена буква О?

Спасибо за внимание!

ПРИЛОЖЕНИЕ: ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ  ЧИСЛА НА 4 НУЖНО,  ЧТОБЫ ЧИСЛО,  ЗАПИСАННОЕ ДВУМЯ  ПОСЛЕДНИМИ  ЦИФРАМИ, ДЕЛИЛОСЬ  НА 4

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ  ЧИСЛА НА 6 НУЖНО,  ЧТОБЫ ЭТО ЧИСЛО  ОДНОВРЕМЕННО  ДЕЛИЛОСЬ НА 2 И НА 3

НАПРИМЕР Число 1161 не делится на 6, так как  оно не делится на 2 Число 126954 делится на 6, так как  оно делится на 2  (последняя цифра 4)  и на 3 (сумма 1+2+6+9+5+4=27 делится  на 3)

ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 7,  ЕСЛИ ИЗ ЧИСЛА  ДЕСЯТКОВ ВЫЧИСТЬ   УДВОЕННОЕ ЧИСЛО  ЕДИНИЦ, ПОЛУЧИТСЯ  ЧИСЛО КРАТНОЕ 7

НАПРИМЕР Число 161 делится на 7, так  как 16­1*2=14, число 14  делится на 7 Число 3697 не делится на 7,  так как 369­7*2=355, а 355 не  делится на 7

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ  ЧИСЛА НА 8 НУЖНО,  ЧТОБЫ ЧИСЛО,  ЗАПИСАННОЕ ТРЕМЯ  ПОСЛЕДНИМИ  ЦИФРАМИ,  ДЕЛИЛОСЬ НА 8 ИЛИ  ЯВЛЯЛОСЬ НУЛЯМИ

НАПРИМЕР Число 125000 делится на 8, так  как на конце три нуля Число 65728 делится на 8, так  как  число 728, составленное из  последних трех цифр числа,  делится на 8 Число 1204 не делится на 8, так  как  число 204, составленное из  последних трех цифр числа, не  делится на 8

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ  ЧИСЛА НА 11 НУЖНО,  ЧТОБЫ РАЗНОСТЬ  МЕЖДУ СУММОЙ  ЦИФР, СТОЯЩИХ НА  ЧЕТНЫХ МЕСТАХ И  НЕЧЕТНЫХ МЕСТАХ,  ДЕЛИЛАСЬ НА 11

НАПРИМЕР Число 103785 делится на 11, так как  сумма цифр, занимающих нечетные  места, 1+3+8=12 равна сумме цифр,  занимающих четные места, 0+7+5=12.  Разность  12­12=0 делится на 11 Число 3298 не делится на 11, так как  3+9=12, 2+8=10. Разность  12­10=2 на 11 не делится

ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 19  ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,  КОГДА ЧИСЛО ЕГО  ДЕСЯТКОВ В СУММЕ С  УДВОЕННЫМ ЧИСЛОМ  ЕДИНИЦ, КРАТНО 19

НАПРИМЕР Число 551 делится на 19, так  как 55+1*2=57 делится на 19 Число 6003 не делится на 19,  так как 600+3*2=606 не делится  на 19

ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 25  ТОГДА И ТОЛЬКО  ТОГДА, КОГДА ДВЕ  ПОСЛЕДНИЕ ЦИФРЫ  НУЛИ  ИЛИ ОБРАЗУЮТ ЧИСЛО,  ДЕЛЯЩЕЕСЯ НА 25

НАПРИМЕР Число 7150 делится на 25, так  как последние две цифры  образуют число 50, делящееся  на 25 Число 1292 не делится на 25,  так как 92 не делится на 25

ЛИТЕРАТУРА  М. Я. Выгодский Справочник по элементарной  математике, ­ М.: Наука, 1965 г.  А. С. Чесноков и др. Дидактические материалы  6 кл.  2015 г.  По материалам:  http://historyvt.narod.ru http://www.myshared.ru/slide/909390/ http:// uchitelya.com/matematika/41554­prezentaciya­delimost­chis el­6­klass.html https:// nsportal.ru/shkola/matematika/library/2016/10/03/priznaki­ delimosti­trening­6­klass https:// multiurok.ru/index.php/files/priezientatsiia­zadachi­na­die limost.html https://infourok.ru/material.html?mid=12912